高一数学典型例题分析指数函数、对数函数、换底公式

1、指数函数和对数函数·换底公式·例题 例1-6-38  log34·log48·log8m=log416，则m为                               解  B  由已知有   &

2、#160;                                                 &

3、#160;                                                 &

4、#160;       Aba1B1ab0Cab1D1ba0解  A  由已知不等式得故选A                                    

5、60;                                                 

6、60;                        故选A                          

7、0;                                                 

8、0;                                  A1，+          B(-，1      C(0，2)

9、60;      D1，2)2x-x20得0x2又t=2x-x2=-(x-1)2+1在1，+)上是减函数，                                     

10、                                                  

11、                        AmpnqBnpmqCmnpqDmqpn例1-6-43  (1)若logac+logbc=0(c0)，则ab+c-abc=_；(2)log89=a，log35=b，则log102=_(用a，b表示)但c1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1例1-6-44  函数y=f(x)的定义域为

12、0，1，则函数flg(x2-1)的定义域是_由题设有0lg(x2-1)1，所以1x2-110解之即得例1-6-45  已知logx27=a，求log616的值例1-6-46  比较下列各组中两个式子的大小：例1-6-47  已知常数a0且a1，变数x，y满足3logxa+logax-logxy=3(1)若x=at(t0)，试以a，t表示y；(2)若tt|t2-4t+30时，y有最小值8，求a和x的值解  (1)由换底公式，得即           

13、;   logay=(logax)2-3logax+3当x=at时，logay=t2-3t+3，所以y=ar2-3t+3(2)由t2-4t+30，得1t3值，所以当t=3时，umax=3即a3=8，所以a=2，与0a1矛盾此时满足条件的a值不存在  指数函数和对数函数·指数函数·例题                      &

14、#160;                                                 &

15、#160;                                       解  A例1-6-2  f(x)=3x+5，则f-1(x)的定义域是    

16、60;                                    A(0，+)              &

17、#160;        B(5，+)C(6，+)                       D(-，+)解  B  因为f(x)=x2+55，即f(x)的值域为(5，+)，故f-1(x)的定义域为(5，+)例1-6-3  下列函数中，值域是(0，+)的一个函数是 &

18、#160;                   解  B例1-6-4  函数y=(a2-1)x在(-，+)上是减函数，则a的取值范围是          例1-6-5  已知ab，ab0审查下列不等式其中恒成立的有        

19、                                                  

20、                            A1个            B2个          C3个  

21、;           D4个解  C解  (0，1)例1-6-7  使函数yx2-x-x递减的x的取值范围是_例1-6-8  根据不等式确定正数a的取值范围：(1)aa，则a_；(2)aa，a_；解  (1)(1，+)  (2)(0，1)  (3)(0，1)(1)指出函数的奇偶数，并予以证明；(2)求证：对任何x(xR且x0)，都有f(x)0所以f(x)是偶函数(2)当x0时，2x1，所以f(x)0当x0时，由f(x)为偶函

22、数，有f(x)=f(-x)0所以对一切xR，x0，恒有f(x)0注  利用函数的奇偶性常可使解法简化如本例(2)，当x0时，证明f(x)0较繁若注意到f(x)为偶函数，则只须证明，当x0时f(x)0，而这是显然的(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)证明f(x)是区间(-，+)上的增函数；(3)求函数的值域解  (1)f(x)的定义域为R又所以f(x)为奇函数在R上为增函数指数函数和对数函数·对数函数·例题            

23、60;                                                 

24、60;                                                解  A 

25、0;                                                 

26、0;                                                 

27、0;        AR                                   B(-，-3C8，+)       

28、                 D3，+)解  B例1-6-26  若f(x)=loga|x+1|在(-1，0)内f(x)0，则f(x)                   A在(-，0)内单调递增B在(-，0)内单调递减C在(-，-1)内单调递减

29、D在(-，-1)内单调递增解  D  依题设，f(x)的图象关于直线x=-1对称，且0a1画出图象(略)即知D正确例1-6-27  已知函数f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)=x2+lg(x+1)，那么当x0时，f(x)的解析式是                            

30、                                                  

31、                                A-x2-lg(1-x)                 

32、0;    Bx2+lg(1-x)Cx2-lg(1-x)                       D-x2+lg(1-x)解  A  设x0，则-x0，所以f(-x)=(-x)2+lg(-x+1)=x2+lg(1-x)=-f(x)f(x)=-x2-lg(1-x)例1-6-28  函数y=5x+1的反函数是 

33、;                                                Ay=log5(x+1) 

34、60;                 By=logx5+1Cy=log5(x-1)                    Dy=log(x-1)5解  C解  (1)奇函数  f(x)为奇函数(2)3.373 

35、; 因为(x)=x2+f(x)，又由(1)知，f(x)为奇函数，所以f(-2)=-f(2)所以(-2)=(-2)2+f(-2)=2×22-(22+f(2)=8-例1-6-31  若1x2，则(log2x)2，log2x2，log2(log2x)的大小关系是_log2(log2x)(log2x)2log2x2(1)判断f(x)的奇偶性；(2)已知f(x)存在反函数f-1(x)，若f-1(x)0，求x的取值范围另一方面，有所以f(x)是奇函数故当a1时，x0；当0a1时，x0例1-6-33  已知常数a，b满足a1b0，若f(x)=lg(ax-bx)，(1)求y=f(

