X射线晶体学讲义

1、1晶体结构几何理论1.1引言晶体学的研究目的是研究晶体中原子（分子、分子团）的分布规律。X 射线技术晶体的几何理论建立在人类对矿物晶体结构早期唯象知识基础之上，有了之后，才从理论和实验逐渐完善。（1）晶体：原子在空间呈规律性（周期性和对称性）分布的物质。既具有对称性又具有周期宁晶体原子在空间分布规律性不同，材料的物理、化学和力学性能不同，如：C的石墨结构（层状）和金刚石结构（共价键）。a铁素体（体心结构，铁磁性，硬）与丫铁素体（面心结构，顺磁性，软）。（2）非晶体：内部结构排列的不十分规则或毫无规则，如：石英（SiO2）（3）实际晶体结构（a）实际晶体与完整理想晶体实际晶体中存在各种缺陷，如点

2、缺陷，线缺陷，面缺陷，体缺陷等。产生各种缺陷的原因为：晶体中的原子并非完全不动；实际上晶体中某个位置上的原子是由该处该原子出现的几率大小决定的；受到热力学条件及环境的变化会影响原子在某处的出现几率，形成所谓的缺陷；因此，现实中不存在完全理想的晶体。实际上，由于各种缺陷、界面、表面的客观存在，都会影响晶体结构完整理想性。（b）单晶与多晶单晶各向异性多晶各向同性晶体中粒子的周期分布与空间点阵晶体物质有几万种，它们之间的差别主要有两方面，一是晶体中原子（分子，分子团）等物质种类不同，另外一方面是，原子等物质的排列、分布不同。由于晶体物质中的粒子具有周期性分布的特征，因此如果忽略原子本身的性质以及原子

3、间距的差别，原子的排列、分布规律可由以下几个概念表述：（ 1） 同类等同点定义：晶体结构中物理环境和几何环境完全一样的点称为同类等同点。晶体结构中存在无穷多类等同点，如：NaCl晶体结构中，Na'所在的点是一类等同点；Cl-所在的点是一类等同点。（ 2） 空间点阵定义：晶体结构中，同一类等同点的集合所形成的集合图形。如对于NaCl的空间点阵（如图1-1所示），图中。为Cl-离子所在位置，为Na+离子所在位置，可见，Na+周围的几何环境和物理环境都一样，Cl-周围的几何环境和物理环境也都一样，并且，由Na离子构成的空间点阵图形与由Cl-构成的空间点阵图形一样，因此图1-1（b）中的几何点

4、为NaCl的空间点阵，图1（b）中点称为结点或格点，结点既可代表Na+,又可代表Cl-或NaCl结构中其它同类等同点。其它晶体结构与空间点阵的对应实例如图1-2和图1-3所示。Fe图1的晶体结构和空间点阵示意图，无尺寸的示意图，（b）为空觑噌源需。CsCl晶体的晶体结构（b）虏H根阵（b） 示意图Fe的晶体结构（a）¥口箜间舌阵（b）示意图（3）空间点阵的性质：a）空间点阵是晶体结构中同类等同点的集合，阵点可以代表原子、分子等同类等同点;b）空间点阵与晶体结构属于两种不同概念，空间点阵是晶体结构中抽象出来的几何图形，反映结构中粒子分布的周期性规律；c）空间点阵的求法：从晶胞中找出一类

5、等同点，同一类等同点的集合即为空间点阵。d）现实中3万多种晶体结构，只有14种空间点阵。1.3 晶体的对称性（1）对称：物体的相等部分在空间呈规律性的分布。物体或物体各个部分借助于一定的操作而有规律地重复。（2）晶体对称特点a）表里一致性：自然生长地晶体其外在的对称性往往是晶体本身对称性地体现；b）对称的有限性：由于晶体的对称性同时要受到晶体周期性的限制，因此，在完整晶体中只存在1,2,3,4,6次五种旋转对称，具有5次及高于7次旋转对称性，组成的晶体不能填满空间。OA求证完整晶体中只有图24然布S6瑁帮恻怖操作证明：完整晶体种原子周期性排列如图1-4所示，其周期点阵之间的间距为a。由图分析有

6、：3600OA=a,cosnn=1360O:OA=a为一个周期n=2180°:OA=-a为一个周期n=3120°:OA=-a为半个周期2n=4900:OA=0周期整数n=50人=非整数，不满足周期性n=6OA=a满足周期性2n=7,8,9,10均不满足周期性可见，对于满足周期性的晶体结构，不可能存在5次旋转对称，及7,8,9,10等对称，只有1,2,3,4,6五种旋转对称操作。1.3.2 对称操作、对称操作群及对称元素对称操作：图形进行一定操作后，图形能够复原（或图形的相等部分能够重合），这种操作称为对称操作（或对称动作）；对称操作群：图形的全部对称操作称为该图形的对称操作

