matlab报告——用matlab研究抛体运动

1、用matlab研究抛体运动2.用matlab研究抛体运动2.1引论MATLA语言是一种集数值计算、符号运算、可视化建模、仿真和图形处理等多种功 能的高级语言。使用MATLA模拟物理现象为我们解决问题提供了一种新的方法，利用其 方便的数值计算和作图功能，可以方便的模拟一些物理过程。对于处理非线性问题，既能 进行数值求解，又能绘制有关曲线，方便实用，基于其功能强大，界面友善，语言自然， 交互性强等优点，已成为教学和科研中最根底的软件之一，利用其解决复杂的数值计算问题，可以减少工作量，节约时间，图形绘制问题，真实直观，可以加深理解，提高工作效 率将物体以一定的初速度向空中抛出，仅在重力作用下物体所作

2、的运动，它的初速度 不为零，可分为平抛运动和斜抛运动。物理上提出的“抛体运动是一种理想化的模型， 即把物体看成质点，抛出后只考虑重力作用，忽略空气阻力。抛体运动加速度恒为重力加 速度，相等的时间内速度变化量相等，并且速度变化的方向始终是竖直向下的。、实验设计思路1、理论分析一般的处理方法是将其分解为水平方向和竖直方向， 平抛运动水平方向是匀速直线运 动，竖直方向是自由落体运动，斜抛运动水平方向是匀速直线运动，竖直方向是竖直上抛 运动，在任意方向上分解有正交分解和非正交分解两种情加速度及位移等进行相应分析。 无论怎样分解，都必须把运动的独立性和独立作用原理结合进行系统分解，即将初速度、 受力情、

3、加速度及位移等进行相应分析。斜抛运动：水平方向速度1234Vx V。cos竖直方向速度vyv0sin gt水平方向位移x V0cos t1竖直方向位移 y v0cos t gt2平抛运动：水平方向速度Vx Vo竖直方向速度Vy gt水平方向位移X V0t1(8)合速度VtVxVy212 4V04g t合速度方向与水平夹角gt:tg(10)合位移s x y(11)位移方向与水平夹角tggt2Vo(12)设某一抛射体的初速度为V0，抛射角为，将其运动在X,Y轴上进行正交分解，水平方向速度 vx v0 cos(13)竖直方向VyVsingt(14)质点的坐标(x, y)是x(t)Vcos( )t(1

4、5)12y(t)V0sin t J(16)从上两式消去t，便得质点的轨迹运动方程xta n2gx tt2 V0cos(17)抛射体能到达的最大高度为H22V0si n2g(18)sin其到达最大高度所需时间为T也一g(19)空中飞行时间为t 2T2V0sing(20)抛射体的最大射程为X2V0sin 2g(21)它跟初速度V0和抛射角有关，在抛射角2不变的情况下，射程x与V。成正比，所以射程竖直方向位移Vy扌gt2随初速度的增大而增大。在初速度 V。不变的情况下，随着抛射角的增大，射程也增大,当 45度时，si n2 1，射程到达最大值，以后随着抛射角的增大，射程减小。利用MATLAB勺绘图功

5、能，可以更直观的表达上述结论。程序1程序运行结果如图1所示。图1射程与抛射角、初速度的关系对于最大飞行路径所对应的抛射角问题空气阻力忽略不计，X,Y坐标轴分别代表抛射体的射程与射高，在 x, y处，设在某一微小时段内抛射体的路径变量为 dt，其对应的水平及竖直方向的变量为dx与dy，那么 dL . dx2 dy222R 设射程为R,那么飞行路径长度 L 1(叫匕230dx2根据前面的推论，R dsin(2 )g(24)学习文档仅供参考根据运动学原理，有x (vcos )t26271 2 y 評(Vosin)t丄一x22 (V0cos )xtg从24、(25中消除t，我们可得到该运动的抛物线方程

6、： 从24中可知，为求解L,先得求出眾，因此在4式两边同时对x求导，得:xtg2 x28L()2V0gsin2 i 1 sin cos lncos29根据式:28，为求得L的最大值，将28两边同时对求导2l( ) 2Vcos g1sinIn1 cossin30(Vocos )将27代入式24，等式两边同时积分，便得到了飞行路径长度与抛射角之间的关系:令L( ) 0，可得到最大飞行路径所对应的抛射角的大小，但解此方程是比拟困难的。为 此，我们采用MATLAB勺函数运算功能来解决这一问题。程序2 程序如下，设其中的抛射初速度 V0 10叭，g 9.8%2。运行结果如图2所示。图2抛射角与飞行路径及

