(完整版)数字信号处理教程程佩青课后题答案

1、第一章离散时间信号与系统2.任意序歹Ux(n)与池)线性卷积都等丁序歹U本身x(n),与油-n0)卷积x(n-m),所以(1)结果为h(n)(3)结果h(n-2)X(m)h(nf1110000y(n)0111111221113311113401111250011111(2)列表法1n(4)当ny(n)0.5当n3.已知h(n)y(n)nu(nm1)n0.5,0n2，秘过直接计算卷积和的办法，试确定解：x(n)u(n)h(n)anu(n1),0a1y(n)x(n)*h(n)当n1时y(n)nnmaam1a当n1时y(n)1maam1a4.判断巨0每个归0是否是周期性的，若是周期性的(a)x(n)

2、Acos(3n78)(b)x(n)Asin(13n31)(c)x(n)单位抽样响应为,试确定其周期:e戏)h(n)的线性移不变系统的阶跃响应。分析：序列为x(n)Acos(0n)或x(n)Asin(°n)时，不一定是周期序列, 当2/0整数，则周期为2/°；_2P 当-,(有理数P、Q为互素的整数)则周期为Q;°Q 当2/0无理数，则x(n)不是周期序列。解：(1)2/°14,周期为14(2) 2/0W，周期为6(2)2/°12,不是周期的7.(1)Tx(n)g(n)x(n)Tax1(n)bx2(n)g(n)ax(n)bx2(n)g(n)ax(

3、n)g(n)bx2(n)aTx(n)bTx2(n)所以是线性的Tx(n-m)=g(n)x(n-m)y(n-m)=g(n-m)x(n-m)两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n)y和x括号内相等，所以是因果的。(x括号内表达式满足小丁等丁y括号内表达式，系统是因果的)ly(n)|=|g(n)x(n)|<=|g(n)|k(n)|x(n)有界，只有在g(n)有界时,y(n)有界,系统才稳定，否则系统不稳定(3)Tx(n)=x(n-n0)线性，移不变,n-n0<=n即n0>=0时系统是因果的，稳定(5)线性，移变，因果，非稳定(7) 线性，移不变，非因果，稳定(8) 线性，

4、移变，非因果，稳定8.解:当n0时,h(n)0,是因果的。|h(n)|不稳定。(2)当n0时，是因果的。h(n)0,1|h(n)|012*11 12 413*2*11?8稳定。(3) 当n0时，h(n)0,是因果的。012|h(n)|303132n不稳定。(4) 当n0时，h(n)0,是非因果的。|h(n)|30313n稳定。(5) 当n0时，h(n)0,107系统是因果的。|h(n)|0.300.310.32n系统是稳定的。(6) 当n0时，h(n)0系统是非因果的。|h(n)|0.310.32n系统不稳定。(7)当n0时，h(n)0系统是非因果的|h(n)|1n系统稳7E。第二章Z变换1.

5、求以下序列的z变换，并画出零极点E(1)x(n)a|n(|a|1)1n(3)x(n)-u(n1)(4)(5) x(n)nsin(0n),n0(6) x(n)Arncos(0n)u(n)(7)分析：Zx(n)X(z)Z变换定义n、“，.一，.斗一x(n)zZ变换的收敛域是满足nn1x(n)-u(n)21x(n)-,(n1)n0为常数),0r1x(n)z,n的取值是x(n)的有值范围M的z值范围。解：(1)由Z变换的定义可知:X(z)n1n0az1n1a121az)(1az)n(2)x(n)收敛域:极点为:1一.一za,z-苓点为：z0,zan1 ,、2 u(n)解：(2)由z变换的定义可知：X(

