高考数学一轮复习专题07二次函数与幂函数教学案文

1、07二次函数与籍函数考情解读1. 了解藉函数的概念；结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=x；,y=-的图象，了解它们的变化情2x况；况gid拓社二2. 理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.(Wif,4.so*.yguma.9»<1. 藉函数备函数的定义一般地，形如y=史的函数称为藉函数，其中x是自变量，也为常数.(2)常见的5种藉函数的图象(3)常见的5种藉函数的性质函数性质y=x2y=x3y=x1y=吒-1y=x定义域RRR0,+8)(x|xR,且x乒0值域R0,+°°)R0,+00)y|yR,且y乒0奇偶性奇偶

2、奇非奇非偶奇2. 二次函数(1) 二次函数解析式的三种形式:一般式:f(x)=ax2+bx+c(a丰0).顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a乒0),顶点坐标为(m,n).零点式：f(x)=a(x-x)(xx2)(a丰0),xi,x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质高频考点一藉函数的图象和性质例1、(1)已知藉函数f(x)=k-X“的图象过点¥i，则k+a等于(A.2B.1C3D.2-亏-122)若(2m+1)1>(m2+m-1)2由藉函数的定义知k=1.又f板i=驾-,所以里=亨，解得a=；,从而k+a=|.1,因为函数y=X2的正义域为。，+°&#

3、176;),贝U实数m的取值范围是(|B字+勺I麟51C.(1,【解析】DW，2.J且在定义域内为增函数，所以不等式等价于，H邑2m+1>痴+所一1.心，解得<Vs仍-1此5或_>-Kjw<C2,即一£【答案】(1)CD【方法规律】(1)可以借助藉函数的图象理解函数的对称性、单调性；a的正负：当a>0时，图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升；当a<0时，图象不过原点，过(1,1),在第一象限的图象下降.在比较藉值的大小时，必须结合藉值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个藉函数的图象和性质是解题的关键.【变式探究】(1)

4、藉函数y=f(x)的图象过点(4,2),则藉函数y=f(x)的图象是()2.已知藉函数f(x)=(n+2n-2)xn2-3n(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0,+8)上是减函数,则n的值为()A.3B.1C.2D.1或2【解析】(1)设f(x)=x"(aR),则4“=2,-a=2，因此f(x)=x；,根据图象的特征，C正确.藉函数f(x)=(n2+2n-2)xn23n在(0,+8)上是减函数，/+2n2=1,h23n<0,又n=1时，f(x)=x2的图象关于y轴对称，故n=1.【答案】(1)C(2)B高频考点二二次函数的图象与性质例2、已知函数f(x)=x2+2ax+3,x4

5、,6.当a=2时，求f(x)的最值；(2) 求实数a的取值范围，使y=f(x)区间-4,6上是单调函数;当a=1时，求f(|x|)的单调区间.解当口=一2时，贝)=弟一4+3=。由于灰一46,二贝)在-4,2上单调递现在口8上单调递增，项力的最小值是人2)=又犬-4)=35,)=15,故的最大值是3£Q)由于函数典0的图象开口向上，对称抽是工=-心所以要使爪)在-4,6±是单调函数，应有-足-4或一妙6,即足或足虬故臼的取值范围是(一如-6U4,十8).(3)当臼=一1时，只团)=*2园+3=习+处+3=（JC+1）乏+2,询,*2x十3=（JC-1）乏+2,其图象如图所示

6、,又x4,6,.f（|x|）在区间4,-1）和0,1）上为减函数，在区间1,0）和1,6上为增函数.【方法规律】解决二次函数图象与性质问题时要注意:(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定,要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图),再“定量”(看图求解)，事半功倍.【变式探究】(1)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是()ABCD(2)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,bCR尾偶函数，且它的值域为(一8,4,则该函数的解析式f(x)=.【解析

7、】(1)由A,C,D知，f(0)=c<0,b从而由abc>0,所以ab<0,所以对称轴x=y->0，知A,C错误，D满足要求；由B知f(0)2a=c>0,所以ab>0,所以x=<0B错误.2a由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，b=2,-f(x)=2x+2a,又f(x)的值域为(8,4,2a2=4,故f(x)=2+4.【答案】(1)D(2)2x2+4高频考点三二次函数的应用例3、(2016全国II卷)已知函数f(x)(x£R)满足f(x)=f(2-x)，若函数y=|x22x-3|与y=f(x)m图象的交点为(xi,y)，(x2,y2

8、),，(xm,ym),则£xi=()i=1A. 0B.mC.2mD.4m【解析】由、饵二爬一时知函数*0的图象关于直线x=l对称.又咛时2x3|=h>-1)4|的图象也关于直线对称，所以这两函数的交点也关于直线工=1对称,不妨设5,贝号二L即jci；同理有五1一=2,xj+xa)-2=r-?又£_羽=五|+丽-l+蹲，所以2奴的=&1+*同)+(的+知-1)+句所以右蒿=旗.【答案】B【方法规律】对于函数y=ax2+bx+c,若是二次函数，就隐含着a乒0,当题目未说明是次函数时，就要分a=0和a乒0两种情况讨论.(2)由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参

