2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(word版)

1、理科数学本试卷分第I卷(选择题】和第H卷(非选择题)两局部，共150分.考试用时120分钟.第 I卷1至2页,第n卷3至5页答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上 ，答在试卷上的无效考试结束后，将本 试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利！第I卷本卷须知：1每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选凃其他答案标号2本卷共8小题，每题5分，共40分参考公式：如果事件A，B互斥，那么P(A 一 B) =P(A) P(B)棱柱的体积公式 V=Sh,其中S表示棱柱的底面面积，h表示

2、棱 柱的高如果事件A，B相互独立，那么P(AB) =P(A)P(B)球的体积公式V =上二R3.3其中R表示球的半径一选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 集合 A = x R| | x| W 2A = x R| x< 1那么 A ' B 二(A) (：,2(B) 1,2(C) 2,2(D) 2,1f3xy 6 丄0, 设变量x, y满足约束条件 xy2辽0,那么目标函数z = y-2x的最小值为“ -3 兰0,(A) - 7(B) - 4(C) 1(D) 2阅读右边的程序框图，运行相应的程序，假设输入x的值为1,贝U输出S的值为(A) 64(B) 7

3、3(C) 512(D) 585(4) 以下三个命题： 假设一个球的半径缩小到原来的丄，那么其体积缩小到原来的-;2 8 假设两组数据的平均数相等，那么它们的标准差也相等； 直线x + y + 1 = 0与圆x2 y =!相切.2其中真命题的序号是：(A)(B)(C)(D)x2 y22一(5) 双曲线 2 - 2 T(a 0,b 0)的两条渐近线与抛物线y =2px(p 0)的准线分别交于a bA, B两点，O为坐标原点假设双曲线的离心率为2, AOB的面积为3,贝U p =(A) 13(B) 2(C) 2(D) 3JI在/ABC中，ABC = ，AB 二 2, BC =3,那么 sin. BA

4、C4(B) T<10(A)而3 10(C)百(D) -5-5函数f(x) =2x|log°.5x| -1的零点个数为(A) 1(B) 2函数f (xx(1 a |x |).设关于 n2,2(D) 4A，那么实数a的取值范围是(C) 3x的不等式f (x a) ： f (x)的解集为A,假设1 _鹿“b，0 丿(A)J(C)伫H)理科数学本卷须知：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上2. 本卷共12小题,共110分.二填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.(9) a, b R, i 是虚数单位.假设(a + i)(1 + i) = bi,那么 a + bi =

5、.的二项展开式中的常数项为(11)圆的极坐标方程为Q=4cos v,圆心为C,点P的极坐标为4,-,那么 |CP = . ©(12)在平行四边形 ABCD中,AD = 1, /BAD =60 , E为CD的中点.假设AD BE =1 ,那么AB的长为.(13)如图， ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD/AC过点A做圆的切线与 DB的延长线交于点 E AD与BC交于点F.假设AB = AC, AE = 6, BD = 5,贝懺段CF的长为.(14)设 a + b = 2, b>0,那么当 a =2|a|b|取得最小值三.解答题：本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说

6、明，证明过程或演算步骤(15) (本小题总分值13分)函数 f(x)=- .2sin l2x6sin xcosx-2cos2 x 1,x R .I 4丿(I )求f(x)的最小正周期；(n )求f(x)在区间0 上的最大值和最小值.-2(16) (本小题总分值13分)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2, 3, 4;白色卡片3张，编号分 别为2, 3, 4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(I )求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率.(n )再取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望(17) (本小题

7、总分值13分)如图,四棱柱 ABCA AiBiCiDi 中，侧棱 AiA丄底面 ABCD AB/DC AB丄 AD, AD = CD= 1, AAi = AB =2, E为棱AAi的中点 (I )证明BiCi丄CE(n)求二面角Bi ce G的正弦值(川)设点M在线段GE上，且直线AM与平面ADDiAi所成角的正弦值为-,求线段AM的长.6(i8)(本小题总分值i3分)J3F,离心率为亍，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截2 2设椭圆笃爲=i(a b 0)的左焦点为 a b得的线段长为心.3(I )求椭圆的方程；(n )设A, B分别为椭圆的左右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点

