一元微积分高难度习题

1、第一章、极限与连续x、x1x11.求limlnr=xx、x?1(lnx1)2。2。求limnf1(X0)。3x3.设limx12axx4x1求常数a,l。4。求已知xmx存在，且1fxsin2xsintxsintsinxsinx6。求常数a,b，使fxym01cosx3,求耽fx-,并记此极限为fX,求函数fX的间断点并指出其间断类型。1ax1,xxaxb,0x1arctax,xx-11在所定义的区间上连续.7。设fxlimn2n1nxa1x2nnxax1-,a为常数，求fx的分段表达式，并确定常数a的值，使fx在0,)上连续.8.设x10,xn1<6xn(n1,2,3,)，试证数列xn

2、极限存在，并求此极限。第二章、导数1.设F(x)孚x0,其中f(x)在xf(0),x0.0处可导，f(0)0,f(0)0,则x0是F(x)的(A)连续点;(B)第一类间断点;(C)第二类间断点;(D)不能确定。2.函数f(x)(x2x2)x3不可导点的个数是()(A)3;(B)2;(C)1；(D)0。cosx,x13.f(x)或2_xg(x),x°其中g(x)是有界函数，贝Uf(x)在x0,0处()(A)极限不存在；(B)极限存在但不连续；(C)连续但不可导；(D)可导。4.设f(x)xx2x,则f(x)()(A)处处不可导；(B)处处可导；(C)有且仅有一个不可导点;(D)有且仅有

3、两个不可导点。一一.，2、.、一-一5.设函数f(u)可导，yf(x2)当自变量x在x1处取得增量x0.1时，相应的函数增量y的线性主部为0.1，则f(1)()(A)1;(B)0.1;(C)1;(D)0.5。6.设f(x)3x3x2x,则使f(n)(0)存在的最高阶导数阶数n为()(A)0;(B)1;(C)2;(D)3。x7.已知f(x)1,则limx0f(x2x)f(xx)8.设f(x)x(x1)(x2)(xn),则f(0)9.已知yf(3x2),f(x)arctanx2,贝U也3x2dx11.设函数yy(x)由方程ln(x2y)3-x34ysinxxtx10.设f(t)limt()12t2

4、,d2yy(x)由参数方程12lnteu(t1)所确定，求一yy1；如dx，则f(t)xt确定，则ydxx12.设ytcost,则tsintd2ydx213.已知函数yy(x)由方程ey6xyx210确定，则y(0)f(n)(x)15.已知f(ex)xex,且f(0)0，则f(x)16.设f(x)有一阶连续导数，f2,求limx0d一f(cosJx)。dx17.设曲线yf(x)xn在点(1,1)处的切线交x轴于点(n,0)，求limnf(n)。18.设函数nn、ln(ex)/f(x)liml(xnn0),(1)求f(x)的表达式；(2)讨论f(x)的连续性和可导性。19.(1)已知ylnV由e

5、xxsinx,求y()；(2)设yexyxsinx,求y20.设函数221.设y2sinf(x)，其中f具有二阶导数,求也dx222.(1)(n)(1);(2)已知ysin23xcos5x，求y(n)23.已知kcxsin,x0f(x)x,(k为正常数),讨论k为何值时存在二阶导数f(0)。24.设函数yy(x)由方程2y32y22xy2x21确定，求yy(x)的驻点，并判断它是否为极值点。25.设是常数，试讨论方程xJsinx在开区间0,云内根的个数。并证明你自己的结论。三、中值定理及导数应用1.设不恒为常数的函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且有f(a)f(b),

6、证明：在(a,b)内至少存在一点，使得f()°。2。已知limexax又t20edta,b。3.求函数lnxf(x)2xx,x2x,x的极值点和拐点。14。设f(x)在0,)可导，且有0f(x)与，证明：存在12o(12)25.设f(x)在a,b二阶连续可导,证明存在b(a,b),使得af(t)dtf(a-b)(ba)f()(ba)3。2246.设(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且(0)0,(1)1,证明：存在不同的(0,1),使得1213。7。已知(x)在1,3连续，(1,3)内二阶可导，贝U存在()()(1,3)，使得()(1)2(2)。8。求由方程x2y3xy0确定的

