人教版高中数学必修一《基本初等函数》小结与复习

1、第二章基本初等函数小结与复习（一）教学目标1. 知识与技能.掌握指数函数、对数函数、藉函数的概念和性质.对复合函数、抽象函数有一个新的认识.2. 过程与方法_归纳、总结、提高.3. 情感、态度、价值观_培养学生分析问题、解决问题和交流的能力及分类讨论、抽象理解能力._（二）教学重点、难点重点：指数函数、对数函数的性质的运用._难点：分类讨论的标准、抽象函数的理解._（三）教学方法讲授法、讨论法.（四）教学过程教学II环节教学内容师生互动设计意图复习,（多媒体投影）_学生总结，老师完善.对本章引入1.本早知识结构1.师：请问学们总结本章知识结构._知识、生：（1）指数式和对数式：整数指方法形U数

2、藉；方根和根式的概念；分数指数成体藉；有理指数藉的运算性质；无理数系、U指数藉；对数概念；对数的运算性质；指数式与对数式的互化关系._U（2）指数函数：指数函数的概念；指数函数的定义域、值域；指数函数U的图象（恒过定点（0,1），分a>1,0uuuuuLIu2.方法总结一vav1两种情况）；不同底的指数函数图象的比较；指数函数的单调性（分a>1,0vav1两种情况）；图象和性质的应用._（3）对数函数：对数函数的概念；对数函数的定义域、值域；对数函数的图象（恒过定点（0,1）,分a>1和0vav1两种情况）；不同底的对数函数图象的比较；,对数函数的单调性（分a>1,0v

3、av1两种情况）；图象和性质的应用；反函数的有关知识._（4）藉函数：藉函数的概念；备函数的定义域、值域（要结合指数来讲）；藉函数的图象（过定点情况，图象要结合指数来讲）：藉函数的性质（奇偶性、单调性等，同样要结合指数）；图象和性质的应用._师：请同学们归纳本章解题方法._生：（1）函数的定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：分母不为0;偶次根式中被开方数不小于0;对数的真数大于0,底数大于零且不等于1;零指数藉的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等.一（2）函数值域的求法：配方法（二次或四次)；判别式法；反函数法；换儿法；函数的单倜

4、性法._(3) 单调性的判定法：设Xi、X2是所研究区间内的任两个自变量，且XivX2；判定f(X1)与f(X2)的大小；作差比胞作商比较.,(注：做有关选择、填空题时，可采用复合函数单调性判定法，做解答题时必须用单调性定义和基本函数的单调性)(4) 图象的作法与平移：据函数表心七列表、描点、光滑曲线；利用熟知函数的图象的平移、翻转；利用函数图象的对称性或互为反函数图象的对称描绘函数图象.,(5) 常用函数的研究、总结与推广： 研究函数y=(aXiaX)(a>0,2且a乒1)的定义域、值域、单调性、反函数；_ 研究函数y=loga(ViX2女)(a>0,且a乒的定义域、单调性、反函

5、数.,(6) 抽象函数即不给出f(x)的解析式，只知道f(x)具备的条件的研究. 若f(a+x)=f(ax),则f(x)关于直线x=a对称.一 若对任意的X、yR,都有f(x+y)=f(x)+f(y)，贝Uf(x)可与指数函数类比._若对任意的x、y(0,+8)都有f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)可与对数函数类比._应用旦1例1设a>0,x=(an一22例1解：1+x2=1+J(a2+a)进一步举例24掌握指1an),l求(x+Jlx2)n的值._221，一、_一、=2(an)+2+an)411=:-(a"+a靠)2.2数函数、对数函数、藉ua>0,.a>

6、0,a>0.11函数的概念和uuan+a">0.-x+*1x2=x+(an+an)=2211111(anan)+(an+an)=an.，.(x+J1x2)n=a.性质等知识.培养学生分析问题、解小结：本题考查了分数指数藉的运算性质，技巧是把根号大的式子化成完全平决问题和交流IJ方的形式.例2解：(1)mx>0,mx+1乒0恒成的能力及分类u立，讨论、mx1例2已知函数f(x)=1(mmx1函数的定义域为R.抽象理>0,且m乒1).jy=,mx=->0.解能(1) 求函数f(x)的定义域和值域；,(2) 判断f(x)的奇偶性；mx11y-1vyv1.函数f

7、(x)的值域为(一1,1).力.(3)讨论函数f(x)的单(2)函数的定义域为R,关于原调性._点对称，x.x-v.rz、m11m又.f(x)=mx11mx=一f(x),函数f(x)是奇函数.U(3)任取xvx2,时*/、,、mx11贝Uf(x)f(x2)=Umx11mx21_2(mx1mx2)Umx21(mx11)(mx21)mx1+1>0,mx2+1>0,U.当m>1时，mx1mx2v0,f(x)Uf(x2)v0,即f(x1)Vf(x2)；当0vmv1时，mx1mx2>0,f(x)Uf(x2)>0,即f(x1)>f(x2).综上，当m>1时，函数f

8、(x)为增U函数；当0vmv1时，函数f(x)为减函敏.小结：求值域用了反表示法，函数表达式中有指数式mx,它具有大于0的氾围，注意反表示法求值域这类题型的特征.函数的单调性要注意分类讨论.【例3】己知f(x)=1+log2x例3解：f(x)的定义域为(1<x<4,求函数g(x)=f2(x)1,4,+f(x2)的最大值和最小值._g(x)的定义域为1,2:.g(x)=f2(x)+f(x2)=(1+log2x)2+(1+log2x2)=(log2x+2)22,IJ【例4】求函数y=loga（xx2）（a>0,a乒的定义域、值域、单调区间.又1孑<2,-0<logxv