9、数法，转化为求函数最值问题，其依据是aAf(x)?a>f(x)max，a<f(x)?a<f(x)min.(3)涉及二次函数的零点常与判别式有关，常借助函数的图象的直观性实施数形转化.【变式探究】(1)(已知f(x)=x2+2(a2)x+4,如果对x3,1,f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围为.(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当xA0时，f(x)=x22x,如果函数g(x)=f(x)m(mR)恰有4个零点，则m的取值范围是.【解析】(1)因为用)二/+2(。2U+S对称轴x=-(a-2),对又日一3,1,用)>0,恒成立,所以讨论对称轴与区间L3,1

10、的位置关系得:-3<-(d-2)<b/<0,解得或l#z<4或J-(fl-2)<-3,k(-3)>0,或'-(a2)>1,/(I)>0,所以“的取值范E函数g(x)=f(x)m(mCR)恰有4个零点可化为函数y=f(x)的图象与直线y=m恰有4个交点,作函数y=f(x)与y=m的图象如图所示,故m的取值范围是(一1,0).【答案】(1)J-14，(2)(-1,0)高频考点四、分类讨论思想在二次函数最值中的应用例4、已知f(x)=ax22x(0<x<1),求f(x)的最小值.解(1)当a=0时，f(x)=2x在0,1上递减，f(

11、x)min=f(1)=2.2分当a>0时，f(x)=ax2-2x图象的开口方向向上，且对称轴为x='.a当1<1,即a>1时，f(x)=ax2-2x图象的对称轴在0,1内，二f(x)在0,气上递减，在p,aaa1上递增.1121-f(x)min=f(一)=一一一=一-aaaa1当->1,即0<a<1时，f(x)=ax2-2x图象的对称轴在0,1的右侧，f(x)在0,1上递减.af(x)mln=f(1)=a-2.9分皿=版1)=32.9分(3)当g时的0=皿一由的图象的开口方向向下旦对称轴乂=扑，在y轴的左侧，二»=湛22x在皿1上递减二fl

12、»miD二版l)=a-2.U分a-2,综上所述La>l-la【方法与技巧】1. 二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式.已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式.(3) 已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便.2. 研究二次函数的性质要注意：(1) 结合图象分析；(2) 含参数的二次函数，要进行分类讨论.3. 利用藉函数的单调性比较藉值大小的技巧在比较藉值的大小时，必须结合藉值的特点，转化为同指数藉，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较.【失误与防范】1. 对于函数y=ax2+bx+c,要认

13、为它是二次函数，就必须满足a乒0，当题目条件中未说明a乒0时，就要讨论a=0和a乒0两种情况.2. 藉函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；备函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果藉函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.真题邮4211. 【2016高考新课标3理数】已知a=2，b=4,c=25，则()(A)b<a<c(B)a<b<c(C)b<c<a(D)c<a<b【答案】A422122【解析】因为a=23=4345=b,c=25，=5互43=a，所以b<a<c,

14、故选A.1. (2014-全国卷)若函数f(x)=cos2x+asinx在区间富，万是减函数，贝Ua的取值范围是【答案】(8,2【解析】Jx)=ccs2x+iifin-2stD;x+dsinjc+1,令sinxtr则用户L因为工£任，勃所以低&1)所以*+洗但1)因为如=COEll+OEmJt在区间务是减函教，所以如=一"+也+1在区间&1)上是减函数又对称轴为咛%二割，所以忒(一叫幻.2. (2014浙江卷)在同一直角坐标系中，函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图像可能是()ABCD【答案】D【解析】只有选项D符合，此时0<a

15、<1,藉函数f(x)在(0,+8)上为增函数，且当x(0,1)时，f(x)的图像在直线y=x的上方，对数函数g(x)在(0,+8)上为减函数，故选D.3. (2013安徽卷)“a<0”是“函数f(x)=|(ax1)x|在区间(0,+8)内单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】施)=|(双-也=|况-若0,则00=1皿此寸瓯)在区间(0,十勾上单调涂新若云0则二次函数y=ax2-x的对相由旦x=Q时y=o,岫寸丫二制?<在区间(0,+做上单调递减目邱)恒成立，故取)=|盘x|在区间(0,+时上单调避增，故2

16、)时，的疵区间(0,+w)上单调谢增，条件是充分的j反之若aXh则二次函数？=按-又的对称轴且在区间0,土上¥叫此时0)=|ax对在区间。，土上单调递增，在区间£,:上单调故函数毋o不可能在区间(们+F上单调建增，条件Ml<1是必要的.4. (2013湖南卷)函数f(x)=2lnx的图像与函数g(x)=x2-4x+5的图像的交点个数为()A.3B.2C.1D.0【答案】B【解析】法一：作出函数f(x)=2lnx,g(x)=x24x+5的图像如图：<3jxir可知，其交点个数为2,选B.法二：也可以采用数值法：x124f(x)=2lnx02ln2=In4>1