7、其一阶导数曲线图图2给出了飞行路径随抛射角的变化曲线 L()及飞行路径曲线的斜度L()，从图中可以得到，当 0.9855弧度时，即56.49度时，飞行路径最大，2此时 L 1.21Vo-g 31我们知道，在不考虑空气阻力的情况下，当抛射角45度时，其射程最远，但此时其飞行路径并不是最远，而是当抛射角56.49度时，其飞行路径最远，且其长度约为2L 1.21血 实际上，由于空气阻力的存在，抛射体在空中是沿导弹曲线弹头飞行时其 g重心所经过的路线飞行的，它与抛物线不同，它的升弧与降弧不对称，在重力与空气阻 力的共同影响下，弹道形成不均等的圆弧，升弧较长而直伸，降弧较短而弯曲.斜抛射出的炮弹的射程和

8、射高都没有按抛体计算得到的值那么大，路线也不是理想曲线。物体在空气中受到的阻力，与物体运动速度大小有密切联系，速度越小，越接近理想情况，当物体速度低于200米每秒时，阻力与物体速度大小的平方成正比，速度介于400至600米每秒之间时，空气阻力与速度大小的三次方成正比，在速度很大的情况下，阻力 与速度大小的高次方成正比。将物体用一定的初速度沿水平方向抛出， 不考虑空气的阻力，物体只在重力作用下所 做的运动，叫做平抛运动。竖直的重力与速度方向有夹角，做曲线运动；水平方向不受外力作用，是匀速运动， 速度为Vo；竖直方向受重力作用，没有初速度，加速度为重力加速度g,是自由体运动。即做平抛运动的物体，在

9、水平方向上由于不受力，将作匀速直线运动；在竖直方向上的物 体的初速度为0且只受到重力作用，物体做自由落体运动，加速度为go平抛运动的规律：1抛出t秒末的速度：一抛出点为坐标原点，水平方向为x轴正方向和初速度V0的方向相同， 竖直方向为y轴，正方向向下，贝水平分速度：Vx=Vo 32竖直分速度：Vy=gt 33合速度：Vt= . Vx2 Vy2 34tan =也=型35Vx Vo(2)平抛运动的物体在任意时刻t的位置坐标：水平位移：x=Vot 361竖直位移：y = gt2372合位移：s= x2 y2 38tan =丄=旦39x 2Vo2、实验步骤 (1)运用MATLA编程得到平抛速度随时间的

10、变化关系。(程序3) 依据公示32， 33， 34，(35)图3平抛运动速度随时间变化关系运用MATLAB编程到到平抛物体运动的曲线运用公式32，33，34, (35),(37),(38),39,我们可以求得物体在任意时刻的坐标并找到物体所在位置后，再用平滑曲线把这些点连起来，就得到平抛运动的轨迹。程 序4运行结果如图4所示Q Figjre No 1File Edit T oor Window HelpII U & A / / T 膚炉 Gn物林平抛远动轨迹3 I = I_ iriiii:- !-.!；:!: : : _ : :-1Q0- 4- - - - 4- - - - - - -J；I

11、；IkiF -150 i1卜亠:：:-200 一二氓图4物体平抛轨迹曲线利用matlab模拟物体斜抛运动通过该程序可以画出在任意位置以初始速度 V和抛射角度a抛出的轨迹。程序5按“ run 运行时，弹出窗口将图框中的相关数据更改为:seting 匚叵区|初嫦位置C坐标点击图框中的“ OK，在“ comma nd win dow中输出结果为:图5.物体斜抛运动曲线(4)试计算抛射角为90度的特殊抛体运动任意时刻的位置和速度一弹性小球，初始高度h=10m,向上初速度v0=15米每秒，与地面碰撞的速度衰减系数k=0.8，试计算任意时刻球的位置和速度。高度与时间的关系：d2ydt2dyg，Vdt40速