6、z)n(1) nu(n)z。少n1.111-z2收敛域：111即：；1z2z2-，、，1极点为：z-零点为：z02(3)x(n)2nu(n1)解：（3）X(z)(1nu(n1)z(/zn2n22nzn2zn1112z111-z2收敛域:2z1即：z；极点为z-1一，、，苓点为：z021(4)x(n),(n1)n解：(4)X(z)n,dX?dznjn1n)zn1)12，|z|1zzX(z)lnzln(1z)ln1z因为X(z)的收敛域和丝次的收敛域相同,dz故X(z)的收敛域为|z|1。极点为：z0,z1零点为:(5)x(n)nsin0n,n0(0为常数)解：(5)设y(n)sin(on)u(n

7、)则有Y(z)y(n)z1_sinoz112zcos0/,|z|1而x(n)y(n)dzdzY(z)12、.z(1z)sin1(12zcos0因此，收敛域为极点为：z零点为：zej0,ze1,z1,z(极点为二阶)0,z(6)x(n)Arncos()u(n),0解：设y(n)cos(0n(cos(on)cosY(z)cos)u(n)cossin(0n)0n)u(n)sin1zcos0cos12zcos(1Z7112zcos0z1cos(0)2cos0zsinu(n)sin(on)则Y(z)的收敛域为X(z)AY(-)r则X(z)的收敛域为sinArny(n)z1而x(n)1Acoszrcos(

8、0)122""12zrcos0rz：|z|r|。(7)Zu(n)=z/z-1u(n)_1_zsin0.11212zcos0zZnu(n)=-z?，dzz1(z1)2.22dzzzZnu(n)=-z丁厂f】厂Fdz(z1)(z1)零点为z=0,土j,极点为z=13用长除法，留数定理，部分分式法求以下X(z)的2反变换(1)X(z)111-z三，zz412z*112X(z)-1X(z)1az(4)X(z)11z4.111-z481121zz1515分析：长除法:对右边序列(包括因果序列)H(z)的分子、分母都要按z的降藉排列，对左边序列(包括反因果序列)H(z)的分子、分母都要

9、按z的升藉排列。部分分式法：若X(z)用z的正藉表示，则按X(z)/z写成部分分式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求z反变换可得x(n)。留数定理法:(1)注意留数表示是Res(X(z)zn1)(zzk)X(z)znz4zzkzzk因而X(z)zn1的表达式中也要化成1/(zzk)的形式才能相抵消，不能用1/(1zkz1)来和(zzk)相抵消，这是常出现的错误。用围线内极点留数时不必取“”号(负号)，用围线外极点留数时要取“”号(负号)。(1)(i)长除法:X(z)d111z1-_1_11z2极点为1/2,而收敛域为:|z|1/2,因而知x(n)为因果序列，所以分子分母要按降备排列4

10、11121zz?24X(z)111z21iz2所以：x(n)1z4nu(n)(1)(ii)留数定理法：x(n)-2jc11Tz2-zn1dz,设c为11,-内的逆时针方向闭合曲线:2当n。时，1n1z-z21-一个单极点21riz在c内有(1)n则x(n)Resz-2由于x(n)是因果序列，故n。时，x(n)0n1所以x(n)u(n)2(iii)部分分式法：1【zX土4因为z2n1所以x(n)-u(n)(2) (i).长除法：.11由丁极点为z4，而收敛域为z4,因而x(n)是左边序列，所以要按z的升籍排列：828z112z2?1z2z428z7z7z28z228z228z2112z32X82

11、8z112z2?874nznn11874nznnn1所以x(n)8(n)7u(n1)4(2)(ii)留数定理法：11x(n)°X(z)zdz设c为z-,内的逆时针方向闭合曲线当n。时:1X(z)zn1在c外有一个单极点z-4x(n)ResX(z)zn1z41n7(-)n,(n0)4当n。时：X(z)zn1在c内有一个单极点z0.x(n)ResX(z)zn1z08,n0当n。时：Xzn一、，一可知，x(n)为a在c内无极点则：x(n)0,n0综上所述，有：x(n)8(n)7(-4)nu(n1)(iii).部分分式法：X(z)z28_7_zz(z1)4z号则X(z)c7zc78-8171

