高中数学完整讲义排列与组合排列组合问题的常见模型

1、排列组合问题的常见模型1知识内容1 .根本计数原理加法原理分类计数原理：做一件事,完成它有n类方法,在第一类方法中有mi种不同的方法,在第二类方法中有m2种方法,在第n类方法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有Nmim2Lmn种不同的方法.又称加法原理.乘法原理分步计数原理：做一件事,完成它需要分成n个子步骤,做第一个步骤有m1种不同的方法,做第二个步骤有m2种不同方法,做第n个步骤有mn种不同的方法.那么完成这件事共有Nmim2Lmn种不同的方法.又称乘法原理.加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的,那么计算完成这件事的方法数时,使用分类计数原理.如果完成一件事

2、的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事才告完成,那么计算完成这件事的方法数时,使用分步计数原理.分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论根底,也是求解排列、组合问题的根本思想方法,这两个原理十分重要必须认真学好,并正确地灵活加以应用.2 .排列与组合排列：一般地,从n个不同的元素中任取m(m4n)个元素,根据一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(其中被取的对象叫做元素)排列数：从n个不同的元素中取出m(m<n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A：表示.排列数公式：Amn(n1)(n2)l(n

3、m1),m,nN,并且m<n.全排列：一般地,n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元素的一个全排列.n的阶乘：正整数由1到n的连乘积,叫作n的阶乘,用n!表示.规定：0!1.组合：一般地,从n个不同元素中,任意取出m(m<n)个元素并成一组,叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合.组合数：从n个不同元素中,任意取出m(m<n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中,任意取出m个元素的组合数,用符号cm表示./匚人如八一mn(n1)(n2)L(nm1)n!组合数公式：Cm-()()(),m,nN,并且m<n.m!m!(nm)!组合数的两个性质：性质1:CmC

4、：m;性质2:Cm1CmCm1.(规定Cn1)排列组合综合问题解排列组合问题,首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄清是分类还是分步,是排列还是组合,同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置；2 分类分步法：对于较复杂的排列组合问题,常需要分类讨论或分步计算,一定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏3排除法,从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法4捆绑法：某些元素必相邻的排列,可以先将相邻的元素“捆成一个元素,与其它元素进行排列

5、,然后再给那“一捆元素内部排列5插空法：某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不相邻的元素插空6.插板法：n个相同元素,分成mm&n组,每组至少一个的分组问题把n个元素排成一排,从n1个空中选m1个空,各插一个隔板,有Cnm117分组、分配法：分组问题分成几堆,无序有等分、不等分、局部等分之别一般地平均分成n堆组,必须除以n！,如果有m堆组元素个数相等,必须除以m！8错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里,每个盒子放一个小球,要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列,特别当n2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44关于5、6、7个元素的错位排列的计

6、算,可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题1 排列与组合应用题,主要考查有附加条件的应用问题,解决此类问题通常有三种途径：元素分析法：以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素；位置分析法：以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置；间接法：先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数.求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件,防止“选取时重复和遗漏；最后列出式子计算作答2 具体的解题策略有：对特殊元素进行优先安排；理解题意后进行合理和准确分类,分类后要验证

7、是否不重不漏；对于抽出局部元素进行排列的问题一般是先选后排,以防出现重复；对于元素相邻的条件,采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题,采取插空法或隔板法；顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；对于正面考虑太复杂的问题,可以考虑反面.对于一些排列数与组合数的问题,需要构造模型.典例分析排队问题1】三个女生和五个男生排成一排如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法2】6个人站成一排：其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少

8、种不同的排法其中甲不站排头,且乙不站排尾有多少种不同的排法3】7名同学排队照相假设分成两排照,前排3人,后排4人,有多少种不同的排法假设排成两排照,前排3人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不同的排法假设排成一排照,甲、乙、丙三人必须相邻,有多少种不同的排法假设排成一排照,7人中有4名男生,3名女生,女生不能相邻,有多少种不同的排法4】6个队员排成一排,共有多少种不同的排法假设甲必须站在排头,有多少种不同的排法假设甲不能站排头,也不能站排尾,问有多少种不同的排法例5ABCDE五个字母排成一排,假设ABC的位置关系必须按A在前、B居中、C在后的原那么,共有种排法用数字作答.例