9、i,.当X=1时，g（X）min=2；当X=2时，g（x）max=7.小结：这是一道易错题，首先要考虑定义域是本题防错的关键.其实研究函数问题考虑定义域应该成为一种习惯.例4解：（1）定义域：由Xx2>0,得0<xv1,.,定义域为（0,1）1、(2)-0vx一x2=一(x一)22+1<1,44当0vav1时,1loga（xx）Aloq,4函数的值域为loga-,+°°）;41当a>1时，loga（xx2）<log,4函数的值域为（8,loga【.4（3）令u=x-x2,在区间（0,1）一,11内，u=x-x2在（0，上递增，在一，221）上递

10、减.1.当0vav1时，函数在（0，2,一.一，,1上是减函数，在1,1）上是增函数；21,一当a>1时，函数在（0,-:上是2.、，一，1，一，一，增函数，在-,1）上是减函数.2小结：复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性的研究通常由里向外，本题【例5】设xAQy>0,且x+2y=1,求函数y=log12(8xy+4y2+i)的值域.例6函数f(x)=lg(a21)x2+(a+1)x+1:.(1) 若f(x)的定义域为(8,+oo)，求实数a的取值范围；(2) 若f(x)的值域为(一8,+8),求实数a的取值范围.讨论的分界线是对数的底.例5解：x+2y=1,x=12y>

11、0.一.一1又yAQ0<yv_2.-8xy+4y2+1=8(12y)y+4y2+1=一12y2+8y+1.12.0司V,.1<-12y2+8y+1=-12(y-1)2+7<7.333-log1-<log1(8xy+4y2+1)232<log1=0.2函数的值域为log1-,0:.23小结：本题的易错点是代换时没有注意到通过x求出y的范围.所以我们在代换时要注意等价代换，即考虑到字母的取值范围.例6解：(1).f(x)的定义域为(一OO,+OO),-(a21)x2+(a+1)x+1>0对一切xCR恒成立.当a2-1乒0时，a210,(a1)24(a21)0,a

12、1或a1,即5a1或a.35.av1或a>_3.当a21=0时，若a=1,则f(x)=0,定义域也是(一°°,+°°)；若a=1,则f(x)=lg(2x+1),定义域不是(一8,+OO).故所求a的取值范围是(8,15U(_,+8).3(2)(X)的值域为(8,+OO),.只要t=(a21)X2+(a+1)x+1能取到(0,+8)内的任何一个值.2.a10,(a1)24(a21)>0,a1或a1,即51<a<.31va<-.3又当a21=0时，若a=1，则f(x)=lg(2x+1)，其值域也是(8,+oo)；若a=1,则f(

13、x)=0,不合题意.所求a的取值范围是1,-:.3小结：本题考查了换兀转化思想和分类讨论思想，理解对数函数概念，特别是把握定义域、值域的含义是解题的关键.特别是(2)中，f(x)的值域是R的含义是真数部分即t=(a1)x2+(a+1)x+1在x取值时需取满足(0,+8)的每一个值，否则f(x)的值域就不是R,这就要求t关于x的二次函数不能有比零大的取小值.因此AO,这时要注息f（x）的定义域不是R的集合了，而是（一°°,X1）U（X2,+OO）,其中XI、X2分别为相应一次方程的小根、大根.归纳总结1. 我们从正整数指数藉出发，经过推广得到了有理数指数藉，又由有理数逼近无理

14、数”的思想，认识了实数指数藉.这个过程体现了数学概念推广的基本思想.有理数指数藉、实数指数藉的运算性质是从正整数指数藉推广得到的.从对数与指数的相互联系出发，根据指数藉的运算性质，我们推出了对数运算性质.2. 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，不问的变化规律需要用不同的函数模型描述.本章学习的三种不问类型的函数模型，刻画了客观世界中二类具有不同变化规律，因具有不同对应关系的变化现象.指数函数、对数函数和藉函数是描述客观世界中许多事物发展变化的三类重要的函数模型，这三类函数的图象和性质是我们解决相关1可题的重要工具.3. 研究函数时，函数图象的学生先自回顾反思，教师点评完善.形成知识体系

15、.作用要充分重视.另外，计算器或计算机可以帮助我们方便地作出函数图象，并可以动态地演示函数的变化过程，这对我们研究函数性质很有帮助.课后作业作业：小结与复习习案学生独立完成巩固新知提升能力备选例题例1已知f(x)=lgx,则y=|f(1-x)|的图象是下图中的(A)(A)(B>(C)(D)【解析】方法一：y=|f(1-x)|=|lg(1-x)|,显然x1,故排除B、D；又因为当x=0时，y=0,故排除C.方法二：从图象变换得结果：ylgx把图象绕y轴翻转180y=lg(二)ylg(x)把图象向右平移一个单位ylg(1x)y=lg-(x-1)把x轴下方部分沿x轴翻折到上方y=|lg(1-x

16、)|.【小结】(1)y=lgx变成y=lg(1-x)过程不会变换，不知道关于什么轴对称导致误解(2)解决有关图象的选择问题，方法比较灵活，可用特值排除法，也可直接求解，但,定要注意图象的特点，对于图象的对称、平移I可题一定要注意对称轴是什么.平移是左移还是右移，移动的单位是多少，这是移动的关键1 .t1.例2设a>0,a乒1,t>0,比较-logat与loga的大小，并证明你的结论2 aa2可比较loga&与loga-当t=1时，寸t-t1-loga'.tloga22y/t1=(jt1)2>0,t+1>2赤,口>Jt.2.当0vav1时，logaJt>loga即1logat>loga?t1L>.t1右a>1,则有一loga