12、1zz1z_4因为z-4则x(n)是左边序列所以x(n)8(n)7(G)nu(n1)(i).长除法:因为极点为z-，由|za因果序列，因而要按1-(aaz1-)za的降籍排列:1(aa12-)zaaz1za1za(a(a【)a【)a(aa1、1)za11(a)zaa-(a1)zaa111/12(a-)zaa则X(z)(an1-)-aa所以x(n)a(n)(anu(n1)(ii).留数定理法:1nx(n)2j%X(z)z1dz,内的逆时针方向闭合曲线。当n0时:X(z)zn1在c内有z1一个单极点ax(n)ResX(z)zn1a1az【n1,a(n0)a1nz1azx(0)1ResX(z)zn1

13、z0a(a-)a当n0时：X(z)zn1一*、，z0,z-两个单极点aResX(z)z在c内有当n此时x(n)1(n)(aau(n1)(iii).部分分式法:X(z)za1azz(1az)I,11则X(z)a(a1)一1一a1顼a所以x(n)(a)11n(n)(a)u(n)aan1(n)(a1、1u(n1)aaa1竺zz4AB,1、,1、11(z3)(z5)z-3z-5X(z)5z3z8181A=5/8,B=3/8z-z-35x(n)5(1)nu(n1)3(1)nu(n)83850时x(n)0,问相应的5.对因果序列，初值定理是X(0)Z'mX(Z),如果序列为n定理是什么？讨论一个序

14、列x(n)，其z变换为:X(z)712191z24X(z)的收敛域包括单位圆，试求其x(0)值。分析：把序列分成因果序列和,将它们各自的x(0)相这道题讨论如何由双边序列Z变换X(z)来求序列初值x(0),反因果序列两部分，它们各自由X(z)求x(0)表达式是不同的加即得所求。解：当序列满足n0,x(n)0时，有:0X(z)x(n)znnx(0)x(1)zx(2)z2所以此时有：|im°X(z)x(0)若序列x(n)的Z变换为:7191zX(z)-122414(z512,2)(z1zz(z)22zzXiX2(z)3(z-)2127219zz1224X(z)的极点为zi2,z2由题意可

15、知：X(Z)的收敛域包括单位圆，则其收敛域应该为:则xi(n)为n0时为有值左边序列,x2(n)为因果序列：Xi(O)耽XiX2(0)limX2(z)zzlimz04(z2)z-)2limz3zx(0)Xi(O)X2(0)6.有一信号y(n)y(n)Xi(n3)13它与另两个信号Xi(n)和X2(n)的n1.，其中X1(n)zu(n),x2(n)X2(1)关系是：ni,-u(n),3已知Zanu(n)iiazi利用z变换性质求y(n)的z变换Y(z)。解:Xi(n)Xi(z)X2(n)ZX2(z)11-z3Xi(n3)z3Xi(z)X2(n)X2(zi)-i1_丁z3X2(i)ZzX2(z1)

16、y(n)Xi(n3)*x2(z_tz31)所以Y(z)ZXi(n3)ZX2(i)i.i_iiz25z1 i(z-)(itz)2 3ztz33z51(z-)(3z)8.若xi(n),X2(n)是因果稳定序是,求证:iXi(ej)X2(ej)d馈；1Xi(ej)d成12分析：利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解1iiXi(n)*X2(n)厂Xi(e)X2(e)edX2(ej)d)而Xi(n)*X2(n)n0Xi(0)x2(0)i2Xi(ej)X2(ej)d,再利用Xi(n)、X2(n)的傅里叶反变换，代入n=0即可得所需结果。证明:设y(n)Xi(n)X2(n)则Y(z)Xi(z)X2(z)Y(e