7、群；对称元素：对称操作时所凭借的几何元素，称为对称元素。1.3.3 晶体的宏观对称操作从晶体外表所表现出来的对称形状或相同性，如晶面、晶角、晶棱等。1）反演（中心对称）操作：通过晶体内某一点做任意直线，在其相反向两端等距离处能找到晶体的相等部分，如图1-5所示。操作符号：i元素符号：c2)平面操作（反映操作）：晶体某一宏观音阍） 处能找到相等部分，如图1-6所示。蹩藏津睁嫄游，在平面对称等距离3)操作符号：m 元素符号：p中转动操作：以晶体结构中一固定直线作为屣雷6冲倒疆碾鼾围掩它旋转一定角度而得到规律重复，如图1-7所示转动360°,晶体宏观相等部分能也重合而次轴次一 一次轴 二次

8、轴 三次轴 四次轴 六次轴C1 或 1;G或2;。或3;。或4G或6;基转角：相等部分能够重合的最小转角。轴次n=360o/n例：C 1C2C 3 C 4 C 64）转动一反演操作（瓣专1-7旋转对称操作通过转动、反演操作后，晶体的宏观部分能够重合，称为象转操作。1一 xC i2反演轴C国际符号：2=m二次反演 相当于反映 * i L'1C3C3= （3,i ）_4i11 =i一次反演相当于反演 ix 一 一 xX i66= (3,m)C4图1-8旋转-反演对称操作转动一反演操作只有4是独立的操作，其它操作与Cn,i,m,是等同的。因此，只有如下几种宏观对称操作元素：1,2,3,4,6

9、,i,m,4。在进行宏观对称操作时，晶体内至少有一点在操作是永远不动。这些宏观对称操作群也叫点群。1.3.4 晶体的微观对称操作(1)平移晶体结构具有周期性是平移对称操作的基础。晶体结构凭借其空间点阵中任意两格点连成的矢量进行平行移动的操作为平移对称操作。(物体的相等部分在空间呈规律性分布叫对称)平移仅在视为无限图形的具有周期性的晶体结构中才具有。(2)转动一平移(螺旋)转动(1,2,3,4,6)再平移操作，晶体中的相同粒子能重合，如图1-9所示。图1-9晶体对称图形中的螺旋对称轴共存在以下转动一平移操作：表1-1旋转平移对称操作11122133132441424366162636465(3)

10、反映一平移(滑移)凭借一个平面施行反映之后，紧接着平行于反映面施行平移f而使晶体结构的图形得到规律重复的对称操作，称为反映-平移，或称滑移。操作中的反映面称为滑移面，平移矢量t1称为滑移的平移成分。滑移面(反映面)例：金刚石结将中的微胡麻瞬偎作郭建圉点阵结构如图1-11所示。图1-11金刚石点阵结构1.3.5 点群和空间群(1)点群晶体宏观部分所能存在的对称操作群叫点群。主要有8种点群：1,2,3,4,6,i,m,4。以上8种宏观对称操作存在很多组合：1.2345678A8+A8+A8+A+A8+A8+A8+A88,56,336,1680,6720,20160440320,403201?了IT

11、1TdT6!78!8+26+56+70+56+28+8+1=255种但要考虑对称性及周期性，一共有32种组合形式，因此有32种宏观对称操作群，即32种点群。不同晶系中存在的32种点群分布见表1-2。表1-2不同晶系32种点群晶族晶系对称操作类型熊夫利斯符号国际符号对称特征斜CiC1CCC1只有一次轴或一个对称中心低级单C2C2m晶族斜PC2PCCSC2h2m一个一次钿或刘桥回正交C22PD2222三个互相垂直的二次轴3c2Gvmm或两个互相垂直的对称3c23PCD2hmmm面C3C333m32CeCC33PC3i4Gv的高次轴为三次轴C3C2C33C23PCD3D3d3mC4C44C4C4h土

12、m中级晶族四方GPCC42G2PG4PC44C2GG5PCC4vD4D4hSD2dm4mm424mm42m的高次轴为四次轴C6C66六C6C6PCC63C23PC6hC6vD66mm62方Amm的局次轴为八次轴C66PD6hmC66C2C66C27PCC3hD3hm62m高3G4G4C33C23PCTT.23m343m43m3m级晶族立方4C33C26P3C44C36C23C44C36G9PC1hTdOQ必有四个三次轴(2)空间群32种点群与三种微观对称操作组合共有230种空间群。由宏观对称操作和微观对称操作共同组合成的对称群称为空间群。1.4 布拉维格子与晶胞通过对晶体周期性和对称性的分析，

