开题报告翻译

1、面元为基础的曲面造型的人砂带磨削任湘阳1，MUELLER Heinrich2，KUHLENKOETTER Bernd1（1Robotics，多特蒙德大学，多特蒙德 44227，德国）（2Informatik 七，多特蒙德，多特蒙德 44227，德国的大学）邮箱：xiangyang.ren UNI-dortmund.de收到 2006 年 4 月 10 日;修订接纳 2006 年 4 月 19 日摘要：本文中用于人砂带磨削模拟的新自由曲面建模技术提出基于 从曲面近似点集生成，并可以方便的实现离散面元的元素。一 本地过程模型利用面元表示法的优点来计算材料的去除速率和最终表面磨削误差，可以容易地进行

2、。与该系统的帮助下，化的制造过程中可能出现的问题。人程序员可以提高路径和通过可视：曲面造型，面元，皮带，磨削DOI：10.1631/jzus.2006.A1215 文献标识码：A号：TP39引言数控（NC）制造工艺的和验证技术自 20 世纪 70 年代末已开发和很多显著成就已经实现。这种技术在开发和质量具有重要的影响 。该设计 CAD 模型可以生几乎减少甚至消除对昂贵的实验测试材料。如果任何潜在的问题，如以保证质量。由于这些特点，一般情况下，数控切割过程碰撞，不当的参数或泥被发现在模拟过程中，制造过程可以进行调整， 和验证有很大的希望降低成本，提高质量和时间推向市场的缩短。技术可分为两组：分析

3、方法和近似方法。前者可准确地描述制造过程和计算材料的去除速率。但复杂性的容积公式化和费时布尔集合运算防止其广泛的应用。 相反，第二种方法近似于工件由一组离散的基本要素和过程模拟是通过修改这些代表元素。它实现了更好的性能，而不严重危害的准确性。分析方法这些方法大多是直接的实体建模方法，如建设性的立体几何（CSG）和边界表示（B_Rep）能够模拟材料的建模系统通过一系列正规化布尔的去除过程差运算减去连续的工具从工件上扫过容积。其结果是一个工件的明确的实体模型。川岛等人（1991）所使用的特殊的几何造型方法所谓 Graftree 加快这一实体建模方法，这使得准确和精确的代表性 在工件和工具的。一个

4、octtree 有助于减少光线相交的数目计算的渲染。找到另法扫描体的包络的准确表示被 Sourin 和巴斯科（1996）选择了。虽然这些方法可以从理论上模拟和验证过程准确，他们的应用程序仍然是有限的扫过容积的复杂性制定和耗时的渲染过程。 这样的一些近似的方法有被设计出来。近似方法范胡克（1986）开发的实时阴影显示适合制造模型。工件和刀具的几何形状通过 dexels 来表示另外几何更新通过在一维的布尔操作集 dexels 实现。黄和 Olive（r 1994）扩展了这一方法克服视点依赖问题，并介绍了错误评估的可能性。柯尼希和 Gröller（1998）开发了一种新方法来模拟基于非均匀

5、材料在 DEXEL 模型。此外，他们的方法有经过优化的低端图形硬件。斋藤和高桥（1991）也使用的延伸 z 缓冲方法（称为 G-缓冲区）来模拟数控机械。 Jerard 等人（1989）提出了一种完全不同的方法。该设计表面近似由一组点。工件被通过这些点和相关联它们的法线向量表示 。该矢量被缩短到超过或削弱误差量时移动他们的工具。这种方法是非常有效的错误的评价，但是不便于计算 材料去除速率。Ayasse（2003）用了一个很粗目为支撑网，其上连续矢量场是站着的，与每个矢量长度由一个的高度场决定。该程序是用实施 V 型投影和 V-的拍摄。格莱泽和 Gröller（1998）应用微分几何技术

6、有效地产生移动的工作容积铣刀。交点计算进行了一数据结构，称为-缓冲区。杨振宁与李政道（1996）还开发了适合于线切割的方法，其中切削只是做在工件的侧面。这些方法的比较可再（格莱泽和 Gröller，1998）发现。研究意义上文提到的大多数方法都是最初开发的数控铣削 工艺。但 人 的皮带磨削有其自身的特点。其去除量是很多的函数变量，包括切削参数，环境参数和材料特性，而不仅仅是在信封的刀具轮廓。它被用作整理处理与股票大致 ，这意味着工件股票和之间的差设计的对象是相当小的。与比较 铣削或车削过程中，模拟砂带磨削的要 得多。因此它是 重要的是要找到一种适当的方式来表示工件，它可以方便的模拟材

