(一)分数运算中的技巧

1、第一讲分数运算中的技巧学习目标：掌握分数运算的技巧，养成速算、巧算的习惯的结构特点，灵活运用运算法则、定定律、性质和某些公式，使算式化难为易。例1计算:(1)9171(2)3925理264哈313解析:(1)先去掉小括号,一3.1abc=a(b+c),使4和8-相加凑整，再运用减法运算的性质:44使运算过程简便。(2)根据乘法的交换律和结合律,1,339可以写成一,C2613,4-3可以写成13326八,然413后运用乘法分配律使计算简便。3714斛：(1)49(82)411411(2)39425_3。148=13(947112(=1312=1练习1579(3)4(29117)11134949

2、4949494949(5)1635517例2计算:44空3745(2)7713252642613313434=30(13252)40(2)13(41340.75537639272741分母不变的法则进行计算，但是观察这两道题的数字特点，第(1)题中的44.一，、，1,，44八1与1只相差,如果把与成(1)的4545454545解析：分数与整数相乘，可以按照分子与整数相乘的积做分子,537776差与37相乘，再运用乘法分配律就能简化运算了。44一解：丝3745=(12)45=373745=36-84537=(761)=76=535376537653761537653=5376练习2(1)5555

3、5629(2)3130包7135377例3计算：10378118解析：7g7557811811811分配律简算。51157、，一，-,-一，这样加号两边的因数中均含有因数811-,于是可用乘法11.一3解：108=10387_1111g117113=(10-8511=11=7练习3114(1)2455161(2)-79509179517一一11例4计算：731158解析：1 ._16一一把73改写成72，再用乘法分配律计算比按常规方法计算要简便的多。所以:151573158=(7216)=721615_215练习4:1(1)641713(3)4134322例5计算：3-25-37.96555解

4、析：3一2我们把注意力集中在3-和6上，因为他们的和为10.但是，只有当分别与它们相乘55的另一个因数相同时，我们才能运用乘法分配律简化运算。因此，我不难想到把37.9分成25.4(252)与12.5两部分。当出现12.5与6.4相乘时，我们又可以将这样计算就简便多了。6.4看成8X0.8,3223325-37.962555322=3-25-(25.412.5)6555=3.6X25.4+25.4X6.4+12.5X6.4=(3.6+6.4)X25.4+12.5X8X0.8=254+80=334练习5431(1)-14.71.42.1(2)71.99.92544(3)6.8X16.8+19.3

5、X3.2一、一153.例6计算：(1)(4.853.66.153-)41851八12.5(367-)3.65解析：.5183(1)题中的4.85一就是4.85；即4.8531855加153、解：一(4.853.66.153-)4185133.(4.853-3.66.153-)45513(4.8516.15)3451一(2)根据运算性质可以把(367-)3.6改写成363.657-3.65一1、解：12.5(367-)3.65=12.5(363.67.23.6)=12.5X8=100练习613(1)2.610.434(2)(0.24.574151.5(3.87537)4(3)117(231117

6、212(4)(25135)3-153一、一1一例7计算：(1)16641202006200620062007解析:，一1(1)把(1)166元分成一个41的倍数与另一个较小数相加，再利用除法性质就可以使运算简便。2006中的20062006侬6化为假分数时,20071.解：(1)1664120一1、一=(1642)4120把分子用两个数相乘的形式表示。2006(2)200620062007200620072006=2006-2007411=4一一2041=200620072006(20071)二4120练习7(1)54217(2)2000例8计算:(9279)(15)解析:92717解:279

7、1。9(97657659,11、65(一-),795(779)200720082000200020011、一八八，、一,-)这样分子分母中就有相同的因式9=13练习8(1)(1113111、/1(2)()(10351427)例9计算:200620071200620052007解析:仔细观察分子、分母中各数的特点，运用变形，达到约分的目的。到200620071解：200620052007=(20051)200712006200520072005200720071=200520072006=1练习91993199411993199219942006(4.3874.4)4.4874.3例10计算:1