13、可将晶体抽象成空间点阵来理解和认识，通过周期性和对称性的分析，得出存在32个点群和230种空间群，那末，返过来再研究这些空间点阵如何构成晶体物质，就可归纳出以下概念和结论。1)空间格子：空间点阵中，把阵点用线连接起来，就变成空间格子。目的：使所选的单位格子是以唯一地表征每一种晶体结构在原子排列上的特殊周期性和对成性。2）布拉维格子：空间点阵中一个平行六面体，且具有以下特点：a）要反映出空间点阵中固有的点群特征（对称性）；b）在满足a）的情况下，平行六面体直角最多；c）在满足a）b）的情况下，平行六面体体积最小。例：面心立方点阵图1-12。立方体正方体菱面体3c4,4c3,6c2,9m,1i1c

14、4,4c2,5m,1i1c3,2c2,3m,1i图1-12面心立方点阵单位平行六面体的三种不同选取方式3）布拉维格子四种类型a）初基（简单）格子：只有8个顶点有格点的单位格子；（P）b）底心格子：除8个顶点有格点，上下两平行面中心各有一个格点；（C）c）体心格子：除8个顶点有格点，体中心有一个格点；（I）d）面心格子：除8格顶点，各平面中心有一个格点。（F）4） 14种布拉维格子根据布拉维格子的定义，可推导出14种布拉维格子（见表1-3）。14种布拉维格子分属七大晶系。七大晶系分成三个晶族：低级晶族（无高次轴）；中级晶族（只有一个高次轴）；高级晶族（有一个以上高次轴）。具体划分为：低级晶族：1

15、）三斜晶系（无G或P）a乎b乎c,a乎B乎丫乎90o2 ）单斜晶系（只有一个G或P）a乎b乎c,a=Y=90o,B才90o3 ）正交晶系（G或P多于一个）a才b乎c,a=B=丫=90o中级晶族：4）四方晶系（只有一个C4或C4）a=b乎c,a=B=T=90o5 ）三方晶系（只有一个C3）a=b=c,a=B=丫手90o6 ）六方晶系（只有一个。或C6）a=b乎c,a=B=90o,丫=120o高级晶族：7）立方晶系（有4个G）a=b=c,a=B=T=90o表1-314种布拉维格子晶系晶格参数简单格子体心格子底心面心三斜(Anorthc)a才b乎c,a乎B乎丫乎90o单斜(Monoclinic)a才

16、b乎c,a=y=90°,B手90o正交(Orthorhombic)a才b乎c,a="丫=90o二方(Trogonal)a=b=c,oa二"丫乎90四方(Tetregonal)a=b乎c,a="丫=90o六方(Hexagonal)a=b乎c,a=B=90o,丫=120o正方(Cubic)a=b=c,a=B=Y=90°1）定义：每一单位格子所圈划出来的那一部分晶体结构称为单位晶胞或称为晶胞。晶胞不是格子，而是由原子、分子等粒子组成的物质单元，格子是数学抽象概念，晶胞包含具体物质。2）单位晶胞内所包含的粒子数a）格子8个顶点上的原子（粒子）各被其它相

17、邻7个晶胞所共有，因此单位晶胞只有8X1个原子=1个原子。或单位晶胞（8个顶点上格点）只有一个格点;8b）每个面心上的格点，晶胞只占有1/2份额；c）初基格子组成的晶胞格点数为1底心格子组成的晶胞格点数为2体心格子组成的晶胞格点数为2面心格子组成的晶胞格点数为43)单位晶胞体积(见图 *fff f fV=a x b c=( a b c)*aaa-bV2=b-ab-b* FfTc-acb=a2b2c2(1- cos 2 a - cos1-13)a c 1 cos丫 cosb c =a 2b2c2 cos 丫 1 cosc c cos B cos a 1B - cos 2 丫 +2cos a co

18、s B cos 丫 )所以，V=abc(1- cos 2 a-cos 2 B - cos2丫 +2cos a cos B cos 丫 )1/2其中：a,b,c,a,B,丫如图所示，为晶体常数(ab)=abcos丫(ac)=accosB(bc尸bccosa对于正交晶系a=B=Y=90o,则：V=a-b.c1.5晶体的定向晶向指数晶面指数和在晶体结构空间中引入一套坐标系叫晶体定向。同一晶体可以有不同的晶体定向。标准定向：在晶体学中，把标识晶体结构对称性和周期性的布拉维格子（单位平行六面体）的三边选作基矢abc,并用abc定出ox,oy,oz轴，此三坐标轴称为晶轴，这样的定向称为标准定向（布拉维定向

19、）晶向指数的计算：在一定的晶体定向下，标识着方向和周期性的任意一条格点间的连线可由下式计算该格点连线的方向：uvw=(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1)该比值的互质数即为该晶向指数。例：面心立方，求Li的晶向指数。Li：u1v1Wi=(x2-x1):(y2-yi):(z2-z1)=(1-1/2):(1/2-1):(1/2-1/2)=1/2:-1/2:0可见，Li/L2,他们的晶向指数均为1101）晶面：晶体结构中任意三个不在一直线上的等同原子面所确定的平面，称为晶面2）晶面指数对于图1-1和菽相f子所确定的原子面，由平面法线方程:ox,n=（id（1）hkl。IokI二医dd平面间距