7、料去除。这种方法的目的是考虑到砂带磨削的特点并维持先前近似的优势技术。这种方法的目的是考虑到砂带磨削的特点并维持先前近似的优势技术。我们利用最新成就在基于点的渲染的面积和它合起来与离散向量的方法来开发新的自由形式砂带磨削工件的代表性模拟。 磨削误差评估可以很容易地进行这种表示形式。自由形状面元为基础的建模曲面从根本上说，所有的近似模拟技术离散工件取利用图像空间渲染。它们包括一个选定的底（支架）和一组某一种的基本元素组成。范胡克（1986）和齐藤和高桥（1991）使用选定的 xy 平面为基础，近似固体与一维的元素称为 DEXEL 或 G-缓冲液中。Jerard 等人（1989）根据其离散化过程在

8、连续光滑的表面和应用的集合与上点相关的法向量该表面以表示工件而 Ayasse（2003）只是把表面三角形网格作为支持基础。随着基于点的发展渲染技术（Levoy 和怀特迪，1985; Pfister 等人，2000; Rusinkiewicz 和 Levoy，2000; Zwicker 等，2001），但它确实使一些有意义的通过均匀和密集表示工件采样点和一些基本要素与它们相关联。表面离散化术语“面元”是一个缩写为表面元件或表面体素的体绘制和离散拓扑文学。赫尔曼（1992）中定义的面元中的取向路的（d-1）维对象。为（D= 3），这对应于一个导向单元方（素面）和与体素的思想相一致作为小立方体。 P

9、fister 等人（2000）改性的定义作为一个零维 n 元组与形状和阴影属性的局部逼近对象表面。在保持与 DEXEL 或 Gbuffer 的约定，我们把它适应我们的应用程序，并重新定义它为：一个面元是一种面向圆盘，这在当地接近的物体表面，延伸在正常方向，包括形状信息，灯罩，位移和邻居的属性。因此，该面元数据结构的设计应该包括的位置和方向，纹理信息，局部微分几何邻居和一些修改标志。其实，它看起来更像是一个 DEXEL 表示方法参数化的空间，如图 1 所示（见页 1222）。在第一步骤中生成的面元为基础的表示的光滑表面是近似表面由一组采样点。两方面决定取样时，应考虑密度。一个是磨削的错误过程。从

10、另一个角度来看，它也是曲面近似误差。因为一个点是分段常数面逼近，由此而来近似功率是线性的，这意味着给予样品皮，近似之间的平均高度 H 相对于每个坐标误差函数是为了（h）条。由此产生的问题数是平方成正比，所要求的精度。另一个方面是视觉伪影。通常表面应均匀采样，但偶尔我们要改变它，以提高渲染效果在后面的章节。通常情况下，抽样方法进行离散化对象作为几何参数的函数表面上，如曲率或轮廓。这物体空间离散通常会导致过多的或过少的原语进行渲染。 Pfister 等人（2000 ）离散对象对齐图像的空间符合预期的输出分辨率。他们采样几何模型从一个立方体的三面分为三正交的 LDI ，称为分层深度立方体（LDC）。

11、光线投射所有的路口，并生成surfels 在每个交叉点。表面的法线通过凹凸和置换贴图是波澜不惊。最不发达采样后，得到的点集有减少，以消除冗余。Mueller 等人（2003）研制的对象的体积表示使用类似的技术被称为多 DEXEL 。它包括三个正交的常规 DEXEL 量，是相当适合铣削。首次提出了表面绘制椭圆的提示图标目的由 Zwicker 等（2001） 。据微分几何形状，例如椭圆形是最佳的线性近似平滑的表面。因此它是优于三角形网格，但仍然保持了 C - 1连续性和提供更好的拓扑的灵活性。虽然该椭圆图示似乎是最好的一个对象的渲染目的的近似，它是不适合的材料去除过程这就要求工件的非常密集的采样表

