年高考第一轮复习数学.棱柱与棱锥

1、9.10 棱柱与棱锥知识梳理1. 有两个面互相平行，其余各面的公共边互相平行的多面体叫做棱柱.侧棱与底面垂 直的棱柱叫做直棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.2. 棱柱的各侧棱相等，各侧面都是平行四边形；长方体的对角线的平方等于由一个 顶点出发的三条棱的平方和.3.个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥.底面是 正多边形并且顶点在底面上的射影是正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.4.棱锥中与底面平行的截面与底面平行，并且它们面积的比等于对应高的平方比.在正棱锥中，侧棱、高及侧棱在底面上的射影构成直角三角形；斜高、高及斜高在 底面上的射影构成直角三角形.点击双基1. 设M=

2、正四棱柱, N= 直四棱柱, P= 长方体, Q= 直平行六面体，则四个集合的关系为A.M P N QB.M P Q N C.P M N Q D.P M Q N解析：理清各概念的内涵及包含关系.答案：B2. 如图，在斜三棱柱 ABC A1B1C1中，/ BAC=90，BC1丄 AC，贝UCi在底面 ABC上的射影 H 必在A.直线 AB 上B.直线 BC 上C.直线 AC 上D. ABC 内部解析：由 AC 丄 AB，AC 丄 BC1，知 AC 丄面 ABC1，从而面 ABC1丄面 ABC，因此，C1在底面 ABC 上的射影 H 必在两面的交线 AB 上.答案：A3将边长为 a 的正方形 AB

3、CD 沿对角线 AC 折起，使 BD=a,贝 U 三棱锥 DABC 的体积为答案：D4. （2003 年春季上海）若正三棱锥底面边长为 4,体积为 1,则侧面和底面所成二面角的大小等于 _ .（结果用反三角函数值表示）解析：取 BC 的中点 D，连结 SD、AD，则 SD 丄 BC, AD 丄 BC./ SDA 为侧面与底面所成二面角的平面角，设为a在平面 SAD 中，作 SO 丄 AD 与 AD交于 O,则 SO 为棱锥的高.2AO=2DO,AOD= .3 .311又 VS-ABC=丄-AB BC sin60 h=1,32_ 3.3SO V 34DO 2、383、 a=arcta n383答

4、案：arctan85._ 过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的 面积的比（自上而下）为.解析：由锥体平行于底面的截面性质知，自上而下三锥体的侧面积之比，S侧1: S侧2:S侧3=1: 4 : 9,所以锥体被分成三部分的侧面积之比为1 : 3 : 5.答案：1 : 3 : 5典例剖析3A.O_6B12a3【例 1】已知 E、F 分别是棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 A1A、CC1的中点，求四棱锥 Ci BiEDF 的体积.解法一：连结 AiCi、B1D1交于 Oi,过 Oi作 OiH 丄 BiD 于 H , EF / AiCi, AiCi/平

5、面 BiEDF.ACi到平面 BiEDF 的距离就是 AiCi到平面 BiEDF 的距离.平面 BiDiD 丄平面 BiEDF ,OiH 丄平面 BiEDF，即卩 OiH 为棱锥的高.BiOiHBiDDi,.OiH=BiOi DDia,BiD6VC1_B1EDF= SB1EDFOiH= .一 EF BiD OiH = . 2a、3a a= a .3i323266解法二：连结 EF，设 Bi到平面 CiEF 的距离为 hi, D 到平面 CiEF 的距离为 h2,则 hi+h2=BiDi=、2a,Vci_B1EDF= V_C1EF+ VD_C1EF= SC1EF (hi+h2)= - a .36

6、特别提示求体积常见方法有：直接法(公式法)；分割法；补形法【例 2】如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA=AB=2, BC=a, 又侧棱 PA 丄底面 ABCD.(1) 当 a 为何值时，BD 丄平面 PAC?式证明你的结论.(2) 当 a=4 时，求 D 点到平面 PBC 的距离.(3) 当 a=4 时，求直线 PD 与平面 PBC 所成的角.剖析：本题主要考查棱锥的性质，直线、平面所成的角的计算和点到平面的距离等 基础知识.同时考查空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力.本题主要是在有关的计算中，推理得到所求的问题，因而尽量选择用坐标法计算解法三：VCi占EDF=