9、6用1到8组成没有重复数字的八位数,要求1与2相邻,3与4相邻,5与6相邻,而7与8不相邻,这样的八位数共有_个用数字作答【例7】记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有A.1440种B.960种C720种D.480种【例8】12名同学合影,站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,假设其他人的相对顺序不变,那么不同调整方法的总数是A.C8A2B.C2A6C.c8a6D.C2A2例9记者要为5名志愿者和他们帮助的不同的排法共有A.1440种B.960种2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,C. 720

10、种D. 480种10在数字1,2,3与符号五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列个数是A6B12C18D2411计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩、4幅油画、5幅国画,排成一列陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的陈列方式有种126人站一排,甲不站在排头,乙不站在排尾,共有种不同的排法用数字作答13一条长椅上有7个座位,4人坐,要求3个空位中,有2个空位相邻,另一个空位与2个相邻位不相邻,共有几种坐法143位男生和3位女生共6位同学站成一排,假设男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,那么不同排法的种数是A360B288C216D96【例1

11、5】古代“五行学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.将五种不同属性的物质任意排成一列,但排列中属性相克的两种物质不相邻,那么这样的排列方法有种结果用数值表示.【例16在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7中,使相邻两数都互质的排列方式共有种.A.288B.576C.864D.1152【例17】从集合P,Q,R,S与0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中各任取2个元素排成一排字母和数字均不能重复.每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是.用数字作答【例18】从集合0尸3,巳5与0,1,2,3,4

12、,5,6,7,8,9中各任取2个元素排成一排字母和数字均不能重复.每排中字母O,Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是.用数字作答【例19】6个人坐在一排10个座位上,问空位不相邻的坐法有多少种4个空位只有3个相邻的坐法有多少种4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种203位男生和3位女生共6位同学站成一排,假设男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,那么不同排法的种数是A360B288C216D962112名同学合影,站成了前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,其他人的相对顺序不变,那么不同调整的方法的总数有AC82A32BC82A66C28A62DC28A522

13、2两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成,每卷1本,共8本将它们任意地排成一排,左边4本恰好都属于同一部小说的概率是232007年12月中旬,我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾,电煤库存吃紧为了支援南方地区抗灾救灾,国家统一部署,加紧从北方采煤区调运电煤某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度,决定将这6列列车编成两组,每组3列,且甲与乙两列列车不在同一小组如果甲所在小组3列列车先开出,那么这6列列车先后不同的发车顺序共有数字问题A36种B108种216种D432种24】给定数字0、1、2、3、5、9,每个数字最多用一次,可能组成多少个四位数可能组成多少个四位奇数可能组成多少个四位偶数

14、可能组成多少个自然数25】用0到9这10个数字,可组成多少个没有重复数字的四位偶数26】在1,3,5,7,9中任取3个数字,在0,2,4,6,8中任取两个数字,可组成多少个不同的五位偶数27】用1,2,3,4,5排成一个数字不重复的五位数a1,a2,a3,a4,a5,满足a1a2,a2a3,a3a4,a4a5的五位数有多少个【例28】用0,1,2,L,9这十个数字组成无重复数字的四位数,假设千位数字与个位数字之差的绝对值是2,那么这样的四位数共有多少个【例29】用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个用数学作答.【例30】有

15、4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标数字之和等于10,那么不同的排法数一共有#.432;【例31】有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5,那么不同的排法共有A.1344种B.1248种C.1056种D.960种【例32】有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标数字之和等于10,那么不同的排法共有一

16、种用数字作答.【例33】用1,2,3,4,5,6组成六位数没有重复数字,要求任何相邻两个数字的奇偶性不同,且1和2相邻,这样的六位数的个数是用数字作答.【例34】用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的五位偶数共有A.48个B.36个C.24个D.18个【例35】从1,2,3,8,9,10这6个数中,取出两个,使其和为偶数,那么共可得到个这样的不同偶数【例36求无重复数字的六位数中,能被3整除的数有个.【例37用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个用数学作答.【例38】从0,1,2,3,4,5这六

17、个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为A.300B.216C.180D.16239从0,12,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为A300B216C180D16240从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问：能组成多少个没有重复数字的七位数其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个上述七位数中三个偶数排在一起的有几个中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个41用0到9这九个数字可组成多少个没有重复数字的四位偶数42有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一行如果取出的4张卡片所标数字之和等于10,那么不同的排法共有种用数字作答43在由数字1