20、医一整数x点在平面（晶面）上任意一点流动都满足以上方程（1）坐标方程：ox=xa+yb+zc-hon=cosaa+cosBb+cos丫c其中：x,y,z是x点在标准定向坐标cosa,cosB,cos丫是n对于标准定向的夹角。hfc-所以，oxn=xcosa+ycosB+zcos丫=医d其中，Ax+By+Cz=t,cosa=A,cosB=B,cos丫=C,d=t由平面截距方程：oxn=tcos丫=医d=>cos丫=医d/toyn=scosB=医d=>cosB=医d/sfozn=rcosa=医d=>cosa=医d/r将cos丫，cosB,cosa代入（1）式x医d/r+y医d/s

21、+z医d/t=医d所以，二+?+二=1平面方程hkl ）为晶面指数rst由于晶面法线的方向余弦的简单整数比（所以，（hkl）=（1:1:1）rst即晶面指数为在某一标准定向下晶面与坐标轴截距倒数的简单整数比。3）晶面指数的求法a）已知截距r,s,t贝（HKL（1:1:1）rstb）已知三点坐标求晶面指数：（x1yzi）,（X2y2Z2）,（x3y3Z3）由平面法线方程oxn=（id则xicosa+yicosB+Zicos丫=医d,（i=1,2,3）贝u：cosa=xxxxxxcosB=ddy1ziddy2Z2ddy3Z31 yzi2 y2Z23 y3Z31 pdzi2 WdZ23 g,dZ31

22、y1Zi1y2Z21y3Z3xiy1Zix2y2Z2x3y3Z3xxxxxx1 yZ12 yZ23 y3Z31 ypd2 y2pd3 y3pdcos丫=x1x2x3所以，（HKD为yZiy2Z2y3Z3cosa:cosB:cos丫）4）六角晶系中的四轴定向及其晶向和晶面指数a）四轴定向（仅1x2x3z）xix20R的坐标为:图1-16四轴定向下的坐标一四轴定向的做法如图1-16所示，在三轴定向下，六方晶系中任一格!(x,y,z),在四轴方向为：(X1x2x3z)OR=xa+yb+zc=x1a1+X2a2+X3a3+zc因为,所以,a1+a2+a3=0,且a二a,a2=bOR=xa+yb+zc=

23、x1a+X2b-x3(a+b)+zcx=x1-x3所以,y=X2-X3再由Xi+X2+X3=0b)四轴定向下晶向指数令：U V W u v t w 则：三轴定向晶向指数四轴定向晶向指数u U -V二 u - t=v -t 或2、, 1, v = V U331,1、，t = U V33w =Wc)四轴定向下晶面指数由三轴定向晶面方程:hx+ky+lz=1则h(x1-x3)+k(x2-X3)+1z=1所以，hx1+kx2-(h+k)x3+lz=1由四轴定向晶面方程(h+k) l)hx1+kx2+ix3+lz=1所以，(hkilL(hk其中i=-(h+k)所以三轴定向晶面指数(hkl)变成四轴定向时

24、，晶面指数i=-(h+k),其余一致。1.5.4晶面单形与晶向单形1)晶向单形：凡是能用点群的对称操作而产生规律重合的晶向的组合，称为一个晶向单形。例如：立方晶系晶向110110011101101011,这些晶向可由点群中对称操作重复，因此，它们组成一个晶向单形，记为<110>02)晶面单形：凡是能用点群的对称操作而产生规律重复的晶面的组合。例如：立方晶系(100)(010)(001)三个面可通过C3对称元素重复，所以它们组成一个晶面单形，记为1000例如：四方晶系，如图1-17。由单形100和001组成的聚形记为100+0010其中，100与001为分别单形1-18 0图1-17

25、四方晶系晶面单形例如：六方晶系四轴定向，如图01 1 0(011(11010 1 0X11010)(100)* X20)0110)(1011 1 00四轴定向在四轴第+182舞芟希忸四朝需附第0哪1晶向单3)多重性因子：一晶面单形所包含的晶酱的个数称为多重性因子。这些晶面同属于一个晶面族。各晶系得多重因子见表1-4。其中可见，立方晶系111的多重因子为8,100的多重因子为6。表1-4多重性因子1)定义：晶中平行 定晶向 晶面的 为晶带， 晶向称 轴。2)晶带定 为晶面 uvw为晶晶系多重性因子立方晶系hkl hhk hk0 hh0 hhh h004824241286四方晶系hkl hhl h