7、V多面体 AiBiDiCiFDVE -i BiCiDiE -CiDiDi3=_ a .6解：（1）以 A 为坐标原点，以 AD、AB、AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立 空间直角坐标系，当 a=2 时，BD 丄 AC,又 FAXBD，故 BD 丄平面PAC.故 a=2.（2）当 a=4 时，D （4，0，0）、C （0，2，0）、C （4，2，0）、F （0，0，2）、FB=（0，2，2），BC=（4，0，0）.设平面 FBC 的法向量为 n,则 n FB=0，n BC=0，即（x，y，z） （0，2, 2）=0，（x，y，z） （4，0，0） =0，得 x=0，y=z，取 y=

8、1，故 n= （0，1，1）.则 D 点到平面FBC的距离d= 2直线 FD 与平面 FBC 所成的角为9,贝 U sin9=sin （上一a）2所以直线 FD 与平面 FBC 所成的角为 arcsin10.10【例 3】如图，设三棱锥 S-ABC 的三个侧棱与底面 ABC 所成的角都是 60,又/BAC=600，且 SA1BC.（1） 求证：S-ABC 为正三棱锥；（2） 已知 SA=a,求 S-ABC 的全面积.（1）证明：正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可.作三棱锥 S ABC 的高 SO, O 为垂足，连结 AO 并延长交 BC于 D.因为

9、 SAXBC,所以 AD 丄 BC.又侧棱与底面所成的角都相等，从而 O ABC 的外心，OD 为 BC 的垂直平分线，所以 AB=AC.又/BAC=60,故厶 ABC 为正三角形， 且 O(3)DF=(4, 0, 2), COSDF, n.=0,证DF, n=a，设|DF| n| 10=COSa=10为其中心.所以 S ABC 为正三棱锥.（2）解：只要求出正三棱锥 S ABC 的侧高 SD 与底面边长，则问题易于解决在 Rt SAO 中，由于 SA=a,/ SA860。，所以 SO=-a, AO=1a.因 O 为重心，所2233.311以 AD= AO= a, BC=2BD=2ADcot6

10、0 =a, OD=-AD=a.24234在 RtASOD 中，SD2=S& + OD2= (-a)2+( - a)2=，则 SD= a.241614于是( S)_1.(丽、2 s Ia 13占_ 3(屁殛)2疋,(SSABC)全( a) sin60 + 3 a a=a .2224216深化拓展(1)求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式S正棱锥底=COSa S正棱锥侧(a为侧面与底面所成的二面角).就本题 cosa=, SBC= a2，所以(SSABC)侧二32*J131661=9a2.于是也可求出全面积.13 16氏R(2)注意到高 SC=-a,底面边长 BC=-a 是相等的，因此这

11、类正三棱锥还有高22与底面边长相等的性质，反之亦真.(3) 正三棱锥中，若侧棱与底面边长相等，则变成四个面都是正三角形的三棱锥，这时可称为正四面体，因此正四面体是特殊的正三棱锥，但正三棱锥不一定是正四面体闯关训练夯实基础为 E、F、G、H.设四面体 EFGH 的表面积为 T,则等于解析：如图所示，正四面体 ABCD 四个面的中心分别为 E、F、G、H ,四面体 EFGH 也是正四面体.连结 AE 并延长与 CD 交于点 M ,1. (2004 年全国I,10)已知正四面体 ABCD 的表面积为S,其四个面的中心分别A.1B.C.D.连结 AG 并延长与 BC 交于点 N. E、G 分别为面的中

12、心,AE=AG=2.GE=2AM AN 3.MN 3答案：A2.P 是长方体 ACi上底面 AiCi内任一点，设 AP 与三条棱 AAi、AB、AD 所成的角2 2 2为a、B、Y,贝 U COSa+COS 许 COSY勺值是3A.1B.2C.D.不确定正2解析：以 AP 为一条对角线截得小长方体 AP,由长方体的对角线长定理可得 coS2a+coV+C0S2Y=1.答案：A3.在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H 分别是棱 CCi、C1D1、DiD、DC的中点，N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 的边及其内部运动，则 M 只需满足条 件_ 寸，就有 MN 丄

