高中考试数学常见难题大盘点：应用性问题

1、高考数学常见难题大盘点：应用性问题1 .近年来,太阳能技术使用的步伐日益加快.2002年世界太阳电池的年生产量到达670兆瓦,年生产量的增长率为34%.以后四年中,年生产量的增长率逐年递增2%如,2003年的年生产量的增长率为36%.1求2006年世界太阳电池的年生产量结果精确到0.1兆瓦：2当前太阳电池产业存有的主要问题是市场安装量远小于生产量,2006年的实际安装量为20兆瓦.假设以后假设干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%,到2021年,要使年安装量与年生产量根本持平即年安装量很多于年生产量的95%,这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应到达多少结果精确到0.1%?分析：此

2、题命题意图是考查函数、不等式的解法等根底知识,考查使用数学知识分析解决问题的水平.解 析 1 由 得2003,2004,2005,2006年 太 阳 电 池 的 年 生 产 量 的 增 长 率 依 次 为36%,38%,40%,1r42%.那么2006年世界太阳电池的年生产量为670 x1.36x1.38*1.40X1.42冬2499.8兆瓦.2设太阳电池的年安装量的平均增长率为x,那么_INJ 1295%.解得2499.8 1+42%4A-0.615.所以,这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应到达61.5%.2 .某分公司经销某种品牌产品,每件产品的本钱为3元,并且每件产品需向总公司

3、交元3.5的治理费,预计当每件产品的售价为4元9W/W11时,一年的销售量为12-工尸万件.I求该分公司一年的利润L万元与每件产品的售价x的函数关系式：II当每件产品的售价为多少元时,该分公司一年的利润L最尢,并求出L的最大值.3分析：此题命题意图是考查函数的解析式的流法、利用导数求最值、导数的应用等知识,考查使用数学知识分析和解决实际问题的水平.解析：I 分公司一年的利润L万元 与售价x的函数关系式为：L= x-3- 12-x2,xe9,ll.(H)=(12-x)2-2(x-3-)(12-x)=(12-x)(18+2-3x),令Z/=0得2x=6+或x=12(不合题意,舍去).3oOR7,3

4、W4(5,.8W6+*a.在x=6+*两侧V的值由正变负.3332Q所以(1)当86+9即3Wav时,32Lmax=L(9)=(9-3-.)(129尸=9(6-a).2289(2)当96+上.即二时,33299(6-a),3Wa0),那么,在第A年末,第一年所交纳的储藏金就变为2(1+r)第二年所交纳的储藏金就变为空(1+r)%,以北表示到第A年末所累计的储藏金总额.(I)写出.与T-(G2)的递推关系式；(II)求证：/=儿+瓦,其中凡)是一个等比数列,属是一个等差数歹IJ.分析：本小题命题意图主要考查等差数列、等比数列的根本概念和根本方法,考查学生的阅2=L(6+a)=读资料、提取信息、建

5、立数学模型的水平,考查应用所学的知识分析和解决.实际问题的水平.解析:(1)我们有北=7；1(1+:+为(九之2)(2) (=6,对22反复使用上述关系式,得：T=Tn_x(1+r)+a,=Tn_2(14-r)2+an_I(l+r)+an=(1+r)n-1+%(1+r)HFun_|(1+r)+ano在式两边同乘以1+八得：(1+r)T=T=9(1+r)n+J(l+r)11-1+(l+r)H-2+(1+/)-“=(l+r)1r+q(l+,)%,即+orrr如果记4=丝/(1+),纥=_3=_3_幺,那么丁=4+%rr厂厂r其中Aj是以-*(l+r)为首项,以1+900)为公比的等比数列；纥是以一

6、竺三为首项,以一4为公差的等差数列.厂rr点评：掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、以及求和方法是解决此题的关键.4 .如图,甲船以每小时30拒海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于4处时,乙船位于甲船的北偏西105方向的6处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达儿处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的处,此时两船相距10拒海里,问乙船每小时航行多少海里？(07山东理)分析：此题命题意图是通过实际问题考查了正弦定理、余弦定理、解三角形的水平以及分析解决问题的水平.on解析：如图,连结45,4民=10应,x30V2=10/2,必鸿,但凡等60边三角形,/5

7、4&=105.60.=45.,在八4/25中,由余弦定理得B.B；=4吊+AB；-2A13AB2cos450,=202+(10VI)2-2x20 x1OA/2x=200,片区=10五.所以乙船的速度的大小为2,竽x60=30答：乙船每小时航行30拒海里.点评：连接4与,构造两个可解的三角形与AA层4是处理此题的关键,此外,还可连接来解,5 .某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一和第二工序加工而成,两道工序的加工结果相互独立,每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品,两道工序的加工结果都为A级时,产品为一等品,其余均为二等品.I甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的

