高三高考平面向量题型总结,经典

1、平面向一、平面向量的基本概念：1. 向量：既有大小乂有方向的量叫做.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。向量可以用表示.向量的符号表示.2. 向量的长度：向量的大小也是向量的长度(或)，记作.3. 零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作.4. 单位向量:.5. 平'行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作定：.注意：理解好共线(平行)向量。6. 相等向量:.例：下列说法正确的是 有向线段就是向量，向量就是有向线段；k-. ab,bc,则ac；(Da/b,b/c,a/c 若ABCD,则A,B,C,D四点是平行四边

2、形的四个顶点； 所有的单位向量都相等；二、向量的线性运算：(一) 向量的加法：1. 向量的加法的运算法贝U：>日.(1) 向量求和的三角形法则：适用丁任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系“首是首，尾是尾，首尾相连”例1.已知AB=8AC=5贝UBC的取值范围例2.化简下列向量(1) NQMNQPPM(2)(BPBC)(CQAB)(PMMB)(2) 平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则；ab是以a,b为邻边的平行四边形的一条对角线，如图：例1.(09山东)设P是三角形ABC在平面内一点，BCBA2BP,WJPAPB0PAP

3、C0PCPB0PAPBPC0例2.（13四川）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交丁点O,ABADAO,贝U.(3) 多边形法则2. 向量的加法运算律：交换律与结合律(二) 向量的减法：减法是加法的逆运算，A.BAOAOBPAPB(终点向量减始点向量)在平行四边形中，已知以a、b为邻边的平行四边形中，ab,ab分别为平行四边形的两fefc条对角线，当abab时，此时平行四边形是矩形。例1.已知例2.设点M是BC的中点，点A在线段BC外，BC=16ABACABAC,则AM向量的加减运算：例1.（08辽宁）已知O、A、B是平面内的三个点，直线AB上有一点C，满足CBF2AG0,则OC=oA）

4、BoA+2&2Ov1血.1oAoB3333例2.（15课标全国I）设D是三角形AB浙在平面内一点，BC3CD，则AD1AB4ACAD1AB-ACA.33B.33AD4AB1ACAD-AB1AC3 3.33例3.（12全国）在ABC中，AB边上的局为CD,CB=a,CA=b,a?b=0,a1,b2,则AD例4.（10全国）在ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB,若CB=a,CA=b,a1,b2,则CD=4 .TTT例5.在ABC中，设D为边BC的中点，E为边AD的中点，若BE=mA»nAC,则m+n=例6.（15北京理）在ABC中，点M,N满足AM2MC,BNNC,若MNx

5、AByAC,则xy1 2例7.（13江苏）设D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，若AD1AB,BE2BC,2 3r.TTT若DE=A&2AQ1,2为实数），则1+2=例8.（12东北四市一摸）在ABC中，设P为边BC的中点，内角A,B,C的对边a,b,c，若cTTTA（+aPA+bPB=0,WJABC的形状为（三）实数与向量的积：1. 定义：实数与非零向量a的乘积a是一个向量，它的长度是.它的方向是当0时,2. 数乘向量的几何意义是把向量同方向或反方向扩大或缩小。3. 运算律：设a、b是任意向量，是实数，则实数与向量的积适合以下运算：4. 向量共线的判断：（平行向量的基本定理） 如

6、果ab,则a/b；若a/b,b0,则存在唯一的实数，使得ab. 若a、b是两个不共线的非零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数,，使.11 若a饵ie2,b2§262,巳。不共线，a/b，则在有意义的前提下，22例1.（15课标全国II）设向量若a、b是两个不平行的向量，向量ab与a2b平'行，则rrrrr.例2.（09湖南）对丁非零向量a,b,ab0”是“a/b”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件例3.（12四川）设a,b都是非零向量，下列四个条件中，使言志成立的充分条件是A.a=bB.a/bC.a=2bD.a/b且

7、|a|=|b|5. 单位向量给定一个向量a，与a同方向且长度为1的向量叫做a的单位向量，即重要结论：已知ABC,O为定点，P为平面内任意一点._TT PA+PBFPO0.T1TTT 若OP=OA+OBOC贝UP为ABC3 若OP=OA（ABhAQ,（0,）,WJP点的轨迹.TT 若O4OA,（0,），则P点的轨迹通过ABC的内心 若则P点的轨迹是ABC的外心 若则P点的轨迹是ABC的垂心»一,，>-.TTTTTT例1.（10湖北）在ABC中，点M满足M/+MBMC0,若存在实数m,使得ABnAC=mAM则m=.例2.在ABC中，重心为G若2sinAGAJ3sinBGB3sinC

8、GC0,则cosB3例3.在ABC中，重心为G若33，则A三、平面向量的基本定理(一)平面向量基本定理内容：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1,2,使，其中ei、e2是一组基底，记作叫做向量a关丁基底的分解式。平面向量基本定理是向量正交分解的依据，是向量坐标运算的基础。注意：只要是不共线的两个向量都可以作为基底，因为零向量与任一向量都平行，所以零向量一定不能作为基底；基底不唯一；任一向量可以由一组基底来表示，但表示方法是唯一的。例1.(14福建)在下列向量组中，可以把向量a(3,2)表示出来的是A.ei(0,0),e2(1,2)B.e