13、AC.答案：点 M 与 F 重合说明：本题答案不唯一，当点 M 在线段 FH 上时均有 MN 丄 AC.4在三棱锥 S-ABC 中，/ ASB=ZASC=ZBSC=60。，贝 U 侧棱 SA 与侧面 SBC 所成 的角的大小是_ .答案：arccos35三棱锥一条侧棱长是 16 cm,和这条棱相对的棱长是 18 cm， 其余四条棱长都是 17 cm，求棱锥的体积.又 MN=1BD,2GE=1BD=3面积比是相似比的平T=1S=9解：如图，取 AD 的中点 E，连结 CE、BE，/AC=CD=17，DE=8，CE2=172-82=225，BE=CE，取 BC 的中点 F ,连结 EF, EF 为

14、 BC 边上的高，EF=CE2-CF2=、15292=12.-SBCE=108. AC=CD=17cm, E 为 AD 的中点，CE 丄 AD,同理 BE 丄 AD, DA 丄平面 BCE.三棱锥可分为以底面 BCE 为底，以 AE、DE 为高的两个三棱锥.113 VABCD=VABCE+VDBCE=2 一 SBCEAE=2X - X108X8=576(cm).336. (2003 年春季北京)如图，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面边长为22,侧棱长为 4, E、F 分别为棱 AB、BC 的中点，EFABD=G.(1) 求证：平面 B1EF 丄平面 BDD1B1；(2) 求点 D1到

15、平面 B1EF 的距离 d.(1) 证法一：连结 AC.正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面是正方形， AC 丄 BD.又 AC 丄 D1D , AC丄平面 BDD1B1. E、F 分别为 AB、BC 的中点，故 EF/ AC. EF 丄平面 BDD1B1.平面 B1EF 丄平面 BDD1B1.证法二： BE=BF，/ EBD=Z FBD=45, EF 丄 BD.又 EF 丄 D1D, EF 丄平面 BDD1B1.平面 B1EF 丄平面 BDD1B1.(2) 在对角面 BDD1B1中，作 D1H 丄 B1G，垂足为 H.平面 B1EF 丄平面 BDD1B1，且平面 B1EFA平面 BDD

16、1B1=B1G, D1H 丄平面 B1EF，且垂足为 H.点 Di到平面 BiEF 的距离 d=DiH.解法一：在 RtAD1HB1中，DiH=DiBi sin/ D1B1H. DiBi=、2AiBi=, 2 2. 2=4,sin/ DiBiH=sin/ BiGB=4GBi解法二:DiHBisABiBG,DiH=DiBiBB=BiG解法三：连结 DiG，则 DiGBi的面积等于正方形DBBiDi面积的一半，即ii2厂 BGDiH= -BiB，培养能力7.在正三棱柱 ABC AiBiCi中，ABi=、3BBi，(1) 求证：ABi丄 BCi;(2) 求二面角 A BCiC 的正切值.(i)证法一

17、：如图，取 BC 的中点M，连结 BiM、BCi交于 N,贝UAM 丄面 BCi.下证 BCi丄 BiM.设 BBi=i，则 ABi=3，AB=BC=2， tan/ BiMB=、2=tan/ BiBCi.4、 d=DiH=44=16(1717=17 d=DiH=BBiGi6.i7 d=DiH=Bi=BiGi6.i7i742i7得 BiMBBiBN./BiBM=90 =ZBiNB，即 BCi丄 BiM. BCi丄斜线 ABi.证法二：如图，取 BiCi和 BiB 的中点 E 与 D，连结 ED，则 DE / BCi.再取 AB 的 中点G，连结 DG，则 DG/ ABi，/GDE 为异面直线 A