8、概率如表一所示,分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P,、P乙；II一件产品的利润如表二所示,用,、Q分别表示一件甲、 乙产品的利润,在I的条件下,求,、n的分布列及E,、En；IH生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名,可用资.金60万元.设X、y分别表示生产甲、乙产品的数量,在II的条件下,x、y为何值时,z=+最大？最大值是多少？解答时须给出图示分析：本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建立与求解等根底知识,考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的水平解析(I)解：=0,8x0.85=0.68,Pz0.75x0.8=0.6.

9、工序第一工序第二工序甲0.80.85乙0.750.8利、等级一等二等甲5万元2.5万元乙2.5万元1.5万元II解：随机变量4、的分别列是52.5P0.680.3272.51.5P0.60.46.E自=5x0.68+2.5x0.32=4.2,E/=2.5x0.6+1.5x0.4=2.1.5x+1Oy0,y0.作出可行域如图,作直线/：4.2x+2.1y=0,将1向右上方平移至,位置时,直线经过可行域上的点M点与原点距离最大,此时2=4.2工+2.叮取最大值.解方程组5x+1Oy=60,8x+2y=4.得x=4,y=4,即x=4,y=4时,z取最大值,z的最大值为25.2.点评：某商场经销某商品

10、,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数J的分布列为12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元；分2期或3期付款,其,利润为250元：分4期或5期付款,其利润为300元,表示经销一件该商品的利润.I求事件A：“购置该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款的概率PA；H求的分布列及期望近7.分析：此题命题意图是主要考察对立事件的概率以及分布列及期望的知识,考查学生的阅读理解水平及分析解决问题水平.解析：(【)由A表示事件“购置该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款.知可表示事件“购置该商品的3位顾客中无人采用1期付款P(A)=(l-0.4)2=

11、0.216,P(A)=1-P(A)=1-0.216=0.784.(H)的可能取值为200元,250元,300元.夕(=200)=尸=1)=0.4,rP(=250)=P(4=2)4-P您=3)=0.2+0.2=0.4,P(z7=300)=1一PQ=200)-P(/j=250)=1-0.4-0.4=0.2.的分布列为7200250300P0.40.40.2E/j=200 x0.4+250 x0.4+300 x0.2=240(元).时,观看塔的视角NBPC最大(不计此人的身高)解：如下图,建立平面直角坐标系,那么A(200,0),(0,220),C(0,300),直线1的方程为y=(x-200)ta

12、na,K|y=匚芈.设点P的坐标为(x,y),贝2v900尸(X二一)(x200).由经过两23一3.kpc=-=：,x2x0AJ点的直线的斜率公式点评：学握对立事件的概率和为1,学会用间接法求解tan8PC=APB1一,k1KPBKPC160-2764x1+I2.B2200).X+160X640_288X160 x640要使tanBPC到达最大,只须x+-288到达最小,由均值不等式x160 x640、x+2882,160 x640288,x当且仅当x=160 x640时上式取得等号,故当行320时tanBPC最大,这时,点P的纵坐x匕、,320-2006标y为y=60.2由此实际问题知,O

13、vNBPCv二,所以tanBPC最大时,NBPC最大,故当此人距水平地面260米高时,观看铁塔的视角NBPC最大.8.如图,设曲线y=ex(x0)在点处的切线/与x轴y釉所围成的三角形面积为2S(r),求(1)切线的方程：2)求证S(/)We(1)解：/(*)=(1)=一,-X,切线的斜率为一故切线的方程为ye=er(x-t),即e1x+y-(2)证实：令),=0得x=/+l,又令x=0得 S;(f+1)./(f+1)=+I*221从而S(/)=2当fe(0,1)时,S(f)0,当fe(1,+eo)时,S(f)0,22 S(a的最大值为SQ)=_,BPS(t)0,401),给定x-a区间4+2,4+3.(1)假设/(x)与g(x)在区间.+2,4+3上都有意义,求的取值范围；(2)讨论函数/(X)与g(x)在区间卜+2/+3上是否“友好.答案：(1)函数X)与g(x)在区间a+2,a+3上有意义,.+2-3.0必须满足0=.10a,aH1(2)假设存有实数,使得函数f(x)与g(x)在区间.+2,+3上是“友好的,那么(X)-s(x)|=卜Oga(Y-4.+3/)|nlog.(A-2-4ax+36/2