17、j)Xi(ej)X2(ej)Xi(ej)X2(ej)ejnd2i2y(n)Xi(n)Y(ej)ejndX2(n)Xi(ej)X2(ej)dXi(n)X2(n)|n0nx1(k)X2(nk)k0n0Xi(0)X2(0)?Xi(n)X2(n)-Xi(0)X2(0)12J2Xi(ej)ejndX2(ej)ejndXi(ej)dX2(ej)di22X1(ej)X2(ej)di1Xe)d2X2(ej)d)10.分析：利用序列傅里叶变换的定义、它的导数以及帕塞瓦公式12解：/、.2x(n)|。(a) X(ej0)x(n)ej0nx(n)6(b) X(ej)dX(ej)ej0d2 x(0)4(c) 由帕塞瓦

18、尔公式可得:X(ej)2d2x(n)228n(d) LX(ej)x(n)ejn.dX(ej)jn-一-(jn)x(n)ejdn即DTFT(jn)x(n)dX(ej)d由帕塞瓦尔公式可得:dX(ej)d2|(jn)x(n)|2n222nx(n)n2(910196425049)31613. 研究一个输入为x(n)和输出为y(n)的时域线性离散移不变系统，已知它满一10足y(n1)一y(n)y(n1)x(n)并已知系统是稳正的。试求其单位抽样3响应。分析：在Z变换域中求出H(z)Y(z)/X(z)，然后和题12(c)一样分解成部分分式分别求Z反变换。解：对给定的差分方程两边作i10zY(z)-Y(z

19、)Y扁Z变换，得:zY(z)X(z)则：H(z)110zz3(z极点为z13,z23，故为1/3<|z|<3为了使它是稳定的，收敛区域必须包括单位圆,即可求得3n1°h(n)83U(°1)3U(n)14. 研究一个满足下列差分方程的线性移不变系统，该系统不限定为因果、稳定系统。利用方程的零极点图，试求系统单位抽样响应的三种可能选择方案。,八5，y(n1)2y(n)y(n1)x(n)解：对题中给定的差分方程的两边作z变换，得：15z1Y(z)5Y(z)zY(z)X(z)H(z)因此Y(z)X(z)1(z2)(z2)其零点为z°1极点为Z12/22因为该系

20、统不限定为因果，稳定系统，所以其收敛域情况有三种，分别如左图所示。收敛域情况有：零极点图一:1一z零极点图二：21Z解答按键即可零极点图三：2注：如果想要参看具体题解，请先选择方案，然后单击(1)按12题结果(此处z1=2,z2=1/2),可知当收敛区域为z2,则系统是非稳定的，但是因果的。其单位抽样响应为:一一一1n"一一h(n)(z1z2)u(n)zz2|(2n2n)u(n)3z2”、同样按12题，当收敛区域为2,则系统是稳定的但是非因果的其单位抽样响应为：一.1n.一n.h(n)z1u(n1)z2u(n)z2zn2 n1-2u(n1)-u(n)3 2(lz2IlzlIz1I)(

21、其中Z12Z2类似，当收敛区域为12时，则统是非稳定的，乂是非因果的。其单位抽样响应为:.1n.h(n)z1u(n1)Z2Z1z2nu(n1)3(2n2n)u(1)(其中Zi2,Z2i)第三章离散傅立叶变换1.如下图，序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。55jnk(n)W；kX(n)e6n0j"解:X(k)1412e计算求得：X(0)X(3)6010ejn0oj3k8e66e传X9j33;XX(4)3p3;X4kj*5k10e6R4(n),x(n)x(n)6.b3;j3/3o2.设x(n)试求文(k)并作图表示(n),文(k)。解：X(k)(n)W6nk01计

22、算求得：X(0)X(3)j3k5(n)en0jWkeX0；X(4)ej八3;文(2);文(5)八3。、n1,0n4%3.设x(n),h(n)E(n2),令n)x(n)6,%n)h(n)4,0,其它n试求%nh%n)的周期卷积并作图。解：在一个周期内的计算值y(n)x(n)*h(n)h(nm)一一(n)(n)*h(n)h(nm)V"nh(nm)123430y(n)0011110141001111121210T1110311D011814111a0165111ri00104.分析：此题需注意周期延拓的数值，如果N比序列的点数多，则需补零；如果N比序列的点数少，则需将序列按N为周期进行周期