12、面，以确保所要求的精度。如果的椭圆，然后在一定的我们可能会得到一些椭圆的长 UI 或六区轴。在系他们的一小部分，然后就变得非常立足该面元数据结构上过程中，切割器可联难以处理这样的情况，因为大椭圆应该下滑和重新采样。因此，我们采用密集采样点的面元数据为基础结构。最不发达的采样是容易实现，而且可以还原后生成均匀分布点。但也有一些缺点，即表面时带有高曲率变化和特征。在现阶段最自由曲面进行处理被表示为样条曲面，该装置它们可以被看作是二维域并且，在这些规则网格的顶点域可以作为点集。更电网由 u 和 v 等值线生成，更高的密度表面采样得到。由于表面地，顺利地描述，更差几何属性可以得到。在面元为基础的模型表

13、示，支持基础是近似点集的设计表面和工件的库存被表示位移沿法线方向的各点。这样的设计曲面的离散化后，下一步骤是计算的位移。既然我们已经得到的位置和 eachpoint 的方向，相应的光线形成，并用于计算与股票曲面相交。该过程很相似，光线追踪。作为精库存材料。因此产生的位移介于小多交点过程中，带研磨除去少量从一条光线和工件股票不太可能发生。否则，就需要进行特殊处理，以避免伪影的效果。虽然这是一个的过程之前的模拟中，生成速度仍是一个重要的问题，特别是大型和复杂的工件。因此，要加快计算，我们安排股票面在空间数据结构。邻里和法线有两种类型的法线向量相关联的与面元的数据结构。一个是法线方向的设计表面近似点

14、。它 也是基点的延伸方向。另一为以后正常流离失所点位移计算。前者可直接抽样设计的表面，而当获得后者对过程呈现很大的影响并有使用其他技术来产生。一的方法是通过分析局部估计它附近各点。这些本地社区通常使用构造或者欧几里德不考虑邻里或 k-近邻的连接信息。考虑表面采样方法以前通过，我们可以发现，点集由规则栅格的各顶点在 2D 参数域和该连接信息是明确的。所以正常的摄动技术，例如作为凹凸贴图或置换贴图，似乎是一个理想的选择估计的法向量位移点。 Blinn 明（ 1978）介绍了凹凸测绘作为一种技术，使表面出现粗糙或起皱。这种效果是通过扰动实现在一个表面上的表面法线，犹如一个高度场流离失所的表面的方向原

15、有的表面正常。由于凹凸贴图只改变一个对象的外观，它使某些近似。标准技术的凹凸贴图假设凹凸只是一个大头微位移和的，因此幅度高度场是可以忽略不计。由于几何形状保持不变，在轮廓一些缺点和阴影被引基面是由一个矢量函数定义 P（U，V），它定义 3D 点（X，Y，Z）的表面上。法线的基面是由 N 定义（U，V）并用 D 的位移标尺栏位（U，V）。两者的这些被定义在同一个域作为基面 P（U，V）。取消以下这些符号的点在新的流离失所表面 PN（U，V）被定义为P (u,v) = P(u,v) + D(u,v) N (u,v),(1)当然而，事情在我们的应用程序有点不同。基面是设计的 splatted 表面上

16、，而置换贴图是不是一个给定的变量。相反，它是从获得的结果射线追踪程序。这意味着，N（U，V）中方程（1）是已知的事。我们的任务是唯一确定点在新的法向量偏移表面。这个程序是所描述的相同 Blinn 明（1978）。的法线矢量与这个新的表面是通过采取它的偏导数的叉积而得。N = P2u × P2v (2)如上面提到的那样，位移的范围图 D（U，V）相比小到可以忽略整体 。所以 U DN'和诉 DN'可丢弃， 并且新的法线向量可以简化 下面的等式。入。位移 是一个方法通过定义一个偏移量来呈现表面细节（位移）从基面。它不同于凹凸 在该表面的几何形状也是修改，而不是只扰动法线。

17、这结果在一个更真实的渲染那里的流离失所几何图形可以在轮廓中可见一斑。位移 的基本思想是非常简单的。基面沿其法线扰动使用在指 移的位移值图。作为结果的新位移面是创建。多格特和 Hirche （ 2000 ）中定义这个如图 2 所示的数学框架。图 2 位移算法由于受影响地区的法向量保持在过程中发生变化，这是很重要的在为了计算邻居点扰动动态。如遇大型变形，不仅是位移贴图没有任何有效的多，也严重的视觉假象会发生。在这种情况下， 该技术描述这里不再适合和布尔运算上面元数有界的固体可以被认为是另一种（Adams 和 Dutre，2003）。夏普特征表示当使用 surfels 表示工件用锋利的特点，一些渲染