9、i(1,2)。(5,2)e(3,5)4(6,10).切1(2,3)4(2,3)例2.(09安徽)在平行四边形ABCLfr,E,F分别是CRBC的中点，若ACAEAF,则(二)平面向量基本定理与向量共线条件的综合应用设A,B是直线l上两点，O是直线外一点，对丁直线上任意一点P，存在tR,使立.反之，满足上式的点P在直线l上.特别地，当P为A,B的中点时，则.例1.已知O、A、B是平面内的三个点，线段BA的延长线上有一点C,满足3AOCB=0则OC=OoB2OA+3O.3Ov-OTO.-OA-3OB2222.TT例2.数列an是等差数列，其前n项和为若平面上的三个不共线的向量OAOBO(M一TTT

10、一.足OB=a1O丹a2006OC且A,B,C三点共线，贝US2006例3.已知向量i,j不共线，且AB=imj,ADnij,若A,B,D三点共线，则实数m,n应满足的条件mn1mn1mn1mn1例4.(07江西)如图，在ABC中，设。为边BC的中点,TTTT过点O的直线交直线AB、AC丁不同两点M,N.若AB=mAMAC=nAN贝Um+n=mn的最大值为.、一.，一,一T一，例5.在ABC中，设M为边BC的任意点，N为AM中点，AN=ABfACM，一.、一J、.一，一一,一T一，例6.在ABC中，设M为边BC的中点，N为AM中点，AN=A»AGWJ+=.例7.如图，在ABC中，设D

11、为边BC的中点，G为AD中点，过G任作一条直线MN分别、kTTTT、11GM,交AB、AC丁M,N两点，若AM=xABAN=yAG试I可1是否为刀俏？a四、平面向量的正交分解与向量的直角糜笔算:(一)向量的正交分解与向量的直角卷、1. 向量的垂直：如果两个向量的堰契为明么这两个向量互相垂直；/2. 向量的正交分解：如果基底的必昂wiifiC则称这个基底为正遂4氐在k交基底下分解向量，叫做正交分解。BD3. 在平面直角坐标系下，分另聊与x轴，y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对丁平面内任一向量a，有且只有一对实数x,y,使得axe1ye2.有序数对(x,y)叫做a的坐标，记作a(x,y)注意：

12、(1)每一个向量都可以用一对有序实数对来表示，向量有代数法和几何法两种表示。(2)符号(x,y)有了双重的意义，既可以表示固定的点，乂可以表示向量；平面向量的坐标只与始点和终点坐标有关，只有点始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等。(二)向量的坐标运算1. 若a(x1,y1),b(x2,y2)，贝Uab.2. 若A(x1,y1),B(x2,y2)，贝JAB=|AB=3. 若a(x,y),R,贝Ua4. 右a(x1,y1),b(x?,y2),a/b,则有.5. 三角形ABC的重心坐标公式为五、平面向量的数量积：1. 平面向量数量积的定义 向量a,b的火角已知两个非零向量a,b,过点O作OAa

13、,OBb,贝UAOB(,叫作向量a,b的火角.当时，a与b垂直，记作.当寸，a与b平行或共线.注意：理解什么是两向量的火角？以及两向量火角的范围。 向量a,b的数量积已知两个非零向量a与b，它们的火角为，则把圳故向量a,b的数量积(内积)，记作. 规定0?a=0 向量数量积的几何意义.2. 向量数量积的性质设a,b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的火角，贝U e?aa?ea?cos ab 当a,b同向时，a?b.当a,b反向时，a?b特别地，a?a cos a?ba?b3. 向量的数量积的运算律：注意：向量的数量积无无律.4. 数量积的坐标运算 若a(x1,y1),b(x2,y

14、2)，贝Ua?b 若a(x,y)，贝Ua?aa2a2a 若a(xi,yi),b(X2,y2)，则a/b的充要条件为 a(xi,yi),b(x2,y2)，则ab的充要条件为 求角问题：若非零向量a(x，yi),b(x2,y2),是a,b的火角，贝U注意：向量有几何法和坐标法两种表示，它的运算也有两种方式即基丁几何表示的几何法和基丁坐标表小的代数法.典型例题(一)向量数量积的几何运算，注意两个向量的火角，利用平面向量的基本定理选好基底例1.对任意向量a,b，下列关系式中不包成立的是abababab|a2bab2ababa2b2例2.已知向量a,b,c，满足a1,b2,cab，且ca,则向星a与b的

15、火角为例3.（11江西）已知Jab2,(a2b)?(ab)2,则a,b的火角为例4.（13全国）已知两个单位向量a,b的火角为60,cta（1t）b,若b?c0则t例5.（13江西）设e1、£2为单位向量，e1与e2的火角为一，若ae13e2,b2,则向量3a在b方向的射影为例6.已知向量a,b,c，满足abc0,(ab)c,ab，若a1,则例7.（14课标全国）已知A,B,C为圆。上的三点，若AO2（ABAC）,则AB与AC的火角为例8.（10湖南）在直角三角形ABC中，C90,AC4,则AB?AC=例9.（15湖北）已知向量OAab，oa3,则oAoBuuruuur例10.如图，