8、.假设AC DB ADCB =8,求 k 的值.(19) (本小题总分值14分)3首项为的等比数列an不是递减数列,其前n项和为S(nN *),且S3 + a3, S5 + as, S4 +2a4成等差数列.(I )求数列an的通项公式；i(n )设Tn =Sn(nN *),求数列人的最大项的值与最小项的值.Sn(20) (本小题总分值i4分) 函数f (x) =x21nx.(I )求函数f(x)的单调区间；(n )证明：对任意的t>0,存在唯一的s,使t = f(s).(川)设(n )中所确定的s关于t的函数为s=g(t),证明：当t>e2时，有2 . In g(t)51 nt2

9、022勺泮通高等学校招牛全国统考试(人泮卷)数学(理工类)参考解答选抒热 木吆舟柞根本知识和械本运算.毎小逸5分.海分40分.(I) I)(2) A(3) B"(4C(5) C(6C(7) B(8) A:.爼空黑：本世勺诜根本知识和加本运算.毎小超5分，満分30分.(9) 22i(10) 15()1) 2>/3x(12) 一(B) -(4) -233三.無答懸 仁小送；要£十炳角和'门的问玄公式、 倍角的正弦与余弦公式, 加甫数的 址小正周期.小9州等尿阪知识. “卑木运tz能力.満分13分.所以3痕小胡附<-11)解：从为/(X)在区何 * «

10、;0X上是增曲数化X何 3 n8. 8 2|览减函数./= 2.疲点敌/(x)GK何。冷上的赧丈位为2迈.(16)木小世!浚仃r占典概熨及II概净汁外公式"斥件离机变蛍的分布 列'j数学期0傅从础知识.处运用槪申知识解决简单实际问題的能力.总分值13分.I?解：设“収出的4张M片中.含伽号为3的卡片为M件八則所以.取岀的4东*片中.建竹垢号为3的“片的轻丰为°7(II) 対：随机变最/的所冇可能取(ft为.2. 3. 4.C IP(g)lrP心3)仝='Cf 7PGT +咅斗X123彳-4P4a43535z1所以班机变吊X的分巾列是随机变備X的数学期塑啟=I

11、X丄+ *33x，. 4丄=口 .3535775(17)木小題匸要考茂空何两条氈线的位？2关系,二血角、住线与平面所成的你 W线 与半面垂m奉础知识.号仟用宇闾向吐解决立体几何何題的方法.考竹空何想彖能力、 运更能力和推理论证能力.总分值13分.<方法一)如图.以点.4为匪点建屯空间更角坐标系，农進意御(000). 3(0.0.2)C(l.OJ)(0.2.2)；(12小 £(OJ.O).(l)证明：耳心眩THC CE Q.阳以 BC 丄 CE(II )解：ac = (k2-1).设平面B CE的注向51 m (x. y.二) 那么处©°驭m CE 二 0.:

12、衣为m - (-3. - 2J).Y 1 - = 0消去x紂十-2八()不妨令r = 1 口:得一个法向 -x * -二=0Ill < 1). BC丄CE 乂 CC：丄RC；.可得BG丄F®C£：C故沱二山0_】)为 平ifii CEC,的一个法向尿Ze轴-讦館册!从resin 所以：血角B-CEG的正弦值为学.(III解：AE(0.1.0). 疋= (hl.I)设 £A/=/.£q；,；.) 0W2W1.仃Af二AE亠EXf - z.八IM可取AB 一 0.0. 2为半面彳&的一个法向僦.设0为£线AM与V血ADD 4所成的角那