26、0l hk0 hh0 h00 00l 16888442六方晶系hkl hhl h0l hk0 hh0 h0000l241212 12662斜方晶系hkl h0l hh0 0kl h00 0k000l8444222单斜晶系hkl h0l h00422三斜晶系全部晶面：2体结 于一 的所 组合，构固有称该固定 为晶带理：HKL 法线， 带轴，则Hu+Kv+Lw=0例1:已知两晶面(HKL1)和(H2K2L2),求晶带轴(uvw)0解：由晶带定理：u:v:w =K1K2L1L2H1H2H1H2K1K2uvwu:v:w=(K1L2-K2L1):(LH-L2H):(H1K2-H2K1)例2:已知两晶带，

27、uW1wu2v2w2求此二晶带相交晶面指数(hkl)。解：由晶带定理：所以,h:k:l=:UiViU2 W2U2V2倒易点阵2.1 倒易点阵的引入(1)为什么引入倒易点阵倒易点阵的概念是由德国物理学家P.P.Ewald在1913年提出的，用来规定晶体的衍射方向。利用倒易点阵的概念不仅便于解释晶体的衍射现象，而且在X射线晶体学发展的过程中，衍射仪器、实验设计等很多方面都用到了倒易点阵的概念。倒易点阵提供了描述、理解晶体衍射的简便方法和手段。(2)什么是倒易点阵倒易点阵是晶体点阵的基础上建立起来的一种新的空间几何图形；倒易点阵是分析衍射的一种工具，衍射花样显示的就是晶体倒易点阵的一个部分；倒易点阵

28、与正点阵有刚性关系。(3)倒易点阵的定义有正点阵矢量5、是、易，定义有与其对应的倒易点阵矢量a;、a;、a;。则正点阵与倒易点阵矢量满足如下关系，即:一 一*ai . ak1i = k0i #k或表述为:* 一a1 = - 1a2 X a3-*a3 Xa Xa2a2=a3二由倒易点阵定义：a；a；=11a2Xa3=1=#2aav同理，：尸:2=)3=11 23V所以,*a1*a2*a31 r a2 a；V1 a3 a1V1= Va a2a11*V1.* _a2 asa2 = £ a3 a1V1*ra3=a1 a2对于正交系,在直角坐标晶体中* a / a1a2 / a2* a3 /

29、a3*1a1 =一a1* _ 1 a2a2*1a3 二一a3正点阵、倒易点阵的阵胞体积互为倒易关系:正点阵：V=ai-a2-a3（在直角坐标系中）倒点阵：V*=a*a2a3='=1abcV所以，V*V=1倒易矢量的性质定理：正空间a,b,c中一平面（hki）,倒易空间中一个特定矢量：R*=ha*+kb*+ic*,则有R1（hkl）面，并且Rhkl=。其中dhki为（hkl）面的面间距。dhkl证明：对于正空间中的平面图ABc而涉2-1晶面由AB=b-akh_*_-_b_-ba则RhklAB=(ha+kb+lc)(-)*,*b*b*b,aa.ba.ca=ha-+kb-+lc-h-j-k-

30、j-l=0即，脸-AB同理，可证R；kl_AC由于Rhkl与（hkl）平面内至少两条直线垂直则Rhkl/nc*,*n=Rhkl/Rhkl由 dhkl=ka n=ka h h*Rhkl*Rhklki*,i*一：一，、，i二*i,二*dhkl=-a（ha+kb+lc）/Rhkl=k/Rhklh所以，Rhkl=dhkl由倒易点阵的性质，可得到以下重要关系：1）倒易矢量Rhkl的方向是正点阵（hkl）的法线方向，即倒易矢量R；l与正点阵（hkl）面垂2）倒易矢量的长度与正点阵面间距倒数成正比。3）倒易点阵的单位，为长度的倒数（nm1）或无量纲（当k=k时，入为X射线的波长）。2.3 利用倒易点阵求各晶

31、系的晶面间距由倒易点阵性质：*RhklRhki = R*hkl21=kmd hkl2* 221贝： h a1al+k a2 a2+l a3a3+2hka1 a2+2kl a2a3+2hl a1 , a3 = kdhkl(2-1)由矢量运算性质：a x( b x c)= b ( a , c)- c ,(2222(a , b ) =a b - a x b (a x b ) ( c x d )=( a c)( b 由公式(2-2)和公式(2-3)2V = a , ( b x c)d )-( a d )( b - c)(2-2)(2-3)(2-4)222=a b c - a ( b c)221-a b

32、 x c - b , ( a c)- c , ( a , b )(2-5)由(2-2), (2-3), (2-4)矢量运算公式计算，可得以下结果:2V = ai , ( a2 M2 _2 / d=ai a2 a3(1-a3) 22cos ： 1 - cos 1 2 - cos 1 3+2 cos 二 i cos 二 2 cos - 3)由上述结果带入式(2-1)可求出特殊晶体的面间距公式:1)立方晶系:2)四方晶系:o3-2-，3=90,a1=a2=a3=a,V=a,1h2k2l2h2-dhklao0tl=ot2=a3=90,a1=a2=a,a3=c,V=a3)正交晶系:1dhkl：11dhk