18、的问题会出现。一是走样其中大多发生文物对面没有任何补丁的边界邻近的补丁。它原来是更严重当该面元半径变大。 Zwicker 等 人（2001）所使用的表面的局部覆盖的片段实现边缘抗锯齿。Chhugani 和库玛（2003）提出了一个解决方案，这降低了在边界或轮廓上点的大小。它可能导致的表面之后的未覆盖区域或孔采样。夏普特点，通常被一些组成连接在一个非平稳的方式修补，这表示边界的正常值有明显的不连续性邻近补丁。这些功能通过面元造成严重的视力问题图 3 中的左画面显示。Chhugani 等。通过平滑缓解这个问题法线边界附近。这些法线被平均与相邻附近的边界点补丁。但它有一个致命的缺点时所采用面元表示，

19、因为它改变了扩展基准点的方向。Pauly 等人（2003）所使用的延伸介绍了表面泼洒技术在（ Zwicker 等，2001）。这个裁剪技术可以产生完美的视觉效果。但一些不正规的形状可以从削波，这是很难得出来形容我们的新面元的元素。因此，我们开发另一种泼洒技术，所谓的“边界重新取样” ，以消除这两个边缘混叠和锐利的特征表示在所示图 3。图 3 夏普特色的代表性例子这个想法是由亚当斯的工作和启发 Dutre（2003 年），谁使用裁剪和分割逼近两种固体的交线。在我们的方法，我们扫描的设计后，每面元表面离散化。如果它位于所述贴片边界，则对下一个面元的距离相同的边界曲线 L 的计算方法。根据一个用户定

20、义的分割值 e，的数目新surfels 可以计算当 n= L/ E。该这些 surfels 的中心是 C= C0+ Ie 和半径指定为 e。那些 surfels，其半径较大比边界曲线的距离也发现和半径被调整以提高渲染。人砂带磨削模拟根据上述技术，威肯现在实行的使用 SURFELS人带的模拟磨削工艺。工件由下式表示 surfels 和弹性接触轮，具有磨削安全带及固定装置的人制造单元组成多边形。预先定义的研磨路径是由接触点。在每一个接触点，接触情况是由本地化确定程序，以计算的作用力。然后实际去除分布由本地计算过程模型。材料的去除，可以模拟通过不断修改 surfels 受影响区域。以这种方式，消除了

21、产生体积不牺牲精度淘汰如果两个接触点之间的距离为足够小。所设计的工件进行研磨通常是由 B_Rep 代表，包括一些样条补丁。为了生成该面元表示，它必须被 splatted。采样的密度相关到 FEM 网格，这是决定的分辨率由用户指定的精度。越细的网格是，密度较大的表面采样率。对于每个补丁，这是一个组件的边界的特征，一重新采样过程被施加到满足显示质量的要求。那么对于一个给定股票，每个面元元素的流离失所点其计算方法是光线投射。去除计算内的自由曲面磨削过程材料去除运算是中的一个最重要的，也许也是最的方面。整个系统通过逐步推动从工件的库存中减去材料。正如上面提到的，它不能使用布尔集合运算该工具包络和工件之

22、间一样车削或铣削工艺。相反，计算应根据经验模型考虑到考虑很多影响参数。在这样的复杂的局面，线性全球磨由 HAMMANN（1998）给出的模型不适合了。特别是，当地的非受力均匀在接触区域的分布，必须考虑和其他制造参数的影响还需要进一步研究。该过程可以被划分分为三个步骤：接触情况确定，强制分布计算和清除计算。第一个介绍的几何交集研磨带与工件之间，这将被用于获得在接触区域中的第二阶段。那么其他参数包括获得最后的拆除。全过程可以表示为图 4 中所示（参见第1222） 。在应用中，工件被表示由 surfels 和股票组成流离失所者该 surfels 点。在每个接触点预先的路径，那些surfels 的流离

