不等式易错习题精讲

1、不等式易错题练习1、不等式的性质:1同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：假设ab,cd,那么acbd假设ab,cd,那么acbd,但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：假设ab0,cd0,那么abacbd假设ab0,0cd,那么一一；cd3左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：假设ab°,那么anbn或1a况,4假设ab0,ab,那么-；ab,c.11上假设ab0,ab,那么一一.如1ab21xy1,1xy3,那么3xy的取值围是答：13xy7；c13abc,且abc0那么一的取值围是答

2、：2,一a22.不等式大小比较的常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2作商常用于分数指数嘉的代数式；3分析法；4平方法；5分子或分母有理化；6利用函数的单调性；7寻找中间量或放缩法；8图象法。其中比较法作差、作商是最根本的方法。1 t1如1设a0且a1,t0,比较一logat和loga的大小2 2,1t1,c/1t1,答：当a1时，-logatloga-Ct1时取等号；当0a1时，109"loga-t1时取等号；1a24a22设a2,pa,q2,a2,试比较p,q的大小答：pq；a23比较110gx3与210gx2x0且x1的大小.八,444答：当0

3、x1或x一时，1logx3210gx2；当1x一时，1logx3210gx2；当x一时，1logx32logx23333.利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小"这17字方针。如1以下命题中正确的选项是1x23a、yx一的最小值是2B、y,:的最小值是2X、x22C、y23x4x0的最大值是24Mxd、y 2 3xx2假设x 2y 1 ,那么2x4y的最小值是x 0的最小值是2 4J3答：C；答：2应；113正数x,y满足x2y1,那么一一的最小值为答：32J2；xy4.常用不等式有：a2b2ab21JJab-一-（根据目标不等式左右的运算

4、构造选用）；,22112.222a,b,c R,a b cababbcca,当且仅当abc时，取等号；一一b糖水的浓度问题3假设ab0,m0,那么-a如：如果正数a,b满足aba b 3 ,那么ab的取值围是答：9,5、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法（比较法的步骤是：作差商后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。）._111常用的放缩技巧有：一nn1nn1112",k1Jk222如1a b c,求证：a b b c c a <2a,b,c R,求证：a2b2 b2c2 c2a2*113a, b,x, y R ,且一 一，x y,

5、求证： a b一 、，-ka4假设a, b, c是不全相等的正数，求证：lg 一 一* .7-25假设n N ,求证：n n 11 n.2,22b bc ca ；abc a b c ；x y；x a y bb b c c a lg- lg- lga lgb lgc22214n1 n；a b7a b ,求证：a ba |ba b8求证：112232III6.简单的一元高次不等式的解法:标根法：其步骤是:1分解成假设干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正;2将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回;3根据曲线显现fX的符号变化规律，写出

6、不等式的解集。2r如1解不等式x1x20。答：x|x1或x2；2不等式x 2 Jx2 2x 3 0的解集是答:3设函数f x , g x的定义域都是R,0的解集为x|1 x 2答:0的解集为，那么不等式0的解集为,12,244要使满足关于x的不等式2x 9x解集非空的每一个一一 2. 一 2 一 一x的值至少满足不等式x 4x 3 0和x 6x 8 0中的一个，那么实数 a的取值围是81.答：7,87.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为

7、负时可去分母。5如1解不等式-x2x 31答：1,12,3；2关于x的不等式ax b 0的解集为1,那么关于x的不等ax b -式0的解集为x 22,8.绝对值不等式的解法:1分段讨论法最后结果应取各段的并集3:如解不等式2 -x答：x R；2利用绝对值的定义;数形结合；如解不等式两边平方：如假设不等式 3x 23答:2,2x a对x R恒成立，那么实数 a的取值围为O答:9、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为根底，分类讨论是关键."注意解完之后要写上: 式的解集是。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但假设按未知数讨论，最后应求并集“综上，原不