23、延拓，混叠相加形成新序列。先周期延拓再翻褶、移位x(-n)5为周期序列(1.0,2,3,1x(n)6为周期序列L1,3,2,0,0x(-n)6R6(n)为6点有限长序列也0,0,2,3,1x(n)3R3(n)为3点有限长序列31,3x(n-3)5R5(n)为5点有限长序列32,0,1,1x(n)7R7(n)为7点有限长序列L1,3,2,0,0,048.解：(1)x(n)*x(n)=x(m)x(nm)Vmi_x(nn)5F5(n)n10213f(n)0131205101312132201311031201311431201104mx(m)x(nm)R(n)055(2)x(n)x(n)=(3) (

24、3)x(n)x(n)与线性卷积结果相同，后面补一个零n1,0n3/、1,10.x(n),y(n)0,4n610n45n6，求f(n)=x(n)y(n)。5n66解：f(n)=x(n)y(n)=x(m)y(nm)7R7(n)m0VLy(nm)n1234000f(n)0-111-1-1-1-101-1-1111r-1r-1-14.2-1-1-111-1-1-23-1-1-1-111-1-104-1-1-1-1-111-1051-1-1-1-1p-11-8一611-1-1-1-1-1-4第四章快速傅立叶变换1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需50s每次复加5s,用它来计算512点的DFTx(

25、n),问直拉计算需要多少时间，用FFT运算需要多少时间。解：解：直接计算：复乘所需时|可:T15106N2510651221.31072s复加所需时间:T20.5106N(N1)0.5106512(5121)0.130816sTT1T21.441536s用FFT计算：复乘所需时间:T15106号log2N5106暮log25120.01152s复加所需时间:T20.5106Nlog2N0.5106512log25120.002304sTT1T20.013824s3.XI2X10X13分析：注意系统函数H（z）分母的z项的系数应该化简为1。运算量：复数乘法次数（乘土1、+j不计算在内，要减去系数

26、为土1、+j的,即WJ，W'4)，即8*4-(1+2+4+8)-(1+2+4)=10复数加法次数为64次第五章数字滤波器的基本结构1.用直接I型及典范型结构实现以下系统函数一_1_2、34.2z0.8zH(z)1220.6z0.4z分母z（i1,2,，）的系数取负号，即为反馈链的系数。-a10.3,a20.2K1101k12I*b01.5xlljx2x(3jx4Jx(5«&X7k1+T15)X-12、1.52.1z0.4zH(z)1210.3z10.2z2MH(z)1nanzn1mbnzm0N1.52.1z10.4z21(0.3z10.2z2)Y(z)X(z),b20

27、.42.用级联型结构实现以下系统函数H(z)4(z岐1.4z1)(z0.5)(z20.9z0.8)试问一共能构成几种级联型网络。分析：用二阶基本节的级联来表达(某些节可能是一阶的)z1z2解：H(z)1kz2kz1kz2kzii1,0.5,210,0,(14(1z1)(11.4z1z2)20.5z1)(10.9z0.8z2)121.4,0.9,221220.8112112四）由此可得：采用二阶节实现，还考虑分子分母组合成二阶（一阶）基本节的方式,则有四种实现形式。4.用横截型结构实现以下系统函数：1 iii1iH(z)1-z16z12z1-z1z2 6分析：FIR滤波器的横截型又称横向型，也就是直接型。解：1 11一1111H(z)(1-z1)(16z1)(12z1)(1-z1)(1z1)2 61 1_1211_121(1-z2zz)(1-z6zz)(1z)2 651237121(1-zz)(zz)(1z)2681205220538451-zzz-zz3 121237.设某FIR数字滤波器的系统函数为：H(z)1一12_3-(13z15z23z35z4)试画出此滤波器的线性相位结构。分析：fir线性相位滤波器满足h(n)h(N1n),即对n(N1)/2呈现偶对称或奇对称，因而可简化结构。解：h(n)由题中所给条件