23、失所点位于上方的接触切面是被发现。我们选择的切平面为 X-Y 平面和项目每个受影响的面元流离失所点于该平面，以获取其 Z 值。根据需要有限元法，这些随机分布的点用于通过推断来生成规则网格网或在这些网格点插值 Z 值在没有数据存在。克里格（奥利弗和斯特，1990）是更灵活的法，并且是对于网格化几乎任何类型的数据集非常有用。同大多数数据集，克里格法与线性变差是相当有效的， 并产生最佳的总体解释。对于较大的数据集，但是，克里格可以是相当缓慢的。所以快，但不太精确的 Shepard的方法（谢泼德， 1968）采用提真效率。作用力是不容易的，因为测量 该传感器是难以安装，以获得快速变化的过程中局部高动力

24、分配高速磨削。因此，近似解是非常流行在这方面如果变形足够小。然后，它可以被视为全弹性变形和应变-应力的经典理论模型可以被应用。一旦变形信息弹性接触轮是已知的在作用力的接触面积，可按照还计算经典的应力应变关系。计算转出是一个Signorini 问题和有限元分析是一种在解决它首先不言而喻技术（百隆和萨特迈耶，2000;。Blum 等人，2003）。最后，其它工艺参数的影响应结合在一起，产生的结果这是记在过程模型磨削。局部模型不是简单地采取单数量为力或切除，但目前使用整个接触区域的当地情况值的格局。广义的局部模型 HAMMANN 的模型（HAMMANN，1998），可以表示为其中，r 是材料去除速率

25、，CA 是恒定 通过实验决定，KA 是结合常数的阻力系数，kt 为磨皮带的磨损因子，Vb 是磨削速度，Vw 为工件进料速度，LW 是在研磨区的宽度和 FA 是接触轮与部分之间的作用力。特别是，其中 m 和 n 是离散的网格在两个方向上的接触面积。在这个模型中，力 FA 或去除速率 r 不再是一个 1值参数，但是这表示整个离散矩阵在接触区域的信息。它含有较多的比全球磨削模型，是信息适用于自由曲面的磨削。插图对一个磨点这些步骤在图 5 中所示（见 1222 页）。砂带磨削模拟在规定的路径中的每个接触点都有两个属性：位置和方向。位置是笛卡尔坐标 P 在人基座X，Y，Z坐标系和是的在这一点上，本地框架

26、。虽然不同类型的人有不同的方式来表示定向，我们选择人。以保证近似精度，相邻触点的距四元数 R W，X，Y，Z为标准方法。转换时可能需要应用于各种离点应足够小。因此对于预先计划路径，一些额外的点可能需要添加。该这些点的位置可以被线性内插的在图 6a 所示。关于旋转，它是比较复杂的。因为我们知道，所有的四元数到一个超球在空间。与线性问题元数的内插（线性插值）是它 interpolatesalong 的两个四元数之间的割线但不是他们的球面距离。其结果是， 内插运动不具有平滑的速度：它可能加快在一些路段太多了。球形线性插补（slerp），如图 6b 所示，去除这个问题，通过沿圆弧线条，而不是插值的割线

27、线。虽然高阶插值可以达到 C2 的连续性，slerp 可以得到满足相对较低的计算结果成本。接触点图 6 插值。（一）直线插补的位置;方向的（B）球面线性插值Q1 和 Q2，插值之间的第 i 个点结果为：其中，=阿科斯（Q1Q2）。图 7（见 1222 页）示出的水的例子点选磨削沿的路径之一。磨削误差评估其中一个模拟的目标是帮助人程序员估计最终的零件表面质量。所以这是非常重要的，以评估磨削误差，以看看是否有任何问题，如凿或咬边发生。该错误通常被描述为差异该面元为基础的研磨面之间和设计的光滑表面。对于面元元，这意味着位移的面元之间的距离点和所设计的表面。所以这个验证程序通常被转换成计算表面近点。最

28、近点计算的用于复杂曲面的算法是基于这样的事实，即一个空间点之间的最小距离 P 和一个面 S 发生在其中一个表面点 Q 向量 PQ 是垂直于表面的切线平面。该属性的非 linearequations 一个系统，并通过使用牛顿/拉夫逊解决迭代搜索过程。在 DEXEL 模型中，所有的元件是垂直于所选择的基准平面和误差估计问题被转换成计算所述表面附近的点之间的问题该 DEXEL 点和设计曲面。它可以是通过上述方法解决，如果精心选择初始点被选中。黄和奥利弗（1994）提出了处理前的体素数据结构在所有的设计曲面的包围盒构造提供近距离足够的出发点。与 DEXEL 数据结构相比， surfelbased 表示