16、在平行四边形ABC呻，APIBR垂足为P,且A3,则APAC例11.在三角形ABC中，A60,AB2,AC1,E,F为边BC的三等分点，则AE?AF=例12.（12天津）已知三角形ABC为等边三角形，AB2,点P,Q满足AP=AB,AQ=（1-）ACR,若BC?CP=3,WJ2例13.（13山东）已知向量ABfA次角120,AB3,AC2,AP=ABhAC且AP?BC=0则实数的值一一、.一，一，一一'.一一.例14.（13天津）在平行四边形ABCD中，AD1,BAD60,E为边CD的中点，若AC?BE=1,则AB的长为，一，f_-一，T例15.已知a,b火角为甘，|aJ3,b2,在二

17、角形ABC中，AB2m2n,AC2m6n,D为边BC的中点，贝UAD.，一，一一TT例与BE分别是ABC的中线，若AD=BE=1ad与BE的火角为120，贝UAB7AG例17.(15四川)设四边形ABC既平行四边形，AB=AD=4若MN满足bM3mc,DN2NC,贝UAmnm一_.-一,.、，.一，TT例18.(12浙江)在二角形ABC中，点M为BC的中点，AM3,BC10,则AB?AC=例19.(09陕西)设M为ABC边BC的中点，AM1，点P在AM上，满足AP=2PM则PA(PB+PC=.、一一一一一，一一r-一一.TTT例20.设。是二角形ABC的夕卜心，ODBC,ABJ3,AC1,贝U

18、AD?(ABAC)=例21.在三角形OAB中，已知OA4,OB2,点P是AB的垂直平分线l上任一点，贝UAB?OP=一T例22.已知。是三角形ABC的夕卜心，若AB3,AC5,贝UAO?BG,、-TTTTT例23.若三角形ABC内接丁。以为圆心，1为半径的圆，3O/+4OB5OC=0，则OC?AB=例24.已知非零向量a,b,av3b,f(x)1x3ax22a?bx1在R上有极值，贝Ua,b3的取值范围为例25.(10全国)已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线，A,B为切点，则pa?pB勺最小值为典型例题(二)：对丁有明显的直角关系的向量问题-建立平面直角坐标系(与线性规划问题联系)

19、,向量的几何法与代数法的转化例1.(13湖北)已知点A(1,1),B(1,2)C(2,1),D(3,4),则向量A叶CDJ向上的投影为例2.(12重庆)设x,yR，向量a(x,1),b(1,y),c(2,4),ab,b/c，则ab、3xy0例3.已知点A3N3,O是坐标原点，点P(x,y)的坐标满足x3y20,设z为OAEOP上的投影，则z的取值范围例4.（13福建）在四边形ABCD中，AG（1,2）,BD=（-4,2），则四边形的面积为TTT例5.（09湖南）如图，两块斜边长相等的直角三角板在一起，若AD=xA»yAC则x=,y=例6.已知OA1,OBk,AOB§，点C在

20、AOB内，OC?OA=0,右OC=2mO/+mOBOC2构，则k例7.（09天津）若等边二角形的边长为23,平面上一点M，满足CMtCBCA63WJMA?MB=.例8.（11天津）已知直角梯形ABCD中，AD/BC,ADC90,AD2,BC1,P是腰DC.一.一上的动点，则|PA+3PB的最小值为例9.（12江苏）如图，在矩形ABCD中，ABJ2,BC2,点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB?AFJ2,则AE?BF=例10.在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P是线段CD的中点，则PB2PAfPC例11.（13全国）已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点，贝UAE?BD=例

21、12.（13重庆）在平面上，ABiab2,|OBi|OB2|1，apABiAB2，若|OP|2，则lOA的取值范围是例13.（12北京）已知正方形ABCD的边长为1,点E为AB边上的动点，WJDE?CB=DE?DC勺最大值为例14.平面上三个向量OAOBOC满足OA1,OBJ3,OC1,OA?OB=0则CA?CB勺最大值为例15.已知三角形ABC中，C60,AC2,BC1,点M是ABC内部或边界上一动点，N是边BC的中点，则AN?AM勺最大值为ABACABtAC-例16.（15福建）已知，t，若点P是三角形ABC所在平面内一点，AB4ACAP且阴|AC，则pBpC的最大值为例17.（09全国）设是a,b,c单位向量，a?b=0,则（a-c）?（b-c）的最小值为例18.（13湖南）已知a,b是单位向量，a?b=0,若向量c满足|c-a-b|=1，贝U|c|的取值范围例19.（11辽宁）若a,b,c单位向量，a?b=0,（a-c）?（b-c）0,贝U|a+b-c|的最大值为例20.（11全国）设向量a,b,c，满足|a|=|b|=1,a?b=1,ac,bc60,则|c|的最大值为例21.（14安徽）在平面直角坐标系xOy中，已知a,b是单位向量，a?b=0,若Q点满足r*Oq42Gb）,曲线CP|OPacosbsin,02,区