12、度与时间关系：dVdtg41对等式两边积分，有dvgdt，v Vo gt42dy vdt， y yVot1 .22gt43由此可得数学方程：第一次落地前：v %gt44y h vitgt2245Ti 3.62s46第二次落地前：%k(V1gTj47v V02gt48第三次落地前:y v2t gt 2T2V02gV03k(V02 gT2)v V03gtyV03t(49)(50)51525354第n次落地前：V0nk(Vo(n 1) gT(n 1)V Von gt555657)(58)如用手工进行计算，计算量极大，利用 MATLA编程程序6 程序运行结果如以下图。图6.抛射角为90度的特殊抛体运动

13、任意时刻的位置和速度用matlab研究定点投篮命中率问题以下图一9.0m/s。问题一：考虑球心对框心的点对点的投篮，求出手速度和出手方向的范围问题二：假设考虑球的大小和框的大小进行投篮，球入筐时可以偏离框心，求出手速度、角度及其最大偏值1U1 t 1 t t111示意图1问题一不考虑篮球和篮筐的大小，不考虑空气阻力大小的影响，从未出手时的球心P为坐标原点, x轴为水平方向，y轴为竖直方向，篮球在t=0时以出手速度v和出手角度a投出，可视为质点的斜抛运动，其运动方程为:x(t) vt cosy(t) vtsingt(59)其中g是重力加速度，由此可得球心的运动轨迹如下抛物线yxta n2gx2

14、22v cos x(60)以x=L, y=H-h代入(60)式，就得到了球心命中框心的条件ta ngL1 H h %v2v61可以看出，给定出手速度V和出手高度h,就有两个a满足条件，而61式有解的前提为:1 2g1 v2HgLh202v262可解得：2v gHh , L2H L 263于是对于一定的出手高度山使63式等号成立的V为最小的出手速度Vmin0LLA示意图2球入篮筐处的入射角度为B,可从下式得到:.64ta ndy xdx这里的导数由(60)式计算代入后得tan tan2( HL对应1，2，有h)1，,2，设 12求解程序7表1速度 高度对于不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射

15、角度最大出手角1 最小出手角对应入框角1对应入框角2注：速度单位均为问题二m/s,高度单位均为m角度单位均为CB示意图4考虑篮球和篮筐的大小,如示意图3,假设入射角太小，那么球无法入筐。由图不难看出,球心命中筐心的条件为66d sin D将 d， D =45.0cm 代入得 33.1。由此对表1进行筛选，可得下表：表2.对于不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射角度速度V高度h出手角度a入射角度 B由示意图4看出，球入筐时球心可以偏前偏后与偏前一样的最大距离 x为67d2sin在60式中，用y H h代入，可得xg2v2 cos2xta n68对求导并令x L，就有dxx LdL(v2 gL

16、tan ) gL v sin cos69用丄近似代替左边导数，即可得到出手角度的偏差与x的以下关系70gL v2 si n cosLV 2 gLtan )由和已经得到的 也可以求得相对偏差类似的，68式对v求导并令x L ,可得出手速度允许的最大偏差71gL v2 si n cos gL由70和71式v的相对偏差为2叱 tan )72编程实现见程序8计算结果表3:出手角度和出手速度最大偏差出手速度v高度h出手角度a偏差aa偏差vv相对偏差|aa/a|相对偏差|vv/v|978222 、结果分析从以上对抛体运动的分析可得出这些结论：1抛射体的射程与初速度和抛射角有关，在抛射角不变的情况下，射程随

17、初速度的 增大而增大，在抛射角不变的情况下，射程随抛射角的增大而增大，当抛射角到达四十五 度时射程到达最大值，之后射程随着抛射角的增大而减小。2、速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但随着速度的增加，高度对角度的影响变小，这种情形在1度左右；出手高度一定时，速度越大，出手角度也应越大,速度的影响在79度左右。3、出手角度和出手速度的允许偏差总的来看，允许偏差都比拟小；进一步分析可知，出手高度一定，速度越大，角度的允许 偏差越小，速度的允许偏差越大，且对角度的要求比对速度的要求严格，出手速度一定，高度越大，虽然也是高度的允许偏差越小，速度的允许偏差越大，但这时角度和速度 的要求都相对较低。

