高中人教版数学必修一《几类不同增长的函数模型》教案

1、3.2.1几类不同增长的函数模型教案教学目标知识与技能掌握指数函数、对数函数以及备函数等的图象和性质,会比拟它们的增长差异.过程与方法通过比拟上面几类函数的增长差异,体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型增长的含义.情感、态度与价值观提升学生的观察、分析、比拟水平,以及总结的水平,培养数学思维的逻辑性.教学重点与难点：利用函数模型分析问题.教学过程设计第一课时一、材料：澳大利亚兔子数“爆炸在教科书第三章的章头图中,有一大群喝水、嬉戏的兔子,但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年,有人从欧洲带了几只兔子进入澳洲,由于澳洲茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到100年,

2、兔子们占领了整个澳大利亚,数量到达75亿只.可爱的兔子变得可恶起来,75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚人头痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至二十世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大利亚人才算松了一口气.二、例题分析例1、假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.请问,你会选择哪种投资方案？分析：问题1、依据什么标准来选取

3、投资方案？日回报效益,还是累计回报效益？问题2、如何建立日回报效益与天数的函数模型？解：设第x天所得回报是y元,方案一可以用函数y40(xN*)进行描述;方案二可以用函数y10xxN*进行描述;方案三可以用函数y0.42x1xN*进行描述.问题3、三个函数模型的增减性如何?三个模型中,第一个是常数函数,后两个都是递增函数模型.问题4、要对三个方案作出选择,就要对它们的增长情况进行分析,如何分析?1、日回报效益分析:1三个方案所得回报的增长情况:表1X,/下、方案一方案二方案三|x大y元增加量元y元增加量元y元增加量元140100.4240020100.80.4|340030101.60.844

4、0040103.21.6|540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.42作出三个函数的图象:函数图象是分析问题的好帮手,为了便于观察,我们用虚线连接离散的点.我们看到,底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多,从中你对“指数爆炸的含义有什么新的理解？3根据这里的分析,是否应作这样的选择：投资5天以下选方案一,投资58天选方案二,投资8天以上选方案三？由表和图可知,方案一的函数是常数函数,方案二、方案三的函数都是增函数,但是方案三的函数

5、与方案二的函数的增长情况很不同.可以看到,尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍,但它们的增长量是成倍增加的,从第7天开始,方案三比其他两个方案增长得快得多,这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的,从每天所得回报看,在第14天,方案一最多,在58天,方案二最多；第9天开始,方案三比其他两个方案所得回报多得多,到第30天,所得回报已超过2亿元.2、累计回报效益分析:报/3力杀1234567891011一4080120160200240280320360400440一103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.

6、8102204.4409.2818.8方案一回报元“方案二回报元方案三回报元线性方案一回报元多项式方案二回报元因此,投资8天以下不含8天,应选择第-W梃0恸I;投资810天,应选择第二种投资方案；投资11天含11天以上,刚应选择第三种投资方案.例2、某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个鼓励销售人员的奖励方案：在销售利润到达10万元时,按销售利润进行奖励,且资金y单位：万元随销售利润x单位：万元的增加而增加,但资金总数不超过5万元,同时资金不超过利润的25%.现有三个奖励模型:y0.25x,y10g7x1,y1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求?分析：某个奖励模型符合公司要求

7、,就是依据这个模型进行奖励时,奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%,由于公司总的利润目标为1000万元,所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是,只需在区间10,1000上,检验三个模型是否符合公司要求即可.(1)借助计算机作出函数的图象：对数增长模型比拟适合于描述增长速度平缓的变化规律.通过观察函数图象得到初步结论：按对数模型进行奖励时符合公司的要求.(2)列表计算确认上述判断:金/禾润y0.25xy1.002xylog7x1102.51.022.182051.042.548004.954.448105.044.44210004.55(3)问题：当X10,1000时,奖金是

8、否不超过利润的25%呢?我们来看函数f(x)log7x10.25x的图象：综上所述,模型y1og7x1确实能符合公司的要求.三、学习水平反应：P98,练习1,2.四、课堂小结确定函数模型一利用数据表格、函数图象讨论模型一体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.熟悉数学的价值,熟悉数学与现实生活、与其他学科的密切联系,从而体会数学的实用价值,享受数学的应用美.五、课后作业：P98,练习2.教学反思：第二课时一、探究：对数函数ylogax(a1),指数函数yax(a1)与募函数yxn(n0)在区间(0,)上增长差异的具体情况.x2特例引入：探究对数函数y10g2x,指数函数y2与

9、募函数yx在区间(0,)上的增长差异情况.策略一：表格计算(学生可用计算器完成)x12345678y2x2481632641282562yx1491625364964ylog2x011.58522.3222.5852.8073策略二：用几何画板作出函数的图象进行比拟.般结论:在区间(0,)上,随着x的增大,yax(a1)的增长速度越来越快(指数爆炸),会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度(直线上升),而ylogax(a1)的增长速度那么会越来越慢(对数增长).因此,总会存在一个x0,当xx0时,有logaxxnax.二、学生探究对数函数ylogax(0a1),指数函数yax(0a1)与募函数yxn(n0)在区间(0,)上的衰减情况.12特例探究：探究对数函数y10glx,指数函数y(-)与哥函数yx在区间(0,)上的22增长差异情况.策略一：表格计算(学生可用计算器完成)x12345678y(1)x2121418116132164112812562yx11419116125136149164ylogx20-1-1.585-2-2.32