17、ln42<5g(x)=x24x+5215可知它们有2个交点，选B.5. (2013新课标全国卷n已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是()A. xoCR,f(x°)=0B. 函数y=f(x)的图像是中心对称图形C. 若X0是f(x)的极小值点，贝Uf(x)在区间(一8,X0)单调递减D. 若xo是f(x)的极值点，贝Uf'(xo)=0【答案】C【解析】L-化时，L+s时，fOO连续，嘛xpER,胞)=0,A正而通过平移变换，圈数可以化为附=7+必,从而函数y=««的图像是中心对称图形，B正确3若粒是的L)的极小值点，可能还有极大

18、值点xi,则取)在区间(由,心)单调递减.C错误.D正确故t答案】为C6. (2013北京卷)函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y=ex关于y轴对称，则f(x)=()A.ex+1B.ex1C.ex+1D.ex1【答案】D【解析】依题意，f(x)向右平移一个单位长度得到f(x1)的图像，又y=ex的图像关于y轴对称的图像的【解析】式为y=e二所以f(x-1)=e二所以f(x)=e一、一1.ABCD【解析】若a<0,由y=xa的图象知排除C,D选项，由y=ax+的图象知应选B;若a>0,ay=xa的图象知排除A,B选项，但y=ax+1的图象均不适合，综上选B.a【答

19、案】Bf（x），一、一4. 函数f（x）=x22ax+a在区间（一8,1）上有取小值，则函数g（x）=在区间（1,）x上一定（）A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数【解析】L爪）=妒-在（-皿1）上有最小值，且关于工=。对称，二妇测.若心则函3在（L,+F上是增函教，若0X1,则囹R在（血，+阿上是增函数,，二於）在（，+阿上是增函数，综上可得始=工+&在（1,+-）上是增函数.【答案】D5. 若关于x的不等式x24x-2a>0在区间（1,4）内有解，则实数a的取值范围是（）B.(-2,+8)D.(8,6)A.(8,2)C.(6,+8)【解析】不等式x24x-2-a&

20、gt;0在区间（1,4）内有解等价于a<（x24x2）max,令f(x)=x24x2,x(1,4),所以f(x)<f(4)=2,所以a<-2.【答案】A6. 函数f(x)=(m2m-1)x4m9m51是藉函数，对任意的x，x2£(0,+°°)，且x乒x?,满f(xi)f(X2足x_x>。，右a,bR,且a+b>0,则f(a)+f(b)的值()A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断m2m1=1,4m9m5*1>0,【解析】依题意，藉函数f(x)在(0,+8)上是增函数，解得m=2，贝Uf(x)=x2015.函数f(x)=x

21、2015在R上是奇函数，且为增函数.由a+b>0,得a>一b,f(a)>f(-b),则f(a)+f(b)>0.【答案】A2,x>2,7. 已知函数f(x)=ix若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，贝U实数k的I(x-1)，即P>R>Q.,x<2,取值范围是.【解析】作出函数y=f(x)的图象如图.则当0<k<1时，关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根.【答案】(0,1)8. 已知P=2-3,Q=$3,R=$3，贝UP,Q,R的大小关系是.3f-J23c.212f?23132【解析】p=22=.*-J,根据函数y=x3是r上

22、的增函数，且>2>5,得2)>/'>'3/【解析】由廊)=一砂+&在L2上是减函数可得1,2或+8),，在LI)二击在(T,+8)上为减圈数二由的)=£在幻上是减函数可得技)，故(XE.【答案】(0,1nVf(x)<m并求满足条10. 已知函数y=f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)=(x-1)2,若当x2,一；时,恒成立，贝Umn的最小值为.【解析】当x<0时，一x>0,f(x)=f(-x)=(x+1)12. 已知函数f(x)=x+(2a1)x-3.,.x2,2I,-f(x)min=f(-1)=0,f(x)m

23、ax=f(-2)=1,mA1,nV0,mn>1.mn的最小值是1.【答案】111. 已知藉函数f(x)=x(m2+m)T(mN)的图象经过点(2,匝)，试确定m的值，件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.解藉函数f(x)的图象经过点(2,寸2),二皿二2(於+闾-1,即号=2(履+的尸.二履+/n=2.解得m=l或m=-2.又.WEN+j血=亏3则函数的定义域为0,+8),并且在定义域上为增函数.2-g由爬一项。一项导以一imbj2a>a35解得1全云二。的取值范围为1，2)当a=2,x-2,3时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在1,3上的最大值为1,求实数a的值.解(1)当a=2时，f(x)=x2+3x-3,x2,3,3对称轴x=2,3,-f(x)min=ff(x)max=f(3)=15,.值域为2a1(2)对称轴为x=2a11当一以V1,即a>-；时,f(x)max=f(3)=6a+3,一一一1.6a+3=1，即a=三洒足题启、；32a11rr_L当一2>1，即a<一§时，f(x)max=f(1)=2a1,2a1=1，即a=1满足题意.综土可知，a=；或1.313. 已知函数f(x)=ax2+bx+