8、等2如1假设 loga - x a3R ，那么a的取值围是答：a 1或02ax2解不等式ax 1x a R 答：a 0 时，x| x 0；a 0x|a 0时，1x| 一 a提醒：1解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；2不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义围的端点值。x2如关于x的不等式axb0的解集为，1，那么不等式0的解集为答：一1,2axb10含绝对值不等式的性质：2由同号1ab|a|b|a|b|1|ab|；a,b异号|ab|a|b|a|b|ab|.一2-.如设fxxx13,头数a满足xa1,求证：fxfa2a111.不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题

9、：不等式恒成立问题的常规处理方式?常应用函数方程思想和“别离变量法"转化为最值问题，也可抓住所给不等式的构造特征，利用数形结合法1)恒成立问题假设不等式fA在区间D上恒成立，那么等价于在区间min A假设不等式fB在区间D上恒成立，那么等价于在区间max如1设实数x, y满足0时，c的取值围是答:1,2不等式x假设不等式2x假设不等式5假设不等式a对一切实数x恒成立，数a的取值围2x 1对湎足m2的所有m都成立，那么1 n 1对于任意正整数 n恒成立，那么实数2mx 2m 10对0 x 1的所有实数x都成立,答：a 1；x的取值围a的取值围是答:答:m的取值围.答：m13 1一 ,Z

10、；2,i2) .能成立问题假设在区间D上存在实数x使不等式fxA成立，那么等价于在区间 D上fx maxA;假设在区间D上存在实数x使不等式fx B成立，那么等价于在区间D上的x minB.如不等式x 4a在实数集R上的解集不是空集，数a的取值围答：a 13) .恰成立问题假设不等式f xA在区间D上恰成立，那么等价于不等式A的解集为假设不等式f xB在区间D上恰成立，那么等价于不等式B的解集为例题选讲:2例题1二次函数f(x)axbx(a0)满足1f(1)f(1)5,求f(3)的取值围。错解：；f(1)ab,f(1)ab,1ab22ab572又f(3)9a3b29f(3)30正解：设f(3)

11、mf(1)nf(1),那么有9a3bm(ab)n(ab),即mn9m6mn3n3f(3)6f(1)3f(1)又'11f(1)2,2f(1)5,12f(3)27剖析：在屡次应用不等式样性质的时候，假设等号不能同时成立时，会使所求围扩大，因此在解不等式围的题时务必要检查等号能否成例题2、07.2x，求f(x)x(73x)的最大值。3错解：；x2(73x)1x12x1(73x)1(-27-3x)322334354f(x)34354即f(x)的最大值为343542.正解1：f(x)x(73x)xx(79223x)3330xx73x2213722433-因此，当且仅当一x73x2正解2:用导数知

12、识解f(x)14时,9f(x)的最大值为1372243f(x)14x7一,且当314时，92c、-23x(73x)7x3x,f(x)小14、x(0,)时,9f(x)的最大值为一一，一2一0,得14x9x0149147、f(x)0；当x(一,-)时，f(x)931372243剖析：在应用均值不等式解题时，无视了均值不等式中等号成立的条件:“一正、二定、三相等"中的第三个条件，因为无论0x7中取何值，等式x2x73x都不成立。3例题3、a0且a1,关于x的不等式ax1的解集是xxx的不等式loga(x-)0的解集。x,1、c1,错解：loga(x)0x1xxx2x101-51-5x22x

13、正解：因为关于x的不等式a1的解集是xx0,所以a1,故,，1、10ga(x)x1X1x1<5或121.52原不等式的解集是11,-155(1剖析：其一、无视了所给条件的应用和对数的真数大于、无视了分式不等式正确解法。的最小值。例题4、：a、b都是正数，且ab剖析:错解：a、b都是正数,4,正解：a、b都是正数，且1,当且仅当a1bb1时,22.aa12bl-b因此解题中无视了条件a(a1b)(aab1b)的最小值为5。2,12.b12,b的最小值为)2abab1ab2中等号成立的条件是当且仅当2中等号成立的条件是当且仅当b1,从而造成错误。例题5解不等式x10x2x20.1o这与ab1

