8第八章离散控制系统

1、18-4 用z变换法解线性常系数差分方程v假设在图8-1所示的采样系统中，模拟数字转换器在离散时间对误差信号 进行采样，并将瞬时值 记为 或 ，则)(te)(kTeke)(ke2kkkeee1则 的一阶前向差分定义为ke则 的一阶后向差分定义为ke1kkkeee v差分示意图3tkk-1e(k)e(k)k+1 e(k)04二阶前向差分定义为)(2kkeekkee1kkkeee122二阶后向差分定义为2()kkee 1kkee 122kkkeee5vn阶前向差分定义为vn阶后向差分定义为knknkneee111111knknkneee2 差分方程的一般形式差分方程的一般形式 6101()(1)

2、.( )()(1) (1) .( ) ( )nmc knac kna c kb r kmb kmr kmb k r knm v1）迭代法73 差分方程解法差分方程解法 例1：单位反馈系统的开环传递函数为，输入r(t)，误差e(t)，输出y(t).( )KG ss解：系统的微分方程为：( )( )( )( )( )( )( )dc tKe tKr tKc tdtdc tKc tKr tdt即v用差分方程近似表示微分方程：8( )(1) ()dc tc kTc kTdtTv带入原式得：(1) ()()(),(0,1,2,.)c kTc kTKc kTKr kTTtkTk其中v整理后得9(1) (1

3、) ()()c kTkTc kTKTr kT注意：是一个非齐次差分方程输出的最高序列数与最低序列数之差为1，故称一阶差分方程v2）Z变换法10(2)3 (1)2 ( )1( )(0)0(1)1c kc kc kkcc解：将差分方程取z变换，得到：22( )(0)(1)3( )(0)2 ( )1zz C zz czczC zzcC zz例1：差分方程及其初始条件如下，求z变换。带入初始参数得：112( )3( )2 ( )1zz C zzzC zC zz 22(32) ( )1zzzC zz2/ 6/ 22 /3( )(1)(1)(2)112zzzzC zzzzzzzv求z反变换12112()(

4、1)( 1)( 2)(0,1,2,.)623kkkc kTk故：*( )()2 (2 )5 (3 )10 (4 ).cttTtTtTtT13(2)5 (1)6 ( )1( )c kc kc kk解：将差分方程取z变换，得到：21( )5( )6 ( )1zz C zz C zC zz例2：差分方程如下，求c(kT)。带入初始参数得：1432(1 56) ( )1zzz C zz3/60.50.5/6( )11111(1)()()2323zzzzC zzzzzzz所以：v求z反变换1511 1()0.50.5( )( )(0,1,2,.)26 3kkc kTk故：0*( )() ()kctc k

5、TtkT168-5 8-5 脉冲传递函数脉冲传递函数一、脉冲传递函数的定义脉冲传递函数定义为零状态条件下输出采样信号的z变换与输入采样信号的z变换之比 )()()(zRzCzG（8-59）图8-10 返回子目录返回子目录17系统输出的采样信号为)()()()(11zRzGZzCZtc经虚设采样开关得到的脉冲序列 反映的是连续输出 在采样时刻的瞬时值。)(tc)(tc18二、开环脉冲传递函数v1开环脉冲传递函数的推导1( )( )sjktkr tr t eT1( )()skRsR sjkT)()()(sRsGsC190)()(1kssjksRjksGT0)(1)(ksjksCTsC)()(10s

6、RjksGTks)()(sRsG0)(1)(ksjksGTsG)()()(zRzGzC（8-66）由此20v求该开环系统的脉冲传递函数 。例8-11 v系统结构如图8-10所示，其中连续部分的传递函数为) 11 . 0(1)(sssG)(zG图8-10 21解：v连续部分的脉冲响应函数为 )0()1 ()(10tetgt kTekTg101)(0)()(kkzkTgzG0101kkkTzeTezzzz101)(1()1 (1010TTezzez脉冲传递函数为22或由 得)(sG1011)(sssG)(1()1 (1)(101010TTTezzezezzzzzG其脉冲响应为其脉冲响应为10( )

7、1tg te 对应采样信号的对应采样信号的Z变换为：变换为：232串联环节的脉冲传递函数（1）串联环节间无采样开关时的脉冲传递函数图8-11)()()()(2121zGGsGsGZzG（8-67）24例 8-12 v系统结构如图8-11所示，其中 v求开环脉冲传递函数。assG1)(1bssG1)(225解：bsasabsGsG111)()(2112( )( )1()()()aTbTaTbTG zGG zz eebazeze26(2)串联环节间有采样开关时的脉冲传递函数v如图8-12所示，其脉冲传递函数为各个连续环节z变换的乘积，记为图8-12 串联环节间有采样开关的开环系统1212( )(

8、)( )( )( )G zZ GsZ GsGz Gz（8-68）27例8-13 v系统结构如图8-12所示，其中v求开环脉冲传递函数。1211( ),( )GsGssasb28解：212( )( )( )()()aTbTzG zGz Gzzezev所以由于1122( )( )( )( )aTbTzGzZ GszezGzZ Gsze2128 12zGzG Gz1由例和例8-13可知，一般G （ ） （ ）（ ）。 29（3）有零阶保持器时的脉冲传递函数v开环脉冲传递函数为 )(1)(sGseZzGTs1(1)( )TsZeG ss1111( )( )111( )( )1( )TsZG sZ eG

9、 sssZG sz ZG szZG ssss图8-13 带零阶保持器的开环采样系统30例 8-14 v系统结构如图8-13所示，其中v采样周期 s求其开环脉冲传递函数。) 1()(ssKsG1T31解：v由于v所以1111)(12sssKsGs1211) 1(1 )(ezzzzzzzKzG)368. 0)(1()717. 0(368. 0)(1()21(111zzzKezzezeK32三、闭环脉冲传递函数图8-14 闭环采样系统33采样开关的输入和系统的输出 分别为)()()()()(sEsHsGsRsE)()()(sEsGsC)()()()(sEsGHERsE)()()(sEsGsC34整理

10、得 于是闭环系统的脉冲传递函数为)()(1)()(sRsGHsGsC)()(1)()(zRzGHzGzC)(1)()()()(zGHzGzRzCz35例 8-15 v闭环采样系统的结构如图8-14所示，其中v采样周期 秒，v求闭环脉冲传递函数，v若 ，求 。) 1(1)(sssG1)(sH1T)( 1)(ttr)(tc36解：v对于阶跃输入函数有)368. 0)(1(632. 0)()(zzzzGHzG368. 0737. 0632. 0)()(2zzzzRzC1)(zzzR37则输出信号的z变换为于是于是)368. 0736. 0)(1(632. 0)(22zzzzzC1234560.6321.0961.2051.1201.01