闭环极点法是以系统左平面共轭复极点到原点斜率的倒数的绝对值β来

1、闭环极点法是以系统左平面共轭复极点到原点斜率的倒数的绝对值B来判断系统稳定性的方法，B越大，系统就越稳定。在存在减幅振荡的时候，能较好的描述和量化系统的稳定性。若一个闭环系统阶跃响应出现减幅振荡，系统的闭环传输函数必然会出现左平面共轭复数根s = <7 ±3 j ,阶跃响应会出现一个衰减指数项，形式是K x exp（ 71） x sin（31）,可以看作一个衰减的指数项乘以一个正常的sin函数。现在以图1的常见二级运放为例，说明如何在spectre中运用闭环极点法来分析运放的稳定性， 在这里只调整电容的 值来改变运放的稳定性，对运放进行闭环AC和pole-zero分析， 再 p

2、rint pole-zero summary就可以看到零极点了。下面 先把图表公式全部列出来，然后再进行具体分析。1irara;1“01si-adL rwJ2HOUM V-=，W，JTFIrafvil hn=2 -OUTIn"ftigana：! m=-l图1常见二级运放共轭复极点实数极点左平面单调指数减幅（稳定）减幅震荡（可能不稳定，视情况而定）右平面单调指数增幅（不稳定）.增幅震荡（不稳定）PMa<£>振荡周期电容图片心45-1.934-07±5.31072.5个95f图2和图齐6Q206&1-07±2.56070.8D1个flOO

3、f图4和图67-203e+07±L71e+071.191P图6和图了心6S-20107±1.38&>071.4505个1.2p圏咅和图扣74-240ef070X2p图4和图lb注释:3:比例因子，(T / 3的绝对值PM:相位裕度(T:闭环极点的实部，可以由spectre仿真得到3:闭环极点的虚部，可以由spectre仿真得到公式1: u(t)= K1+K2 x exp& t) x sin(31) , <t是减幅震荡的衰减因子，3是减幅震荡的频率公式2 :3 T= 2 n , T是减幅震荡的周期公式3:(T = -1 / T , T为时间常数图2

4、 PM=45度时的阶跃响应图3 PM=45度时的极点分布首先来分析PM=45的情况，阶跃响应和闭环极点如图2和图3所示，系统出现了左平面上的共轭复根，时域上出 现了减幅振荡。肉眼能分辨的震荡包括三个上凸，两个下凹，最后一个上凸不很明显，合共2.5个振荡周期T,这可以说明什么呢？ 其实一旦出现减幅振荡，理论上再过10年，振荡也不会变为0，但无论是考虑到噪声也好，波形软件能够 到达的精度也好，减幅振荡一旦衰减到一定的程度，例如1%，就能够认为振荡消失了。可以尝试计算下经过一个振荡周期波形能衰减到多少。这里经过的时间为t=2.5T,由公式1和公式2及B =0.36可得t=2.5T=2.5X 0.36

5、 X 2n X t=5.7X t ,就是说指数项经过5.7t的衰减变为原来的exp( <r X5.7X t )=0.3%，这说明指数衰减到约0.3%后，减幅震荡就消失了图4 PM=60度时的阶跃响应JL.Results Display Window " = J * i Eeros(Hz)Network fmnctiangain (juagTnxtuide)=-6 15419e+01Poles(Hz)RealImaginaryQf actor:PoLb_1-2.064315+072 557316+077. 96126e-01Po.Le_2-2.06431S+07-2.557616

6、+077. 96126e-01Po.Le_3-1.30843e+D80 00000e+005. 000bde-01Pole 4-2 0011306O.OOODOe+OO5.00000e-01Pole_52.6?234e+08O.OOODOe+005,OCOODe-OlSeras(Hz)Network functionLgain fmagnitude)=-6.170446+01Vindow lExpressions Info图5 PM=60 度时的极点分布接着来看PM=60的情况（图4和图5）, B = 0.8 ,刚好比PM=45的B =0.36两倍稍微大一点， 这说明同样要衰减到震荡消失，例如

7、同样经历5.7 t后衰减到0.3%，PM=45的振荡周期理论上应该为PM=60的2.2倍。我们看图4来验证这一点，PM=60时有一个过冲的上凸和一个不明显的下凹，合共一个振荡周期，而PM=45的情况下震荡了 2.5个周期。图6 PM=67度时的阶跃响应图7 PM=67度时的极点分布图8 PM=68度时的阶跃响应Results Displgy WlriQo磴Window Expressions InfoHelp 6Re alIjnagmaryQfactorPole 1-2.01315e+071. 38450e+076,06830e-01Pole 2-2.01315e+07-f; 384500+0

8、76.0m0e-01Pole 3-1.41G26e+080.D0000e+00S.OOOOOe-OlPole 4-1 998S9e+O00.00000e+00S.00000e-01Po1b_5-2.£7246e+080.00000&+00S.00000e-01Zeros(Hz)Network functiongam (magnitude)=-6.14789e+01图9 PM=68度时的极点分布如图8所示，在开始的半个周期内（上凸的那一段），就已经被衰减到零了，还来不及开始下半周期（下凹）的振荡。下面可以按PM=45的情况为标准，振荡刚好为0.5T的B理论上应该大概是PM=45