14、矛盾,0,解彳导x> 2.x 2 0.x错解一：原不等式可化为2x:原不等式的解集是x|x2.>错解二：在不等式f(x)V；g(x)>0中，按f(x)的取值情况分类,f(x)0,-或g(x)0f(x)0,.g(x)0时，原不等式等价于x2x2>0,解得>2;时，显然Jg(x)无意义，其解集为综上所述，原不等式的解集为具有相等与不相等的双重错因：错解一中，当x=-1时，原不等式也成立，漏掉了x=-1这个解.原因是忽略了不等式中“性.事实上，f(x)0,不等式f(x)Vg(x)0与或g(x)=0同解.g(x)0f(x)0,错解二中分类不全，有遗漏，应补充第三种情况g(

15、x)0.即当xl<0,且x2-x-2=0时也符合条件，即补上x=-1.故原不等式的解集为x|x>2x至1.分析一：符号是由符号">"""合成的，故不等式f(x)$g(x)>0可转化为f(x).Jg(x)>0或f(x)«g(x)=0.正解一：原不等式可化为(I)(x-1)Jx2x2>0,或(U)(x-1)4x2x0=O.x10,2(I)中，由,得x>2;(口)中，执2-x-2=0,或x1=O,x2x20.且x2-x-2有意义，得x=1,或x=2.:原不等式的解集为x>2x或1.分析二：在不等式f(x

16、)-g(x)0中，按g(x)的取值情况分类，有两种情况：f(x)0,(1)g(x)>0时，等式等价于,(2)g(x)=0时'只须f(x)有意义即可.g(x)0,正解二：分两种情况讨论.x10,(1)当x2x2>0,即x>2,或x<-1时，原不等式等价于2x2x20解彳导x>2.(2)当x2x2=0,即x=2,或x=-1时，显然有意义，是原不等式的解.综上所述.原不等式的解集是x|x>x2=-或.例题6设函数fxV?1ax,其中a0,解不等式fx1.错解：:不等式f(x)<1,vx21<1+ax.两边平方，得x2+1<(1+ax)即

17、x 6-1)x + 2a>0. a > 0,:当 a > 1时,2ax )0 ,或 q2a 12a当 0 < a < 1 时，0 9 < 7 .1 a错因：未能从条件中挖掘出隐含条件：“1 + ax >1 ",即"ax > 0",进而由a > 0可得x> 0.正解：不等式f(x) < 1,即x21 < 1 + ax由此得 1 0 1 + ax , ax > O,其中 a > 0.;原不等式等价于不等式组x2 1x 0.(1 ax)2 x(a2 1)x 2a 0,即x 0.:当0 &

18、lt; a <1时，原不等式的解集为2ax|0 & x0 2 ;1 a当al时原不等式的解集为x|x>O.小结：解不等式常见的思维误区有：1概念模糊。变形不同解.常见于解分式不等式、对数不等式、无理不等式、指数不等式、含绝对值不等式、含排列数或组合数的不等式等等2以偏概全，未分类或分类不全，对某些含有参数的不等式，未进展分类讨论，片面认为是某种情况.如例题6.3无视隐含条件，信息不能被全部挖掘出来.如例题7.例题7不等式证明的错解的成因及分析策略不等式的证明方法有很多，如:根本不等式法、比较法、综合法、分析法、反证法、判别式法、换元法、数学归纳法、放缩法、导数法、公式法(向

19、量公式、方差公式、斜率公式等卜数形结合法等等.不等式的证明过程，是常规的证明方法及构造性思维在新的领域中的移植和运用，以及局部的创新.但在实际教学活动中我们发现，学生对于不等式证明上存在着一定的思维障碍，并仍有不少学生沉醉于“题海战术”之中，阻碍着创造性思维能力的开展.一、用新教材中新增知识点证明不等式这一思考方法很不适应例1无视向量不等式等号成立条件，造成围失真向量不等式ipi总ipgi等号成立的条件为，当向量:4且:与q方向一样时“+”不等式取等号；当向量u且p与q方向相反时“，不等式取等号.例2a16,(a4)36>2.29.I1I,错解设P(a,4)(a4,6)，由|P|q|pq