8、(1)12解析:(1)(2)解:4950485011 1()2 401148503411()461111一,4495049501111()，:68682495011、()49501111111=1-223344950150495011-244616814850111111=(一244668,11、1=(250)26=25练习10(1)12233445111()682111)4850211992001199019911199119921119921993199312111(3)-10121214141611618111(4)144771019710015791113仞111TTJr*.12612

9、203042解析：511Z1191623123420411301342解:117129201130134211=1-(22J1111111=1-223344556=7练习11179111315(1)131220304256(2)61220301111124816321111641632321例12计算:64解析：11326411,这题如果先“借4”一个一，然后再还64个一，就可以很快算出结果。64到11111124816326411111/11、1=_一一一()2481632646464111111124816323264=1-1646364练习1211111(1)81632641282222

10、一一一一39278111111111111111例13计算：(1-11)(1111)(1-11)(-1-)23423452345234解析:解：（1111,B=1_，-,用字母代替算式让计算简便。41111111)(11111)(1-1)234523411=A(B1)(A1)B55A=ABAB51=-(AB)515练习13111、，111、，1111、，11678789678978(2)(12008200520062007112005200620072008)(1200520062007200520062007第二讲分数的分拆整除问题尾数余数周期问题一、分数的分拆学习目标：1 .概念：单位分数

11、：分子为1,分母是自然数(0除外)的分数叫单位分数。分数分拆：把一个分数分拆成几个分数相加的和，叫做分数的分拆。2 .解题方法与技巧(1)把单位分数分拆成单位分数相加的和。方法一：先扩分：同乘以分母的约数和。再拆分：拆成约数做分子的分数。后约分：约成最简分数。方法二：分子、分母同乘以大于分母、小于分母的2倍的自然数。(2)把真分数分拆成单位分数相加的和。把一个真分数分拆成两个单位分数相加的和，先给要分拆的分数的分子和分母同乘以分母除以分子的整数商加1的和，在给分子加上分母，要使分数大小不变，同时应减去这个数，然后再分拆并约分。(3)把假分数分拆成单位分数相加的和。方法：先把这个假分数分拆成真分

12、数，再按真分数的分拆方法去分。111例1在的括号里填入适当的自然数，使等式成立。8解析:分析一：从式子的左边往右边看，是分数的分拆；从右边往左边看，则是分数的加法，可见分数的分拆与分数的加法过程刚好相反。分数加法主要步骤是通分、合并、约分,因此分数的分拆可按先扩分，再拆分最后约分的步骤来做。方法一：8的约数有：1、2、4、8(1)1)88(12)1211838324121(2)81(14)8(14)11401011(18)1811(3)-一88(18)8989729,、11(24)2411(4)-一一88(24)86862412(5)1t_J288(28)28108810140110(6)11

13、288(48)4812812124112以上六种分拆方法，其中（1)、（4）、（6）相同,（2）和（5）相同。如果取两个约数相同时，则可得到116116共有四组解。119方法二：(1)11889889172像解法二这样的拆分方法还有。同学们，你们愿意继续研究吗?练习1(1)1-4A工J21一公1例2将一分拆成三个单位分数之和（任求一解）10解法一：10的约数有1、2、5、10,任取两个约数之和进行扩分，就能得到一种拆分。1010(12)110321031301153030(12)303303190145-11所以，1015解法二：任取14519010的三个约数1、2、5.1101(125)10

14、(125)11010510180140116练习(1)5116(4)120例3若A、B是自然数,求符合条件1101一的A和B的值（求出两组即可）B解析：分母10的约数有1、2、5、10.-1解：一101(21)10(21)210111011101101(52)10(52)51032103115练习3(1)12-(2)119954一一，的分子和分母同时15个分母后拆分并约分。例4在括号里填上合适的自然数。4J15解析:分析一：根据真分数分拆成两个单位分数相加的和的方法技巧，先给乘以15+4取整（即3）后加1,再给分子4加上分母，再减去解法一：444151541544151544151111分析二