9、时候的5倍，那就是0.36X 5=0.18 ,以PM=68的情况和图D1和D2为例子，实际的3 =1.45 ,说明由于其它极点的影响，振荡周期太少的话，振荡的波形 变得较难辩认，这种相互间比例计算误差变大。图10完全没有振荡时的阶跃响应Results Display WindowV/intlow Expressions InfoHelp 75Poles(Hz)Re&LIsiaginaryQfactorPole_l-1.5S438e+070.00000e+00S.OOOOOe-OlPole_2-2 :40272e+07G.OOOOOb+OO5.OOOOOe-OlPole3-1 46473

10、e08D.00000e+005.OOOOOe-OlPoleJ-1 99706e4-08O.OOOOOe+QO5.00000e-01Pole S-2. 6725364-08O.OOOOOe+QO5.00000&-01Eeros(Ha)-6.12913e+01Network function gain(magnitude)=图11完全没有振荡时的极点分布最后，当PM调为74时，由图10和图11可以看出，闭环 AC也没有了共轭复极点， 对应的阶跃响应也没有了过冲和减幅振荡。所以产生了减幅振荡和不稳定并不是等同的，在我的理解里，稳定等同于没有振荡或者衰减得很快的减幅振荡。相位裕度和稳定性并没有

11、完全的对应关系。如表 1所示，系统的稳定性是和闭环极点位置直接关连的。用系统开环的波特图曲线和相位裕度去推导闭环的零极点分布，去分析稳定性，能有百分百确定的结果吗？这是相位裕度的一个局限的方面从表2上可以看出，对于衰减振荡，B的值越大，系统就越倾向于稳定，因为衰减因子越大，振荡衰减得越快， 而振荡频率3越高，在衰减的过程中振荡的次数就越多，就越不稳定。对于exp（bt） x sin（3 t）这个指数正弦项，假设经 过5个T的衰减，振荡消失。将a变为原来的十倍，由于T变为原来的十分之一，所以衰减的时间也变为十分之一， 衰减过程中振荡的周期次数也变为原来的十分之一。假设将3增大十倍，同样的5个T时

12、间内，振荡的周期次数增加到原来的十倍。所以a和3的值对稳定性的影响是等价的，系统走向稳定，或者不稳定，取决于 a与3的比值3在产生了减幅振荡时，3和稳定性的关系还可以从另为一个方面证明。其实这个3就是s平面极点到坐标原点斜率slope绝对值的倒数。打开拉扎维书上 P458 ,图15.37二型锁相环的根轨迹。在 K增大时，极点沿着轨迹圆向左移动 slope的绝对值不断减少，同时稳定性不断增加，这个可以从对应的P457页的波特图可以看出。给大家留个思考问题，图 15.37 的上半圆的曲线上升部分， a 与 3 都在增加，稳定性为什么会增强？上半圆的曲线下降部分， a 与 3 都在 减少，稳定性为什

13、么会继续增强？ 开始感到有点意思了吧。就像相位裕度 45度和 60度一样，我认为，闭环系统存在左平面上的共轭复极点时，只要 3=0.36就接近一般概 念上的相位裕度 45度的稳定性， 3=0.8就接近一般概念上的相位裕度 60度的稳定性 ， 要达到更高的稳定性，需要更高 的 3 值。若是闭环系统不存在共轭复极点，则阶跃响应应没有过冲和减幅振荡。在存在减幅震荡时，这种方法对稳定性的描述是较线性的，例如一般概念上的相位裕度 60度比45度要稳定，但是 到底稳定多少？曲线会平滑多少？ 15度？相位裕度分析只能给出大概的稳定性变化方向，不能线性的量化这个稳定性。3 值就可以较线性的量化这个稳定性， 这

14、里指出 ，一般概念上的 PM=60（ 3 =0.8）的稳定性约是 PM=45 （3 =0.36） 的两倍。回想起拉杂维书上提到过一般 PM=45就可稳定，但考虑到工艺角等变化推荐 PM=60度，那就是说，拉杂维推 荐把稳定性增强一倍来适应这些工艺角等的变化。若在设计中觉得P M =60度太奢侈，可以尝试着选择 3=0.6等值。对比表1，可以思考下PM=67和PM=68的情况，相位裕度只差1度，但3值从1.19变化到1.45 ,和电容从1p 变化到1.2p的比例基本一致，那个能更好的反映稳定性？还有，PM=60和PM=67的阶跃波形图4和图6相差很小，相位裕度和 3值却相差很多。当你设计一个运放

15、， 把运放的相位裕度改善很多，但在时域阶跃仿真的时候却发现波形变化很小，并感到迷惑的时候，查看3 值可以省下你的眼力，再不用盯着屏幕上的波形去辨认出那些小变化。当你要在衰减振荡 3， 4次的情况下多次调节电路的稳定性， 并做出阶跃检验的时候，会体会到 3 的好处的，那就是不用每一次仿真之后都要比较那些波形。下面是总结三种仿真方法的优缺点相位裕度分析优点 ： 能反映开环系统零极点，带宽，增益变化 ，输出阻抗等对稳定性的直接影响 ，对调节电路最有帮助缺点 :和稳定性没有完全的对应关系 ，大多时候能行 闭环极点法优点 ： 揭示闭环系统稳定性的本质，和稳定性有完全的对应关系，能较线性地量化存在减幅震荡时的稳定性缺点 :不能反映开环系统零极点，带宽，增益变化等对稳定性的直接影响电路时域阶跃仿真优点 ： 最接近和最能反映真