18、、程序及其说明%?序1射程与抛射角、初速度的关系x=li nspace(0,pi/2,100);g=10；v1=10;v2=15;v3=20;v4=25;y1=v1A2*si n(2*x)/g;y2=v2A2*si n(2*x)/g;y3=v3A2*si n(2*x)/g;y4=v4A2*s in( 2*x)/g; subplot(2,2,1);plot(x,y1);title( v0=10); text(pi/4,10,射程为 10); subplot(2,2,2);plot(x,y2);title( v0=15);text(pi/4,22.5,射程为 22.5);subplot(2,2,3

19、);泸生行向量发射角%重力加速度捌速度取109初速度取209初速度取259初速度为10下的射程捌速度为15下的射程9初速度为20下的射程9初速度为25下的射程%选择2*2个区的一号区9俞出初速度为10下的射程曲线 滋图形标题9在最大射程处加图形说明9选择2*2个区的二号区9俞出初速度为15下的射程曲线 滋图形标题曲最大射程处加图形说明9选择2*2个区的三号区plot(x,y3);%输出初速度为 20下的射程曲线title( v0=20 );%加图形标题text(pi/4,40, 射程为40 );%在最大射程处加图形说明subplot(2,2,4);%选择 2*2个区的四号区plot(x,y4)

20、;%输出初速度为 25下的射程曲线title( v0=25 );%加图形标题text(pi/4,62.5, 射程为 62.5 );%在最大射程处加图形说明%程序2抛射角与飞行路径及其一阶导数曲线x=(0:pi/100:pi/2);%产生行向量 xy1=(sin(x)+(cos(x).*cos(x).*log(1+sin(x)./cos(x)*100/9.8;%飞行路径长度与抛射角之间的函数关系 y2=cos(x).*(1-sin(x).*log(1+sin(x)./cos(x)*200/9.8;%飞行路径对抛射角的一阶导数的函数关系 m=(sin(pi/6)+(cos(pi/6)*cos(pi

21、/6)*log(1+sin(pi/6)/cos(pi/6)*100/9.8;%抛射角取某一特定值时飞行路径值n=cos(pi/3)*(1-sin(pi/3)*log(1+sin(pi/3)/cos(pi/3)*200/9.8;%抛射角取某一特定值时飞行路径一阶导的值%输出飞行路径长度与抛射角之间的函数表达式%设置图形保持状态% 输出飞行路径对抛射角的一阶导数的函数表达系%关闭图形保持%在指定位置添加图例说明%在指定位置添加图列说明%网格线控制plot(x,y1, hold on;plot(x,y2, hold off;text(pi/6,m, text(pi/3,n, grid;b: );k

22、);y1 );y2 );%程序3平抛速度随时间的变化关系 t=0:0.01:10;Vt=-sqrt(10A2+9.8*t.A2);plot(t,Vt);title( 物体速度随时间的变化grid%程序4平抛运动的轨迹 t=0:0.01:10;s=-sqrt(3*t).A2+(0.5*9.8*t.A2).A2); plot(t,s, r:);title( 物体平抛运动轨迹 );grid%程序5物体斜抛运动曲线 clear;clc;global location v0 alpha g;options= 初始位置坐标 , topic=seting;lines=1;def=0,0,20,45,9.8;

23、 );%产生时间的行向量%求速度 %输出速度曲线 % 图形名称%加网格线%产生时间行向量%求位移%输出位移曲线%图形名称%加网格线初始速度V0,抛射角度,重力加速度g,;h=inputdlg(options,topic,lines,def);location=eval(h1);v0=eval(h2);alpha=eval(h3);g=eval(h4);a=location(1);b=location(2);alfa=alpha*pi/180;tEn d=vO*si n(alfa)/g+(vO*si n(alfa)/gF2+2*b/gF0.5;%斜抛物体的运动时间t=linspace(0,tEn

24、d);x=v0*cos(alfa)*t+a;% 斜抛物体的水平位移y=vO*si n(alfa)*t-0.5*g*t42+b;%斜抛物体的竖直位移plot(x,y);hold on plot(x(1OO),y(1OO),o)xlabel 水平距离 /mylabel 高度 /mtitle 抛体轨迹%?序6抛射角为90度的特殊抛体运动任意时刻的位置和速度vO=15;h=10;g=-9.8;k=0.8;T=0;for t=0:0.05:20v=v0+g*(t-T);y=h+vO*(t-T)+g*(t-TF2/2;if y=0 vO=-k*v;T=t;h=O;endsubplot(1,2,1);pau