18、Bi、BCi所成的角.下用勾股定理证明/ GDE 为直角.取 AiBi的中点F，连结 EF、EG、FG，则 EG=EF2FG2且 DE、DG 均可表示出.故可知 EG2=DE2+ DG2，AZGDE=90 .(2)解：连结 AN，贝U/ANM 为所求二面角的平面角，tan/ ANM=3.评述：本题(i)证法一中可把面 BBiCiC 单独拿出作成平面图形，则易于观察 BiMB 与厶 BiNB 的相似关系.证法二的特点是思路较好.因为所证为两异面直线，作出其 所成角为一般方法.8. (2005 年春季北京，文如图，正三棱锥SABC 中，底面的边长是 3,棱锥 的侧面积等于底面积的 2 倍，M 是

19、BC 的中点.求：(1) 処的值；SM(2) 二面角 S- BC A 的大小；(3) 正三棱锥 S ABC 的体积.解：(1)vSB=SC, AB=AC，M 为 BC 的中点，二 SM 丄 BC，AM 丄 BC.由棱锥的侧面积等于底面积的 2 倍，即113X BCXSM=2X BCXAM，22AM _3得 =_ .SM 21(2)作正三棱锥的高 SG, J 则 G 为正三角形 ABC 的中心，G 在 AM 上, GM = -AM.3 SM 丄 BC，AM 丄 BC，/ SMA 是二面角 S BCA 的平面角.在 RtASGM 中，22 SM=2AM = - X 3GM=2GM ,33/ SMA

20、= / SMG=60,即二面角 S-BC A 的大小为 60 .（3）vABC 的边长是 3,AM= , GM= , SG=GMtan60 =仝3=3.2 2 2 2.VSABC=1S 屈BCSG=! 9.3四3428（2005 年春季北京，理 16）如图，正三角形 ABC 的边长为 3,过其中心 G 作 BC边的平行线，分别交 AB、AC 于 Bi、。.将厶 ABiCi沿 BiCi折起到 AIBICI的位置，使点 Ai在平面 BBiCiC 上的射影恰是线段 BC 的中点 M.求：（1） 二面角 AiBiCi M 的大小；（2） 异面直线 AiBi与 CCi所成角的大小.（用反三角函数表示）解

21、：（i）连结 AM、AiG. G 是正三角形 ABC 的中心，且 M 为 BC 的中点，.A、G、M 三点共线，AM 丄 BC. BiCi/ BC,. BiCi丄 AM 于点 G,即 GM 丄 BiCi, GAi丄 BiCi.ZAiGM 是二面角 AiBiCiM 的平面角.点 Ai在平面 BBiCiC 上的射影为 M ,.AiM 丄 MG,ZAiMG=90.在 RtAAiGM 中，由 AiG=AG=2GM，得ZAiGM=60,即二面角 AiBiCi M 的大小是 60 .（2）过 Bi作 CiC 的平行线交 BC 于点 P,则ZAiBiP 等于异面直线 AiBi与 CCi所成的角.1由 PBi

22、CiC 是平行四边形得 BiP=CiC=1=BP, PM=BM - BP=_ , AiBi=ABi=2.2 AiM 丄面 BBiCiC 于点 M ,二 AiM 丄 BC,ZAiMP=90在 RtAAiGM 中，AiM=AiG sin60 = .3 三=?.2 2在 RtAAiMP 中，AiP2=AiM2+PM2= ( - )2+ (丄)2=-.2 2 2在厶 AiBiP 中，由余弦定理得异面直线 AiBi与 CCi所成角的大小为 arccos5.8探究创新9. (2004 年天津，理 i9)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形, 侧棱PD 丄底面 ABCD，PD=DC, E 是 PC 的中点，作 EF 丄 PB 交 PB 于点 F.(1) 证明：PA/平面 EDB;(2) 证明：PB 丄平面 EFD;(3) 求二面角 CPBD 的大小.解法一：(i)证明：连结 AC 交 BD 于 O.连结 EO.底面 ABCD 是正方形，点 O 是 AC 的中点.在厶 FAC 中，EO 是中位线， PA / EO.而 EO 平面 EDB 且 PA 二平