29、在分析一个很大的优势磨削误差。 surfels 的基点是设计图面泼洒的输出，并恰好位于该表面上，而位移点仅仅是移动沿着一定的距离方向的表面法线向量的。所有我们需要做的是计算之间的距离基准点和流离失所点，每个面元元并与误差容限相比较。如果最终长度大于上限较长（假设该公差范围为 TL ， TH ） ，然后咬边发生。否则，如果它是下面的下限，那么它导致剜。迭代过程来找到表面附近的点被省略，并且计算的时间仅正比于面元元件数（ （ n）的。由于只有那些受影响的面元一个接触点需要被更新，程序已经限制了搜索区域。所以 theefficiency 可以进一步提高。结果磨削误差评估是由几个可视化色调描绘了磨削深

30、度。色相指数为基于错误安排而对于一个给定建 1 面元的磨削误差，对应的颜色是挑来代表它。例如，在图 8b （见 1222 页）深绿域的误差范围内相对于设计的标称容差范围表面上，而外面的明亮区域代表咬边和内侧黄色表示的量的剜。图 1 参数化面元坐标系图 4 去除计算程序图 5 计算去除一个接触点。 （a）以磨削路径的接触点;那（二）方式的情况 点; （三）强制分布从接触的情况计算;（四）在接触区的最终去除分布图 7 水龙头磨。 （一）工件股票经过地面 3 磨削点; （二）工件股票整个地面打磨后的路径图 8 磨削误差评估。 （一）3 后分析点磨削; （二）整个路径分析后磨碎有两种实现方式评估：评估

31、和事后分析。磨错误评估计算之间的差异设计面与股票和动态显示。这种方法更生动的瞬间观察员。相比之下，后分析计算所有的刀具路径后，错误已被处理。这是明显地更有效。结论我们已经提出了一个面元为基础的曲面造型 技术，人的砂带磨削模拟。它结合了近期的发展 基点的建模和渲染技术，传统的离散向量去除过程可以在交互式可视化方法因此是适合于自由曲面的表示工件。有了这个建模技术，材料方法和磨削误差很容易被评估。通过引入局部打磨模型，该系统可以有效地模拟和恰恰验证了人程序。基于该结果，点。人程序员可以优化和纠正任何计划磨削路径意想不到的情况，如咬边，圆凿或点致谢特别感谢是由于张翔和马利克 Cabaravdic 的建

32、设性意见和建议。参考文献亚当斯，B.，Dutre，P.，2003。互动布尔操作上面元有界的固体。 ACM 跨。 。图，22（3）：651-656。 DOI：10.1145/882262.882320Ayasse，J.，2003 离散位移场：一个多功能表示几何的模拟计算机计算机辅助制造。博士德，多特蒙德。，大学多特蒙博林，FJ，1978。模拟皱面的。在计算机图形学第五届年会和交互技术，SIGGRAPH'78。纽约，美国， 页 286 - 292。 DOI：10.1145/800248.507101百隆，H.，萨特迈耶，2000。一种自适应有限离散的简化的 Signorini 问题。 Ca

33、lcolo。，37（2）:65-77。 DOI：10.1007/s100920070008百隆，H.，施罗德，A.，萨特迈耶，2003 年后验误差界的有限元方案的模型摩擦问题。威滕-Bommerholz。Chhugani，J.，库马尔，S.，2003 年财政预算案采样曲面设计。 2003 年学术研讨会集交互式三维图形。纽约，美国，第 131-138 页。多格特，M.，Hirche，J.，2000。自适应查看从属镶嵌置换贴图的。从ACM SIGGRAPH/ EUROGRAPHICS研讨会图形硬件。美国纽约，第 59 页 - 66。格莱泽，G.，Gröller，E.，1998。高效成交量代在数控铣削的。于：赫格隆，H.C.，Polthier，K.（主编），数学可视化。施普林格，海德堡，第 89 页 - 106。HAMMANN，G.，1998。Mlierung DES Abtragsverhaltens Elastischer Robotergefuehrter Schleifwerkzeuge。博士，斯图加特大学，德国斯图加特。赫尔曼，TG，1992。离散乔丹表面。CVGIP：图表。模型图像处理，54（6）:507-515。 DOI： 10.1016/1049-9652（92）90070-E黄翼，奥利弗，黄建忠，1994。数控