25、se(O.1);plot(1,y, or , MarkerSizetitle( 运动变化图 ); axis(O,2,O,25);subplot(2,2,2);axis(O,2O,-25,3O);grid on;plot(t,v, *r , MarkerSize xlabel( 时间 t );ylabel( 速度 v );%初速度%初始高度%重力加速度%衰减系数%落地时间% 产生时间的行向量%求速度%求高度%循环判断条件%衰减的速度%求球每次落地所用时间%将高度变零%选择结构结束%选择 1*2 中的一号区%延缓,1O, Markerface ,1,O,O);%输出求球的运动图像%图形名称%坐标控

26、制%选择 2*2 中的二号区%坐标控制%不画网格线,2);%画球的速度曲线%坐标轴说明%坐标轴说明%图形名称% 设置图形保持状态%选择2*2中的四号区%坐标控制%不加网格线,2);%画球的位置曲线%坐标轴说明%坐标轴说明%图形名称%不加网格线% 设置图形保持状态%循环结束title(速度变化趋势图)；hold on;subplot(2,2,4);axis(0,20,0,25);grid on;plot(t,y,*b，MarkerSizexlabel(时间 t);ylabel(高度 y);title(位置变化图);grid onhold onend冰序7不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射角

27、度0%对于出手速度和出手高度h=1.82.1m,由 式%计算出手角度a1,a2,由(7)式计算出入射角度b1,b2,结果见表1clear;clc;H=3.05;h=1.8:0.05:2.1;L=4.6;g=9.8;input(高度出手角1出手角2入框角1入框角2);% v=sqrt(g*(H-h+sqrt(L*L+(H-L)A2);for v=8.0:0.5:9.0;for h=1.8:0.05:2.1;%求球在出手时球心的出射角a=ata n(v.A2/(g*L).*(1+sqrt(1-2*g./v.A2.*(H-h+g*LA2./(2八2);b=ata n(v.A2/(g*L).*(1-s

28、qrt(1-2*g./v.A2.*(H-h+g*LA2./(2.*v.A2);a11=max(a,b);a21= min( a,b);a仁 180.*a11/pi;a2=180.*a21/pi;%求球入框时的入射角b11=ata n(ta n(a11)-2.*(H-h)/L);b21=ata n(ta n(a21)-2.*(H-h)/L);b1= 180.*b11/pi;b2=180.*b21/pi;R = v h a1 b1 a2 b2endend%1序8(出手角度和出手速度最大偏差)%求出手时最大偏移距离%求出手时最大偏移角D=0.45;d=0.246;H=3.05;L=4.6;g=9.8

29、;input(出手速度 高度出手角度 偏差a偏差v相对偏差a相对偏差v);for v=8.0:0.5:9 a1=atan(v.*v./(g.*L).*(1+sqrt(1-2.*g./(v.*v).*(H-h+g.*L.*L./(2.*v.*v);a=180.*a1/pi;b11=atan(tan(a1)-2.*(H-h)/L);b=180.*b11/pi;xx=D/2-d/sin(b11)/2;%xx 为 aa1=(g*L-v.*v.*sin(a1).*cos(a1).*xx./L./(v.*v-g.*L.*tan(a1);%aa 为 aa=aa1*180/pi;vv=(g.*L-v.*v.*si n(a1).*cos(a1).*xx.*v/(g*LA2);%vv为A2=v h a aa vv (abs(vv./v) (abs(aa./a)endend4. 对本课的评述、建议开设?数学实验与 Matlab ?是为让学生学习“用数学 ，加强动手能力，训练创新思 维。数学实验是一种有用的学习手段 : 通过对特点例子的计算和观察，可帮助我们直观地 理解非常抽象的数学内容，了解他的应用背景，化枯燥为有趣，激发学习数学的兴趣。数 学实验是一种有效的科研方法： 讲一堆数据可视化， 或者选择有代表性的特定实例进行观 察，从而发现和归纳有意义的规律并进行理论论