7、函数yy(x)在x0内的极值。9。设f(x)在(1,3)内二阶可导，且f(x)0,又limf(x)C0Sx2sinx2，证明：在(1,3)内，f(x)10。设f(x)二阶连续可导，且f(x)f(0)0,lim'x0|x|(A)f(0)是f(x)的极大值;(B)f(0)是f(x)的极小值;(C)(0,f(0)是曲线yf(x)的拐点;(D)f(0)不是f(x)的极值，(0,f(0)也不是曲线yf(x)的拐点。11。设bae,比较ab,ba的大小。12。证明：方程lnxe0瑚dx在(0,)内有且仅有两个不同的实根。13.设函数f(x)在(a,a)(a0)上连续，在x0处可导，且f(0)0。(

8、1)证明：对于任意给定的x(a,a),至少存在一点xx(0,1),使得0f(t)dt0f(t)dtxf(x)f(x)；(2)求14。设函数g(x)在a,b上连续，函数f(x)在a,b上满足f(x)g(x)f(x)f(x)f(a)f(b)0,问f(x)在a,b上是否一定恒为常数0?xxxxaIna(1a)ln(1a)15.求lim土也,其中a为不等于1的正数。161x*x。e17。求limln(1xx2)ln(1xx2)。18x0secxcosxx(abcosx)sinx*q19。求a,b使得lim5存在,x0fix)、ln(1)。设limsjnA,其中x0a1xlnaa0,A1,求lim*。x

9、0x3并求此极限。120.设f(x)具有二阶导数，在x0的某去心邻域内f(x)0，且既也0,f(0)4，求lim1旦当成。21。设f(x)在x0处具有二阶导数，且limln(1x)3xf(x)2,试求f(0),f(0)及f(0)。X0x22.证明：0x2时，4xlnxx22x40。23设方程x33x23k0在()内有且只有一个实根，求k的取值范围。24.1,则有1ln2ln(1x)425. 设f(x)在(a,b)内存在，且f(a)f(b)0，证明：存在一点(a,b)，使得|f()|f(b)f(a)|。(ba)x2cot26。求曲线9的凹凸区间和拐点。y2sin227.PQ是抛物线x24y的弦，

10、且它在这条抛物线过P点的法线上，求弦PQ的长度的最小值。28.yy(x)由方程2x22一xyy2所确正，求yy(x)的极值。29.xi1,xnisinxn,n1,2,L。(1)证明：数列1xn收敛；(2)求lim(迪广。nxn30.宽为6公分的长方形纸片,用其右下角折叠到左边的沿线上的B(见图)，问B在什么位置时，折痕DC为最短?第四章、不定积分1.(1)证明：奇函数的原函数是偶函数。(2)判断命题“偶函数的原函数是奇函数”是否正确，如不正确，举反例说明。2.设F(x)是f(x)的一个原函数，F(1)4若当x。时，有3.已知里些是函数f(x)的一个原函数，求x3#xf(x)dx。计算下列不定积

11、分:1sinxdx;51sinx12222-(xa)(xb)1x27.dx;1xx,42必；x2x50arctanxf(x)F(x)-，试求f(x)。2、，max1,xdxxln(1x2)。2dx;10。1xln(x”x2)dx1x211.sinxcosx,dx;sinxcosx12.122712asinxbcos-dx(ab0)x13sinxcosx3e'dxsinxcosxex14.1(1x2)；1=dx2x15.18.求不定积分In-2"ndx(xa)ax.dxx16.1a(128x)x1dx12x2,17.x(arctanx)dx2xdxx20.3-2dx(13x)2

12、21.tan7xdx22.一一dxsinxcosx第五章、定积分及其应用1极限ljmV11)2(12)2(1nn)(A).2lnxdx(B)2InxdXC)2ln(1x)dx(D)1ln2(1x>dx2.证明不等式xdx2e2。3.设函数f(x)在0,上连续，且f(x)dx0,00f(x)cosxdx0。试证：在0,内至少存在两个不同的点1和2,f(1)f(2)0.1,4.设f(x)0,1x0f(t)dt,下面结论中正确的是(A)F(x)在x0处不连续;(B)F(x)在()内连续，在x0处不可导；(C)F(x)在()内可导，且满足F(x)f(x);(D)F(x)在()内可导，但不一定满足

