第一讲：凸函数与琴生不等式(带解答)

1、精选第一讲：凸函数与琴生不等式、函数的凹凸性:定义：设连续函数f(x)的定义域为(a,b),如果对于(a,b)内任意两数xi,X2,都有f(XiX2)f(Xi)f(X2)则称f(X)为(a,b)上的下凸函数.注：若把式的不等号反向，则称这样的f(X)为区间(a,b)上的上凸函数.(或凹函数)下凸函数的几何意义：过yf(X)曲线上的任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方(或曲线上).f(x)的二阶导数f(x)0,则f(x)为下凸函数；f(x)的二阶导数f(x)0,则f(x)为上凸函数。常见的上凸(凹)函数,o,一上，y=sinx,y=cosx,y=Insinx,y=Incosx2常见的(下)凸

2、函数，0，+上，y=x2,y=x3,y=xn,y=Wx二、琴生不等式性质：若f(x)在区间I为下凸函数，则对X1,X2,xnI,X1x2xn总有f(2n)n当且仅当XiX2KXn时取到等号。若f(x)在区间I为上凸函数，则对X1,X2,XnI,总有f()ES冬nn、加权形式:a1fx+a2fx2+L+anfxn;a1fx1+a2fx2+L+anfxn对任意一歹0a1,a2,L,anR,a1+a2+L+an=1,函数f(x)是a,b上的凸函数，有对任意一歹0a-i,a2,L,anR+,a1+a2+L+an=1,函数f(x)是a,b上的凹函数，有f(Xi)fg)n当且仅当x1x2KXn时取到等号。

3、f(%Xi+a2X2+LanXn)f(a-Xi+a2X2+LanXn)精选附：应用f(x),此时是下凸函数，可得倒数平方和的不等式1122a1a21T2an(a1a23n2，等号成立条件角a2an)an。而与此对应的另一个倒数和再平方的不等式，是利用调和平均和平方平均的关系，得到的(-a1a22a12n-2a22，an等号成立条件a1a2an。常 用 不 等式:x；+x2+L+x：X+x2+L+xn(t1);tt.tx1+x2+L+xnx1+x2+L+xn(0t0),则g(x)=0,x10对于bk,-(0,bk(D已知函数fxlnxx1,x0,求函数fx的最大值;1sin2中必有一个满足30g

4、(x)在(0,+)上是凹函数，对于ak精选故ln(0,+),(k=1,2，n),由琴生不等式:nnbkln&bk?akk1k1nln(n)bkbkk1k1nbk?lnak0k1(ii)由(i)知，nln10(QOAk1n故abkkk1g(x)=lnx在0,n10对于bk(0,1),且knbk)k1上是凹函数, 由琴生不等式:bk11nbk?lnbkk1nbkk1nb2ln(A)nb：kk1nbk2k1(*)n)，且bk1k1n1版lnk1Anbkk1ln(n1-了a*)lnn,从而lnbkk11,-lnnb0),则g(x)在(0,10当a1,a2中至少有一个为0时，贝U20若角，a20

5、时，由琴生不等式：灯lna1b2Ina2aqa2b2-122ln()b1b2b1b2Q。b21Inlnaa?In(a1b1综上，原不等式成立。(III)命题形式:设ak.若bib21,则a1b1a2b2讷a2；并用数学归纳法.证明你所推广的命题.10,b为正有理数，(k=1,2,L证明：20当nbklnakk1nbkk110当“2ak0(k=1,2,LL,n)时,_b_b2a1a2a2b2)上为凹函数(1a1ba?b2成立；nL,n),若bkk1题已证)a2b21,则nbakk1nakbkk1an中至少有一个为0时，原不等式显然成立。由琴生不等式：nakbkk1、ln()bkk1综上，原不等式成立。设半径为1的半圆上依次有ai,i1,2,L,n,求证:设A1A2LAn是圆的AA1MAak1个点nakbk1A,A2,L,An