含全参数地一元二次不等式地解法以及含参不等式恒成立问题(专题)

1、含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按X2项的系数a的符号分类，即a0,a0,a0;例1解不等式：ax2a2x10分析：本题二次项系数含有参数，a224aa240,故只需对二次项系数进行分类讨论。解：.a224aa240.22.解得方程ax2a2x10两根Xia2戏一4,X2a2、'a-2a2aa2.a248a2.a24.当a0时，解集为x|x或x2a2a当a0时，不等式为2x1当a0时，解集为x|a2a242aa2a242a例2解不等式ax25ax6a0a0分析因为a0,0,所以

2、我们只要讨论二次项系数的正负。解a(x25x6)ax2x30当a0时，解集为x|x2或x3;当a0时，解集为x|2x3二、按判别式的符号分类，即0,0,0;例3解不等式x2ax40分析本题中由于x2的系数大于0,故只需考虑与根的情况。解：a2164,4即0时，解集为R;4即=0时，解集为x0,此时两根分别为XiXiX2,.不等式的解集为aa2i6.或X2a.a2i62例4解不等式m2ix24xi0,22(4)4m43所以当m0时，解集为0时，解集为23m孑或Xm2i.3m2当m。诚mJ3,即0时，解集为R。三、按方程ax2bx0的根Xi,X2的大小来分类，即XiX2,XiX2,XiX2；例5解

3、不等式x2(a-)xia0(a0)分析：此不等式可以分解为:ia(x)a0,故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。解:原不等式可化为:a(xi上)。，令a.当ai或0ai时,故原不等式的解集为x|ai或ai时，aia,可得其解集为a分析解不等式x2此不等式5axx|】xa。a5a224a2a20,又不等式可分解为x2a(x3a)只需比较两根2a与3a的大小.解原不等式可化为：x2a(x3a)0,对应方程x2a(x3a)0的两根为x12a,x23a，当a>0时，即2a3a，解集为x|x3a或x2a；当a0时，即2a>3a,解集为x|x2a或x3a含参不等式恒成立问题的求解

4、策略“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数f(x)ax2成c(a0,xR),有1)f(x)0对xR恒成立2)f(x)0对xR恒成立例1：若不等式(m1)x2(m1)x20的解集是R,求m的围

5、。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m,所以要讨论m-1是否是0。(1) 当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；m10(2) m10时，只需()28(1)°，所以，m1,9)。例2.已知函数ylgx2(a1)xa2的定义域为R,数a的取值围。解：由题设可将问题转化为不等式x2(a1)xa20对xR恒成立，即有(a1)24a20解得a1或a-°31所以实数a的取值围为(，1)(1,)。3若二次不等式中x的取值围有限制，则可利用根的分布解决问题。、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型

6、有:1)f(x)a恒成立af(X)mm2)f(x)a恒成立af(x)max例3、若x2,2时，不等式x2ax3a恒成立，求a的取值围。2解：设fxxax3a，则|可题转化为当x2,2时，fx的最小值非负。(1) 当a2即：a4时，fx.f273a0a-又a4所以a不存在；2min3(2) 当2a2即：4a4时，fxminf-3a06a2又2min244a44a2a-一一(3) 当z2即：a4时，fxmlnf27a0a7又a47a4综上所得：7a22-x2xa例4.函数f(x),x1,)，若对任意x1,),f(x)0恒成立，数a的取值x围。解：若对任意x1,),f(x)0恒成立，x2xa即对x1

7、,),f(x)0恒成立,x考虑到不等式的分母x1,)，只需x22xa0在x1,)时恒成立而得而抛物线g(x)x22xa在x1,)的最小值gmln(x)g(1)3a0得a3a注：本题还可将f(x)变形为f(x)x2,讨论其单调性从而求出f(x)最小值。x例5：在ABC中，已知f(B)4sinBsin2(一旦)cos2B,且|f(B)m|2恒成立，数m42的围。解析：由f(B)4sinBsin2(4cos2B2sinB1,sinB(0,1,f(B)(1,3,|f(B)m|2恒成立,2f(B)m2,即f(B)f(B)2恒成立，m(1,32例6：求使不等式asinxcosx,x0,恒成立的实数a的围。

8、3解析：由于函asinxcosx<2sin(x),x/,显然函数有最大值寸2,4444三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数围。这种方法本质也还是求最值,但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1)f(x)g(a)(a为参数)恒成立g(a)f(x)max2)f(x)g(a)(a为参数)恒成立g(a)f(x)max例7、已知,1时，不等式解：令2x要使上式在0,2上恒成立,ftminf12x2aa4x0恒成立t0,2所以原/、等式可化为:、须求:出ftV在t0,2211n112431t1,23a42a2求a的取值围

9、。,1上的最小值即可。2,若对任意2,1t2aa2aZ，t2例8、已知函数ig恒有fx0,试确定a的取值围。解：根据题意得:1在x2,上恒成立,x23x在x2,上恒成立,设f2xx3x,则f当x2时，fx2max例9.已知函数f(x)axx所以a2解:将问题转化为a即：a4xx2,x(0,4时f(x)0恒成立，数a的取值围。.4xx对x(0,4恒成立。x人.4xx2一.令g(x)，则ag(x)min,、4xx4,.一_由g(x)J-1可知g(x)在(0,4上为减函数，故g(x)ming(4)0x.、xa0即a的取值围为(，0)。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。四、变换主

10、元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例10.对任意a1,1,不等式x2(a4)x42a0恒成立，求x的取值围。分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式(x2)ax24x40在a1,1上恒成立的问题。解：令f(a)(x2)ax24x4，则原问题转化为f(a)0恒成立(a1,1)。当x2时，可得f(a)0,不合题意。当x2时，应有f(1)00解之得x1或x3。故x的取值围为(,1)(3,)。注：一般地，一次函数f(x)kxb(k0)在上恒有f(x)0的充要条件为f()0f()0例

11、11、若不等式2x11对满足m2的所有m都成立,求x的取值围。解:2x2x22x102x22x10五、数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1)f(x)g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方;2)f(x)g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象下上方。例12.设f(x)板4x,g(x)4x1a,3若恒有f(x)g(x)成立,数a的取值围.分析：在同一直角坐标系中作出f(x)及g(x)的图象如图所示，f(x)的图象是半圆(x2)2y24(y0

12、)g(x)的图象是平行的直线系4x3y33a0。要使f(x)g(x)恒成立，则圆心(2,0)到直线4x3y33a0的距离833a°满足d25、5解得a5或a-(舍去)3由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。例13：已知a0,a1,f(x)x2ax,当x解析：由f(x)x2ax得x212如果两个函数分别在0.5,并作出函数y恒成立，只须y2x面即可。当a1时，只有a2才能保证，1a匚,1)(1,2。221例14、右不等式3xlogax0在x0,3立，数a的取值围

13、。1 O1x=-1和x=1处相交，则由12a及(1)2-2 212x及y()x的图象，所以，要想使函数x2-221,一在区间x(1,1)对应的图象在yx一在区I(1,1)时,有f(x)%恒成立，数a的取值围。ax,在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，a1得到a分别等于2和1一、，-ax在区间x(1,1)中2'可x(1,1)对应图象的上1.而0a1时，只有a一才可以，所以29.1*解：由题怠知：3xlogax在x0,-怛成立，3在同一坐标系，分别作出函数y3x2和ylogax12观察两函数图象，当x0,时，若a1函数ylogax的图象显然在函数y3x图象的下方,3所以不成立；当0a1时，由图可知，ylo