33、l222hkl=-一22aco=a2=a3=90,a?b=c,V=abch2ka2b4)六方晶系:oo"1=2=90,a3=i20,a1=a2=a,a3=c,VL = 4h2k2 kh f2.4 晶面夹角+所以，两晶面之间的夹角cos中=hi h2 (a； a；) + k1k2 (a. .*2 , a2)+l1l2(a3(ai . a3)+对于立方晶系:所以：cos =(k1l2 k2l1) (a2 , a3 ) / R1 R2o-1 = - 2= : 3=90 , ai = a2 = a3h1h2 k1k2 l1l2hi2 ki2 li2 . hf k| lf*, a3)+ (hi

34、kz + hhki) (a- a2) + (hilz+hzii)(2-5)正点阵中两晶面之间的夹角，可理解为该两晶面法线之间的夹角，而由倒易点阵的性质，晶面法线与该晶面的倒易矢量平行，因此，晶面夹角可由倒易空间中对应的两个倒易矢量之间的夹角求出，即：*_*、,.,-*、Ri,R2=RiR2c0stp=hih2(ai，a1)+kik2(a2，a2)+li"a3，a3)(hik2+卜2匕)(aia2)+(hil2+hhli)(ai，a3)*(kil2k2l1)(a2,a3)cos中可由下式求出：其他晶系均可由(2-5)式求出。2.5 正空间与到空间的对应转换2.5.1 单斜晶系正空间中单

35、斜晶系沿后2轴投影的二维布拉维格子如图2-2中实线格子所示。,'I、生图2-2单斜晶系二维正空间与倒空间格子由倒空间的定义，所以，a；la；,或所在平面，即0；1a3；同理，a；la；,得到如图中虚线所示的倒空间格子。倒空间格子的基矢可由倒空间定义求得。2.5.2 带心复晶胞之间的关系当晶体点阵为带心的复晶胞时，其对应的倒易晶胞也是带心的复晶胞。但带心的形式不一定是相同的。图2-3为正点阵晶胞及对应的倒易晶胞。表2-1列出了正点阵晶胞与倒易晶胞晶体学参数的对应关系。图2-3,正点阵晶胞及对应的倒易晶胞(a)素晶胞(P);(b)底心晶胞(C);(c)体心晶胞(I);(d)面心晶胞(F)表

36、2-1带心复晶胞及其倒易复晶胞的关系3X射线的物理基础3.1 X射线的发现通过研究发现X射线具有以下主要特征：1) 当时尚未了解X射线的本质(粒子性和波动性)；2) 直线传播；3) 看不见，能电离气体；4) 有很高的穿透能力，可透过不透明物质，使荧光屏发光或照相底片曝光。伦琴的原著“一种新的辐射”的英译文发表在1896年自然杂志，象其他许多开创性论文一样，伦琴这篇论文论述之广给人以深刻印象，后人所发现的X射线的许多性质，在伦琴的这篇论文中都有预言。当时对于X射线是另一种形式的光，还是一种新奇的辐射？科学家有着许多的推测。3.2 x射线的本质对X射线本质的认识首先受19世纪以后科学家们对光的波动

37、性的认识：(1)杨氏光波干涉实验证明了光的波动性；(2) Faraday和Maxwell的电磁理论，确定了光波的电磁性质M.Laue和他的同事于1912年在德国发现X射线入射晶体可见x射线的衍射现象，证明X射线的波动性，使人们确信X射线是电磁辐射的一种形式(电磁波)。然而在此之前的14年中关于X射线的本质问题一直是科学家争论的问题。在此之间X射线本质的认识经历了一下过程：(1)1901年Stockes提出见解认为X射线是放电管内电子撞击阳极而产生的电磁辐射的不定形脉冲。(2)后来Thomson将这种想法发展为理论(3) 1905年Barkla通过做X射线散射实验，清楚表明X射线具有光的特征；(

38、4) 1907年Barkla发现了“特征X射线”因此获得诺贝尔奖，进一步证明其波动性质；(至此X射线的电磁本质获得了十分有利的根据)(5) 1907年老布拉格(W.H.Bragg)提出了射线是物质粒子，因此认为X射线也是物质粒子；(当然，1922年Compton的散射理论统一了有关X射线波动性和粒子性)(6)早在1905年曰nstein对光电效应的解释就已经清楚地说明了光与X射线的相似之处，可惜当时未被大家所认识。（7）直到1912年Laue获得的重大发现，才完全解释了X射线的本质。3.3 X射线的产生凡是高速运动的带电粒子被突然减速时便能产生X射线（进行加速运动时）。由电动力学：电子加速（减