15、：因为1514151541544154460,因此，在取分母的两个约数之和进行扩分时，这个和必须是15的倍数时才便于约分。4解法二：4151151(13)15(13)13154115431154153练习4(1)16(2)712二、整除问题学习目标：如果整数a除以不为零的整数b,所得的商为整数而余数为0,我们就说a能被b整除，或叫b能整除a。如果a能被b整除，那么，b叫做a的约数,数的整除性特征：a叫做b的倍数。1.能被2.能被3.能被4.能被5.能被6.能被2整除的数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、85整除的数的特征：个位上的数字是0、54837（或25）整除的数的特征：一个整数的末两

16、位能被4（或125）整除的数的特征：一个整数的末三位数能被（或9）整除的数的特征：一个整数的各位上数的和能被(或25)整除8（或125）整除3（或9）整除（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数字所表示的数与末三位之前的数字所表示的数之差（大减小）能被7（11或13）整除；一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被7（11或13）整除。练习：1.自然数1x2x3x4x5能被11整除，求这个自然数中的x.2 .五位数4D97D能被3整除，它的最末两位数字组成的7D又能被6整除。求这个五位A.o3 .证明：任意一个三位数连着写两次得到的六位数，一定能同时被7、11、13整除。

17、三、尾数余数1 .写出除213后余3的全部两位数。2 .求2X4X6X8X14X16X18X22X24X26X28X-X92X94X96X98的尾数是几？444446人3 .，当商是整数时，余数是几？100个44 .某数除以3余1,除以4余2,除以5余3,除以6余4,这个数最小是多少？5 .一个不等于1的整数，它除967、1000、2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？解析：由于967、1000、2001对整数n同余，所以它们两两之差能被这个整数n整除，可先求出它们两两之差，再求出两两之差的约数，就是这个整数。解：1000-967=332001-1000=10012001967=1034

18、(33、1001、1034)=11答：这个整数是11.【链接1】：同余定义：如果整数a、b分别除以整数n(nw0)所得的余数相同，则称整数a、b对于整数n同余，记做a三b(modrj)。例82=94(mon6【链接2：同余性质1：如果a三b(modrj),贝U(ab)=0(modn),即ab四、周期问题1 .运动会场上要插249面彩旗，按5面红旗、9面黄旗、13面绿旗的顺序轮流排列，最后一面是什么颜色的彩旗？这249面彩旗中，红、黄、绿各有多少面？2 .如下图的摆法80个三角形，白色的三角形有多少个？3.1997年元旦是星期三，那么，同年12月1日是星期几？4.学校一学期安排86节数学课，单周

19、一、三、五每天两节，双周二、四每天两节，开学第一周星期一开学典礼没上课，从星期三开始上，则最后一节数学课是星期几上的？5.有一个11位数，它每三个相邻的数字之和都是24,下图中有“”的数是多少?6.20012012005107的尾数。第三讲一元一次方程学习目标：1 .概念：含有未知数的等式，叫做方程。一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1,像这样的方程叫一元一次方程。2 .一元一次方程解法：等式基本性质。3 .解方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）两边同除以同一个数例1解方程：4（2x1）2（x1）325解析:解题时注意，去括号时，括号

20、前面是减号，则去掉括号后，括号里面的数的符号都要改变：“+”号变“”号，“”号变“+”号。移动时：移十”变”，_，变+，解：去括号，得8x42x2325移项，得8x2x2542合并，得6x24x4练习1(1)5(2x2)4x7(x2)(2)20%x16%(x10)例2解方程：4(x5)x5)3030x3025)30(x3)10(x2)1553x4解：去分母，得口430(x5(x4)6(xx2去括号，得6x2430x15010x3015x30移项，得24150303010x15x6x30x合并，得19x114x6练习2解方程：(1)2(x1)7(x1)1(2)2x110x12x1)136364_1.88x1.33x5x0.875