13、F(x)f(x)。5.设函数S(x)costdt,(1)当n为正整数，且nx(n1)时，证明2nS(x)2(n1)；(2)求极限limxS(x)Ox6.求函数xF(x)0(1t)arctantdt的极值.7.把x0时的无穷小量2xtan.tdt,0'0?xsint3dt排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是()(B)(C)(D)8.利用递推公式计算积分In°2sinnxdx-dx9计算反常积分22(xx1)10.设XOY平面上有正方形D(x,y)|0x1,0y1及直线l:xyt(t0),若S(t)表示正方x形D位于直线l左下方部分的面积，试求°

14、;S(t)dt(x0).第六章、多元函数微分学1.设函数f(x,y)x4y2,xy°,则在(0,0)点处()220,x2y20(A)连续，偏导数存在；(B)连续，偏导数不存在;(C)不连续，偏导数存在；(D)不连续，偏导数不存在。2.设uxy，则y(3,2,2).(A)4ln3;(B)8ln3;(C)324ln3;(D)162ln3。3.函数zx3y33x23y2的极小值点是()(A)(0,0);(B)(2,2);(C)(0,2);(D)(2,0)。4.已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续.(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点；(B)点(0,0)是f(x,y)的极

15、大值点.(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点;(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.-1，、5.zf(xy)xy(xy)，f、具有二阶偏导数，则6.设zf(exsiny,x2y2),其中7.设z：f(xy)y(xy),f,8.设yf(x)由方程e2xy9.设函数zz(x,y)由方程f具有二阶连续偏导数，则xy2具有二阶连续导数，则cos(xy)e1所确定，则曲线yf(x)在点(0,1)处的法线方程为(x2z2,ez2y)。确定，其中具有连续偏导数，则x10.设f(xy,z)xy2z3，其中zz(x,y)是由方程x2z23xyz0所确定的隐函数,则fx(1,1,

16、1)11.设二元函数zxexy(x1)ln(1y),则dz(1,0)12.函数f(u,v)由关系式fxg(y),yxg(y)确定,其中函数g(y)可微,且g(y)0,13.设f(x,y)具有连续的偏导数，且f(1,1)1,fx(1,1)a,fy(1,1)b。令(x)f(x,f(x,f(x,x)，求(1),(1)。14.设f(u)具有二阶连续偏导数，且g(x,y)21x2gyf,求x一2yx22gyxy15.设函数uf(x,y,z)具有连续偏导数，且zz(x,y)由方程xexyeyze/所确定，求du。16.设变换Uvx2y，可把方程6言室xayx2xy220化简为z0（其中z有二阶连续偏导数）

17、，求常数a。y2UVuf(x,y)17.设函数uu(x)由方程组g(x,y,z)0确定，其中f,g,h可微，且0,业0,求业。zydxh(x,z)018.设f(x)在1,）上有连续的二阶导数,f(1)0,f(1)1,且二元函数z(x2y2)f(x2y2)21.求曲面dxjyjz22满足_z_z0，求f（x）在1,）的最大值。19. 过曲线9x24y272在第一象限部分中哪一点作的切线与原曲线及坐标轴之间所围成的图形面积最小？20. 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告，据统计资料，销售收入R（万元）与电台广告费下经验公式：R（x1,x2）1514x132x28x1x22x1210x

18、22,求（1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；（2）若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略。1的一张切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大。22.求证：n1,x0,yxnyn0时成立不等式y2（胃)n。23.设zz（x,y）是由方程x26xy10y22yzz218。确定的函数，求zz（x,y）的极值点极值.第七章、重积分及其应用1.计算y2d，其中D是由x22y2ax所围成图形的公共部分。2.计算其中D为由xy2,y2x,2y0所围成的第一象限部分.3.计算ydxdy,其中D是由直线2以及曲线x（2yy2所围成的平面区域.4.计算maxxy,x3d,其中:x,y5.求:Sinidxdy,其中：D是以y0,0,0,1,1,1为顶点的三角形区域.6.求由直线x2,yx及曲线xy1所围成的平面区域面积.7.求锥面zvx2y2被柱面z22x所割下部分的曲面面积.8.估计积分I2-2IX|y10100cosxsiny的值.9。计算(xy)dxdy-10.设函数f(u)连续，区域D(x,y)x2y22y,则f(xy)dxdy等于(D11x2)(A)1dxf(xy)dy2sin®0d0s2.、,f(rsincos)dr(C)220dy.2y寸0f(xy)dx(D)0d2sins2.、,f(rsincos)rdr11.计算二重积分x2y21d，其中DD(x,