20、|得I、a216,(a4)236|p|q|Pq|(a,4)(a4,6)|(4,2)|.iT725:a216(a4)236>2/5.成因分析向量不等式| P |li ipi等号成立的条件是q,且向量方向相反，而当/q时，得a 8,此时p(8,4),q(12,6)方向一样，故等号不成立，使不等式围缩小了.正解设p(a,4),q(4a,6),由|p|q|p2a36TPJr qTq| (a,4) (4 a,6) | |(4,10)|16 1002.29 .当p / q即a一时，p,q方向一样，故等号成立.5评述向量作为新教材中的另-个新增知识点，利用数量积不等式11Pqirpi1与和差不等式油/

21、qii；iiti证明不等式，有着其它方法所不能比较的优越性，在教学中应适当推广及应用.二、无视题设条件或隐含条件有些题设条件看似平淡，但在解题中就会显示出其隐蔽性，学生往往由于无视了隐含条件，或对隐含条件的挖掘只浮于外表，而未能展示其真正的面目，从而在解题过程中误入陷阱.bn1an111例4设ab0,n为偶数，证明>一.ababbn1错解)a(an bn)(an1 bn 1)(ObT n 为偶数，：(ab)n0- n n , n 1，又ab与an 1 一日b 同号，bn 1FTa成因分析 实际上，n为偶数时，a1 bn1不一定同号，这里忽略了题设条件a b0,在没有明确字母的具体值情况下

22、，要正解bn考虑分类讨论，即需分a0,b 0和a,b有一个负值的两种情况加以分类讨论n n n 1 n 1、1 1 (a b )(a b )bna b(ab)n当 a 0,b 0 时,(ab)n0,(anbn )(an 1 bn 1)>0 ,n(an n 1b )(abn 1)(ab)n>0，故bnn 1/a 1> nb a当a,b有一个负值时，不妨设a0,b 0,且 a b 0,即 a |b|nn、，n1n为偶数时，：(ab)(annn1n1、(ab)(ab)J->0，故(ab)nn 1nb ) >0，且(ab)0bn 1n an 1a 11> nb a

23、b综合可知，原不等式成立.三、分式不等式分母较复杂时，不能灵活变形而形成思维障碍证明分式不等式需要去分母，去分母的方法有很多，如轮换法、添加分母法、添加分式法、添加和积式法等等，在添加代数式时需考虑均值不等式等号成立条件，并最终利用均值不等式去掉分式或局部分母，但学生对于这一灵活的变形常常无法领悟，觉得在解题时处处均可下手，但又无从下手，从而形成分式变形障碍.证明1a3(b c)1b3(c a)13奥一c3(a b) 2例5a,b,c0,abc1,分析这是一道技巧性较强的分式不等式证明题，其分子与分母差异太大，学生往往不能注意其整体联系，而想省事处理，想一步到位地消去所有分式，从而进入了繁忙的

24、运算程序中，最后不得结果，反而觉得此题处处都是切入点，又处处陷于被动.实际上，由1abcbc11a3(bc)a3(bc)a2(bc)a211bc,11、11.,11k可添加分式k(),使得一2-k()>2,bca211bcabc,一一1由abc1时,不等式取等号得k41J1、故可考虑添加分式一（一一）来解决问题.4bc证明1a3(b c)-(4 b1)/；_J_ 1(1 3； c ab(ca) 4c a b11,11、1-()>c(ab)4abb11111111o1-+-+->(+)>/a(bc)b(ca)c(ab)2abb2.abc评述在证明分式不等式时，要看准所要消的分式构造特征与整个式子的完整性分清是"和”式还是"积”