36、x)的定义域；(2)证明y=f(x)在其定义域内是增函数；(3)若f(x)恰在(1，+)上恒取正值，且f(2)=lg2，求a，b的值(2)任取x1，x2(0，+)，且x1x2因为a1，所以g1(x)=ax是增函数，所以ax1-ax20故f(x)=lg(ax-bx)在(0，+)内是增函数(3)因为f(x)在(1，+)内为增函数，所以对于x(1，+)内每一个x值，都有f(x)f(1)要使f(x)恰在(1，+)上恒取正值，即f(x)0只须f(1)=0于是f(1)=lg(a-b)=0，得a-b=1又f(2)=lg2，所以lg(a2-b2)=lg2，所以a2-b2=2，即(a+b)(a-b)=2而a-b

37、=1，所以a+b=2例1-6-34  设0x1，a0且a1，试比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小解  作差比较因为0x1，所以01-x1，11+x2，01-x21当a1时，|loga(1-x)|=-loga(1-x)，|loga(1+x)|=loga(1+x)所以|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x2)0即      |loga(1-x)|loga(1+x)|当0a1时，|loga(1-x)|=loga(1-x)，|loga(1+x

38、)|=-loga(1+x)所以    |loga(1-x)|-|loga(1+x)|=loga(1-x)+loga(1+x)=loga(1-x2)0即      |loga(1-x)|loga(1+x)|注  本例也可用作商比较法来解例1-6-35  设对所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围解  根据题意，可知原不等式(关于x的二次不等式)应满足下列条件：例1-6-36  设函数f(x)=log2(3-2k)x2-2kx-k+1，求使f(x)在(-，0)内单调递减，而在(

39、1，+)内单调递增的所有实数k组成的集合M必须有g(x)0，3-2k0，且g(x)的图象的对称轴与x轴的交点的横坐标必须属于0，1于是k确定于不等式组例1-6-37  在函数y=logax(0a1，x1)的图象上有A，B，C三点，它们的横坐标分别是m，m+2，m+4(1)若ABC面积为S，求S=f(m)；(2)判断S=f(m)的增减性；(3)求S=f(m)的最大值解  (1)由A，B，C三点分别向x轴作垂线，设垂足依次为A1，B1，C1，则数列·例题解析 【例1】 求出下列各数列的一个通项公式解 (1)所给出数列前5项的分子组成奇数列，其通项公式为2n1

40、，而前5项的分母所组成的数列的通项公式为2×2n，所以，已知数列的(2)从所给数列的前四项可知，每一项的分子组成偶数列，其通项公式为2n，而分母组成的数列3，15，35，63，可以变形为1×3，3×5，5×7，7×9，即每一项可以看成序号n的(2n1)与2n1的积，也即(2n1)(2n1)，因此，所给数列的通项公式为：(3)从所给数列的前5项可知，每一项的分子都是1，而分母所组成的数列3，8，15，24，35，可变形为1×3，2×4，3×5，4×6，5×7，即每一项可以看成序号n与n2的积，也即

41、n(n2)各项的符号，奇数项为负，偶数项为正因此，所给数列的通项公式为：1，4，9，16，25，是序号n的平方即n2，分母均为2因此所【例2】 求出下列各数列的一个通项公式(1)2，0，2，0，2，(3)7，77，777，7777，77777，解 (1)所给数列可改写为11，11，11，11，可以看作数列1，1，1，1，的各项都加1，因此所给数的通项公式an(1)n+11所给数列亦可看作2，0，2，0周期性变化，因此所给数列的数列n，分子组成的数列为1，0，1，0，1，0，可以看作是2，(4)所给数列，可以改写说明1用归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律对于项的结构比较复

42、杂的数列，可将其分成几个部分分别考虑，然后将它们按运算规律结合起来2对于常见的一些数列的通项公式(如：自然数列，an=n；自然数的平方数列，ann2；奇数数列，an2n1；偶数数列，an=2n；纳出数列的通项公式3要掌握对数列各项的同加、同减、同乘以某一个不等于零的数的变形方法，将其转化为常见的一些数列几项【例4】 已知下面各数列an的前n项和Sn的公式，求数列的通项公式(1)Sn2n23n(2)Snn21(3)Sn2n3(4)Sn(1)n+1·n解 (1)当n=1时，a1=S11；当n2时，anSnSn-1=(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合此等式，因此an=4n5(2)当n1时，a1S1=112；当n2时，anSnSn-1=n21(n1)212n1，由于a1不适合于此等式，(3)当n1时，a1=S123=5；当n2时，an=SnSn-12n3(2n-13)2n-1，由于a1不适合于此等式，(4)当n1时，a1S1=(1)2·1=1；当n2时，anSnSn-1=(1)n+1·n(1)n·(n1)=(1)n+1(2n1)，由于a1也适可于此等式，因此an(1)n+1(2n1)，nN*