39、速）它周围电磁场发生急剧变化，必然要辐射电磁波。a.现代密封式X射线管b.X射线管结构示意c.X射线管电路示意图3-1,X射线的发生装置现在发现X射线的波长为：0.05nm0.25nm。X射线的发生装置见图3-1,它主要由以下几个部分构成：1）阴极：鸨丝，加热产生热辐射电子；2）阳极：靶材（CrFeCoNiCuMoAgW）;3）电场：10100KV高压使阴极后突然减速，有1%勺能量转成x射线99%勺能量变成热能；4）真空室：10-4mmHg10-510-7mmHg5）窗口：钺玻璃（有强度，对x射线吸收小）；6）特殊结构包括：a）旋转阳极：增加能量，阳极热升高，通过旋转阳极使电子不连续轰击一点，

40、起到散热作用（固定靶与旋转靶比较见表3-1）;b）细聚焦x射线管，通常办法：毫米级；通过电磁透镜/静电透镜，焦点几十几微米，功率降低，分辨率高表3-1固定靶与旋转靶比较固定靶旋转靶阳极允许负荷2100w/mm2500600w/mm最大管电流24mA500mA3.4X射线谱由X射线发射出来的X射线有两种类型：连识（特征）X射线谱。连续X阿射线谱为具有连另外一种在连续X射线谱的基础上叠加若干具线，称为标识X射线谱或单色X射线。3.4.1 连续X射线谱产生X射线的条件为条件为：（1）一定原子序数（Z）的靶（2）管电压（KV）（3）管电流（i）连续X射线谱的实验现象（见图3-2）:（1）谱线是连续的（

41、2）存在短波限即没有比九。更短的x射线连续X射线的变化规律：1） i一定，Z一定，KVt%J,即随着电压升高，短波限变短（见图3-2（a）。2） KV一定，Z一定I-4-321（射线谱和标 长的X射线; 定波长的谱i,I,，-0不工，i0>io>i0即当靶材和电压固定不变时，随着电流增加九0不变，但X射线强度增加(见图3-2(b)3)KV不变，i不变ZtI,K0不变即原子序数大的靶材，X射线强(见图3-2(c)。4)经验公式：在垂直X射线传播方向上单位面积上单位时间内所通过的光子数总和I=SZ-V2(k0为系数)5)X射线管的效率x射线功率电子流功率k0iZViV= koZV9ko

42、1.11.4父10对于鸨靶，Z=74,当电压为100KV则刈Q1%可见99嗨凸量变成热能。X射线谱的理论解释由量子力学理论，X射线流是由于每次碰撞产生的光子组成的，光子能量hvo由于电子碰撞阳极后产生光子，大多数电子并不是一次碰撞就耗尽全部能量，而是经过多次碰撞，每次碰撞后产生光子的能量不同，即h¥i不同。由于Vi=-,由于大量统计规律，九i为一个,i连续谱线。但是，光子能量最大的为：hVmax=eV ,因此存在短波限九° (九。二hceV),可见，对一定电压，入0有一个极小值，且随着电压升高，3.3.2标识X射线谱标识X射线现象对于 Mo靶，V<20KV,只有连续谱

43、；V>20KV,并且有两个强度高峰(见图3-3),两个峰为：K <0.63 A0,九0变短。o K1 : 0.70926 AK/0.71 A0K -2 :0.71351AKa由波长相近的两个组成，即 KS和K为2:1。如果双峰不能分辨则简称为 K其强度比例取平均值，即：一 2 一 1 一K .二1 K 1 二 K 233标识谱的规律双峰的强度比 波长的计算按出现标识谱。的波长分别ot，其(1)(2)一定的Z有一定的KV激发限,(KV)k级(KV)l级、(KV)M级； 电压升高(KV ),电流增加(i图3-3 X射线标道谱的特征标识谱分成若干条 K、L、M不同系有不同激发电压),Kg

44、 Kp波长不变，但X射线强度增加(I g I # )；(3)改变Z,七、Kp波长遵循Moseley定津1 =c(Z-仃)，其中c、仃均为常数。标识X射线理论解释(1)K系电子被电子轰出，K系激发，能量升高，K层出现空位;(2) L系电子填充K系空位，有Q辐(3) M系电子填充K系空位，产生Kp(4)与K系同理有L系激发，相应M系辐射等。但L、M系辐射强度均较射线谱上不易看到；(5)Kp辐射的光子能量大于Ka,由所以Kp波长小于Ka；(6)由于K层被L层电子填充的几M层电子填充的几率，所以，Kp辐射小，因此心强度大于Kp强度，(7)L层上有8个电子，它们能级并位被两个不同L副层上的电子填和K双重