13、么sm0 二 cos/丽砌u严坷=pppj=-乔茹"7= 解得；一 1 所以AM =、2 .E+ 2八 163方法二I证明：因为側棱CC；丄底面人B；C.QQGu平血A.B CQ.所UCC；丄B C,经 计算可紂B E =BG二氐EC. = %3 ,从而B.E：二B C； + EC 所以在厶耳EC；中QG 丄CE. ZCC . CQu 平血CC：ECCnCjEC,.所以EC丄平面CC E . ZC£c 面CC£取BC、丄CEII #«：过色作丄CE于点Gii接CG.由I . B©丄CE故CT丄f面B.CG . 得CE丄CG所以ZBg 为二面角B

14、,-CEC；的亍曲角.4 CX；E中由 CE = C E =忑CC. =2可彻C：G = 2：§.在Rl 耳0©中，Bg年,所以 sm ZBg =卑，即二而兔BCEC的正弦值为岁.(Ill)解：连gE过点财作丄ED于点H ,可即A/丄卩面ADDA ,连接AHAM ,那么AMAH为££线/(M与平面JDD.4所成的角.设 AMx.从而在 Rt A AHM , ff =AH = x.在 Rt AC,D(£ 中，C.D. =1 . ED、=4i , £/7 = V2A/7=-x 在 AYE“中,乙4EHT35。，AE = 3由 AH'

15、; = AE2 4 EH: - 2AE- £Hcosl35° x: =! +-/4-,1893整理5x2-2>/2x-6 = 0,解得x皿.所以线段的长为血.(18) 本小題主要考茂椭121的标准方程和几何性质、直线的方程、向雄的运算等堆础知识.考企用代数方法胡究冏隹曲线的性质.考査运算求解能力，以及用方程思想解决问 題的能力.总分值13分.I(1)解：设F(-c,O)，由.知a 2c.过点F且与x紬垂直的直线为x = -c, a 3代入椭圆方程冇单+解得尸士型.解得迈，又 a b彳33a；从而o = V3c=l.所以删的方程为y + Y = 1-(II解：设点 C(

16、x, ). Q(g )，田 F(-I,O)得貢线 CD 的方程为 y = (x + I),> = Jt(x + 1),曲方程组(工 V- 消去八 整理得(2 + 3F)x：+6宀+ 3"6 = 0+ = 13 2求餌可得不+兀=-,竺二0.因为川7&0)(<3.0),所以2 + 3*-*2 + 3十ACDBAD片)(、厅儿)+ (兀 + JI 儿)(、厅一勺一耳)s6-2xjX: - 2yxy2 =6-2x,x2 -2k:(x + l)(x2 +1)=6(2 + 2尸)斗召_2(斗+£)-2z W+12=6 + 2*3"由己知得64逖f = 8

17、.解斜"士运2 + 3JtJ(19) 木小題主要舟査箸左数列的槪念，等比数列的概念、通项公式、前刀项和公式， 数列的宰木性伎寺*础知识.考査分类讨论的思患，考查运算能力、分析问題和解决问 峑的能力.总分值】4分.|"1(廿#(I)解：设尊比数列“的公比为因为S、+a、 S,+aSja.成竽差数列.所 以£十aS、-5=S,+s-%-a"即仏二吋 于是扌二也-丄又碍不是递减数 a, 4列所以厂-' 故零比数列a.的通项公式为a.=-x_ 2 2(II)解:( 1 )紂S.=lI»"为命数.1 - 为偶数.片为奇数时.S.融的增大

18、而必小.所以1<S. C5,故o<sw-!-sl S.丨目2 3 6当斤为偶数时.S随幵的增人而堆大.所以3 = s.W£<i故40>S.-5,- =-=丄. S. ° S, 4 312综上对于心总有洛wsTW所以数列7；故大项的值为*.姐小项的值为-右.(20) 本小黑上雯考茂换数的厳念、曲数的举点、导数的运知、利用导数研究函数的敢 调性、不等式鸽肢砒知识.考fr曲数屈想、化归思想.考査抽線概括能力、综合分析问 題和解决问JS的能力.总分值14分.(I)解：函Sif(x)的定义域为(0. + OD).fx) = 2x In x » x = .x(2 In x > 1),令 fx) = 0 .得 x = 了X(专1H1r(x)0+/(x)、极小值/当X变化时.fx) /(