高中数学快速解题方法精彩运用——双根法!

1、高中数学快速解题方法精彩运用一一双根法!I求该椭圆的离心率和标准方程；【调研1】双曲线U二-乜匚1何.?0的Q'犷右焦点为F,过F且斜率为白的直线交匚于机B两点.假设索=4的,那么C的国心率为A,-B.-C,-D,-5555U1过囱做直线I交椭圆于尸,Q两点,使啊_LQR求直线/的方程分析；此题是一道典型的直线与圆银曲线的综合解做题,通常的做法是我立直线与圆锥曲线的方程,利用韦达定理消无解决.转含此题,问题的关键是解决Pa_L0比这个条件转换为向量的数量积为零之后的复秦运算,思路虽然清楚,但运算比拟复杂.I传统解法】1该椭圆的离心率一兰,1量标准方程为|+?=；2由知团-2,0%历2,

2、0.当直级,垂直于H轴时,显然不成立.当直线,不垂直于工轴时,可设其方程为尸网国-2.口白,M,0工2T".弄号/凫字如萋生K解析E设片对,BMm,"匚,由力二475,杼ghl,-w=4g-.,肾,¥-虹工十2由止,得/5d二2尸-20=0,l20+T-设过F点鼾率为J3的直线方程为产已十£即(I-5K)x'+20卡;v+20比-20=0,y由产才仁玩-=0.h"'入产消去工得:彳一/)/+,+/=0,-j746b%.旃wv*'W,3菖才-20Jf2Qk-20.为+M二7,克】工Z=-1+5/-5k-":P1&

3、#177;04,%瓯=(2-vl)(2-x2)+jji2=0由于点F©在直线产任什2上,所以,产氏句+2,N广乩h+2.所以2-叫28+炉g+2Xx2+2=0.所以4-2.VL+肛+x】冷+A11为+2k2x产工?斗4卷0化简得1十出代途2+2炉=2"Mh升4#+4=0所刈-的讶好口需-骋割巧3将此i4fj代人得,a6Jj'c3<?对炉-3o:'r2blc化置得广质二可:物.一后五5,_3-*双川-3J：4(b:-3£j?)1化荷得：&?_寅3口+*上9(3Jy,声巧学妙解王与岁想同行头的/巧学空里盟匕.,25=3&F,小,即

4、片沁此题选A,调研口】如下图,设桶圆的中央为原点.,长轴在工轴上,上顶点为川,左右焦点分别为尸|、尸"线段UR、UR的中点分别为留、近且/历是面积为4的直角三角形,缺-40,1.2设椭圆.的方程为X-+铲a-b1=1W>/7>Oaa-2hn根据题意知,.,解得J=d,2a"-b'=133k.故椭圆C的方程为4J_33弊后反恐此法虽然恶结清蜥,但运算机为繁琐特町是在望张的测试中,学生能算出最后结果的僦乎其微.此题中,如柯化河13MM2-比卜共2)(石,2jT是运算的唯点一上述的解法虽然可行,但效率却不够高：且极容曷出情,事实上,我们只我能把(2必X2*.和

5、(工|+2)(4+2)用上晶表示,问题使能售到解决.如假设注恚到M、即是方程的两根,可把一5(.什2立2.=0左端的次子用我摧法表示一然后进行合理微值,就能轻而易举周到结芸.(2)容易求得椭圆(的方程为力屋匕当直线,的斜率不存在时,其方程为工二1,不符合题意；当直战,的斜率存在时,设直城的方程为尸网工-1).y=k(x-l)由?得2441>x2-4A2x+2铲-1=0.一+r=112,U解析同传统鲜法可得.Asx+2r-2o=o2-莺2-幻+F4+2益+2户0,由于司,工是方程/+52-20=0的两极.设尸(卬vi),0(X1,yjj那么所以+5内"2二-20-J45好工-小Q

6、-加式中令x=2得,2,5a2+2y-20=1+52-片2-巧所以22产吗单白尸二司+1,y,FQ=x2-+i,>-2由于其7_L而,所以可而M,即修+1为+y3产修治+说+*+1+标工广1,产1巧学妙解王与梦想同行方得/巧蟀潮t式,中学得(-2),5/(-2*2一?.二(1+吊为-2-MX-2-4)所以(jcl+2)(一百十2A、1+5V,(2-.TX2-x:HV|-h2H-V2+2)=叱-16+人*=仙.J5小1+5£工1+露斫以64k-16=0,即k=±-yM+1M1s+&+M+1=；:二;=o解得好二;,即b土手.故直线的方程为/J7yLi=0或x-7

7、7-1-0.战直线/的方程为尸=3丘2,即尸2+2=0或t-212=0【调研4圆了十丁=4的切线与m轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P,如下图.双曲线C：£-=1过点产an且离心率为6*.二,.'；./B弊后反思此法通过巧设双根式并进行舍理队值,运算融为商洁,真正到达了化蜚为筒的效果,可以说几乎没有什么运算了,令人叹为观止！上/三,；3学测当二【调研3椭圆.的两个焦点分别为0、F2ol短轴的两个端点分别为岛外.I假设"8胡为等边三用形,求椭圆C的方程；<2假设椭圆C的短轴长为2,过点F二的直线/与椭圆C相交于P、.两点,旦帝上城