45、线辐射。割菇图L态f出走L电子)_内态(击走回电子)，出走价电子牛性原子产生X射线标识谱的电射；辐射；伴随L系辐射或K系小的多，在x于E=hv=h,九率远大于K层被的光子数较Ka(I=51Kp)；不相同，K层空充时，产生K,1Moseley定律标识谱的波长只取决于阳极靶构能级，而与其它外界因素无关，它特征。Moseley与1913-1914年发现的波长与原子序数Z之间存在关系：J1=c(Z-仃)，V九其中c、仃均为常数。该关系称为Moseley定律，是X的重要理论基础。图3-5绘出了元素表示X射线谱波长的关系。常用的阳极靶K系标识X射线谱电压列于表3-2中表3-2不同阳极靶的标识X射线波3.5

46、X射线衍射的发现1912年R.P.Ewald博士，当时他对光波穿过按当时在慕尼黑大学做教师的子图3-5标识谱的波长与原子序数的关系在著名理论物理学家ASommerfeld的指导下,一定模式排列的晶体散射原子的情形进行数学分析。MLaue如何处理该问题，讨论当中Laue问物质的原子结是物质的固有表示X射线谱射线光谱分析的原子序数与的波长和工作长在德国慕尼黑读他去请教Ewald,如果光波的波长比原子间距大得多将会发生什么情况？Ewald说他的公式应该包括这种情况，Ewald发现Laue“若有所思”，就没有再讨论下去。不久Laue就提出了X射线衍射的想法，当时Sommerfeld的研究助手WFrie

47、drich以及Knipping按Laue的想法进行了相关试验并取得了成功。关于X射线衍射的第一份研究报告发表在1912年6月的皇家巴伐利亚科学亚会议文集中。Friedrich和Knipping的实验装置如图3-6所示。一束X射线经过隔板上的小孔进入一个铅箱，并经过一系列小孔(B1,B2,B3,B4),最后的小孔将射线束宽度限制在1mm此射线射在晶体上，照相底片分布在晶体四周以便接受衍射线。实验晶体为硫酸铜。图3-7是最早的X射线衍射的照片。图3-6Laue晶体衍射实验装置示图3-7Luae实验所得到的晶体X伦琴发现X射线十七年以后才验证了其衍射现象，其实在十七年中科学家们作了大量的实验，大家之

48、所以未发现其衍射效应是因为得到这些衍射信息需要相当长的曝光时间，因为当时的X射线的强度都很低。后来Friedrich回忆这次历史性发现的经过时说：“我从有关次级射线强度的经验得知，要想得到结果，需要有很长的曝光时间，不然这种现象早就被人发现了。在我研究双折射和偏振时经常用X射线来辐照晶体，幸运的是Sommerfeld允许我们使用大功率的X射线管。选择合适的晶体也很重要，最初我们认为这种现象是晶体的特征次级辐射所造成的，因此最初的几次实验并没有收获，在平行于光源的底片上，特征团只是略有显示。虽然干涉效应的理论原则上已经建立，但是Laue当时还未给出确切的表述，特别是当时还不了解效应的本质。后来我

49、们把底片放在晶体后面经过许多小时的曝光，才得出了大家所熟悉的干涉效应照片。与此同时Laue进一步发展了此种干涉效应的理论。1912年7月8日Sommerfeld向慕尼黑科学院提交了关于干涉现象的著名报告，因此X射线的波动性得到了确证。”3.6X射线与物质的相互作用X射线与物质相互作用时,可分为三部分, 个过程方3.6.1 X射线散廉(1)相丁散射相干散射是x射战在晶彳强迫振动的电子成为新的O电磁波源，向空口HI = I 0 ea晒述散射x射线产干#相干发生花脚寡推用过程。X射线通过物质时,他的能量部分被吸收史都芬通途！质继续沿原方向传播。其整I光电子性衍射的基础。电子在X射线电场的作用下强迫振

50、动,向辐射电磁波。如果散射波和频率与入射波相同，这些新散射波之词可以发生干涉作用相干散射不损失潜斓IX啊寸缨屋精噱脚爆蕾画，但对于入射方向来说，起到了强度衰减作用(2)非相干散射一康普顿效应当X射线与束缚力不大的外层电子或自由电子碰撞时，电子获得一部分动能成为反冲电子，光子也离开原来的方向，如图3-9所示。碰撞后的光子能量减小，波长增加。非相干散射表现为X射线的粒子特性，散射波的位相与入射波的位相之间不存在固定的关系，不能互相干涉，只能增加衍射花样连续背底。非相干散射给X射线衍射带来不利的影响。3.6.2 X射线吸收圉造电无、期裁产生榭grttt雕菌图物质对X射线的吸收是指X射线的能量在通过物质时转变成为其他形式的能量，即所谓真吸收。真吸收是由于原子内部电子跃迁引起的。(1)光电效应入射x射线光量子打出的电子叫光电子，所发射的标识辐射称为荧光辐射，这种以光子激发原子所发生的激发和辐射的过程称为光电效应。LMNX射线击出一个K层导3-10生点1度!限国（荧光x射线，二次标识X射线）、光电子，吸收一部分X射线