8、,求直线/的方程,1求G的方程；2椭圆G过点尸且与G有相同的焦点,直线过J的右焦点且与G交于48两点.假设以线段月月为直径的圆过点P,求,的方程,中令产应得2/十2计2灰阳-3=“十2J?明拒-y2所以五于71也尸加“中+1m+2式中再令严正立,得0nR解析力I设切点坐标为35pltjvn>0+f/O,那么切线斜率为一3,切双方程为I,>0=XXoj即九%卬比94,此时两个全标轴的正半轴与切级的交点分别为士期,.&.故其国成的三弟超的面枳$=:士巴=色一.由需+1储生2%的知,当且仅当修产%F*和正时为的有聂大值,此时5有最小值4,因此点尸的坐标为,VI.1,+2亚芭/+2

9、VJfflx乒3_3mtn=加十狄旻虫切邑史却mm所以2r石一行jT而*104>/公'iX小尸nimm+2代人易得：2m2-2j6m+4j6-ll=0,故可解得n迎士2因此直线f的方程为.T-I产E=0或M+|广柩=0-1事号/巧¥至.罂P1由题意知44rb'ja2+必h3.'T解簿£=j,疗=2,故G的方程为一f二L2由【知G的焦点坐标却一反,0L4,0.由此可设J的方桂为二十二二1,其中加>0-3+A-E由R应,点在Q上,得已+缶=1,解科比=3,3+件h；因此g的方程为"+r=l63.一11,二W显然/的斜率不为0,故可知

10、宜线,的方程为产所产J3,巧学妙解王与梦怛同行解后反思此题方法钝用了巧设直线方程的技巧,有效地降低了运算,在此装础上运用猊根法,更是到达了优化运算的效果,可以说是双轲合璧！工调研5】如图,Iffi圆氏4+4=1g>8>0的离a-b心率是",点P0,l在短轴8上,且无瓦=LI求椭圆E的方程：2设.为坐标原点,过点p的动直线与椭圆交于a3两点.是否存在常数3使得流用+上届成为定值假设存在,求上的值;假设不存在,请说明理由.工势科/R-s&etn点出工i,y】,B的,经),由f/163将("十2)一2"呼一3=0.由于九E是方程的机故点耐+2记+2石

11、?n-3=(m2+2)(r-ri)()->)由于AP=(口,«»BP=iy/l-X2y6力所以AP*BP=J2-x：)(-J1式/(左叩X&乎)T&*町.1(&见1丁(V5*ViXQv；|t""T)(立二U子)+(".K"了>0用排.-"7巧那般:解析HU)由,点Co的坐标分别为(o,小),(0,br又点P的坐杼为且前劭二1I-b:=-1-=,解程f4正、a2所以椭圆E的方程为千+、=LF-(2)当直致AB的鼾率存在时,设立线AB的方程为>-=fof+l?A,B的坐标分别为Qi,川,

12、g7)*得2铲十口+4h2=.,井判别丈J=(4Af+8(2+l)>0t4k所以北七电=一,口*=-2k+iI从而,OA'f5S+zZ-Mph=的力+?$2+)占应-1)(2-I)二(1+好伙/2+就国+工2户_(2A-r+(-2A-1)_4,-；=j：-z2.21=*12+1所以当於1时,2k+1此时H汉十加闻一7为定值.当直线48斜率不存在时,直线餐R即为直袈CO,此时,04-ohPAOb-/PtPb=-2一l=-3.r；,.4品FW气卜6.纥士一解.3+1需=25-T-.44+3必T?44-+3,也g符LV.归,-2替昕(：,苏加E4y).故为初的氤值范国为卜4,?).【调

13、研7】椭圆及1+E=1(心心0)过点.a1bl点),且离心率为中一(1)求椭圆£的方程：(II)设直线l成F-I(xWR)交林圆E于R,B两点r判断点与以线段月8为直径的圆的位置关系,4并说明理由.b解析»解法一：(I)由徉12求况加的取值范围.(解析口由双曲线三-$=1存启焦点为.土力),二A-JJ.义由曰=tU一石4('4,cI»a2故精圆C的方程为工十二二I.43巧学妙解壬与梦想同行上匿引H5宇量总tv4,y1设直线的方程为尸网*一4,由/Q由诞意可知直微t的斜率存在,+-=1U3消去力得4炉7?32五十64必一I"明由T-32好产一44好

14、+364解-12>0,将入L,4寸殳/“,乃,Bx2.yi,22k164A!-I2那么M死二-；,MK尸,-4k2+3力妙产记用一4乂足一4="马有4月五十白汁16Ap2,斗匏号,巧学券皂先所以CQS<GAyGB>>0.匕9大8号不共线,所以/4GR为锐角口故点0-二0-4在以/B为直径的圆外,所以前ind化为利用用所以j29从而Vu-,G(-.0).w+24所以+HX,m%+?)*+j'o-44=(一+5+-网2.倒£f+5-斯£(加TXj1i一上?-迎出幼孕上型明扪限会技GH-M鼾5、,25丁二的吁1»必+正期+D+竺一17ni!+216+2),.99从而G4*(73=(ab+-X,?+:LJU245%二(w£广二)(m2+->yiL¥244,佣,1»心+7心力小q.4In5jji23(m'+Q25l7in:+2A2(nt?+2)m2+2帕16(jw:+2)巧学妙解王与梦想回行乂界零?工印啪噂记>0六条号,呼存端