12线段的最值问题

1、12线段的最值问题问题概述由动点、折叠、旋转等产生的单线段最大值、最小值问题（线段和差的最值问题参书中“将军做马问题”“胡不归一一阿氏圆问题”） 方法原理1 .两点之间线段最短；2 .三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边;3 .垂线段最短；4 .函数的增减性与最值。方法归类一、将线段的最值问题转化为函数（一般为二次函数）的最值问题题型特征：可将待求线段的长表示为关于自变量的函数，须注意自变量的取值范围。【小结】1.平面直角坐标系中线段最值常转化为函数最值；2.自变量的取值范围会决定因变量取值范围，因而必须先确定自变量范围。、依据“垂线段最短”求线段的最值题型特征：线段的长度即为（或可转

2、化为）直线外一点到直线上任意一点的距离。典型例题1:如图，在 RtABC中，/ A=90° , AB = 3, AC= 4, P为边BC上一动点，PE LAB于E, PE±AC于F,则EF的最小值【小结】1.P点为主动点，E、F为从动点（随P点动），整 是解决这一系列问题的共同思路。2.类似于二元一次方程组的“消元法”，将双动点问题转化为单动点问题，往典型例题2:如图，边长为6的等边三角形 ABC中，E是对称轴AD上的一个动点,接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF.则在点E 过程中，DF的最小值是 变式练习1:如图所示，在菱形 ABCD中，/

3、 A= 60° , AB=2, E, F两点分别从 A, B两点同时出发，以相A. 1B.叵C. T；D同的速度分别向终点 B, C移动，连接EF,在移动的过程中，EF的最小值为（）变式练习2:.如图，。是以原点为圆心,为半径的圆，点 P是直线y=-x+6上的一点，过点 P作。的一条切线PQ, Q为切点，则切线长 PQ的最小值为（）C. 6一近D. 3/2- 1三、依据三角形的三边关系求线段的最值折叠、旋转类问题常用此法，解决这类问题的关键是寻找待求线段的“关联三角形”，“关联三角形”的另外两条边尽可能长度已知（或可求），再利用三角形的三边关系求解，线段取得最值时，“关联三角形”不复

4、存在（三顶点共线）。典型例题：如图，在边长为2的菱形ABCD中，/A=60° , M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将4 AMN沿MN所在直线翻折得到 A' MN,连接A' C,则A' C长度的最小值是 【小结】1.变化类问题“在变化中寻不变”，寻求变量与不变量的关系，此题中，DM与A' M的长为不变量。2 .求解CM长时，构造了直角三角形，参考本书中“直角三角形的构造”3 .此题可运用下文介绍的“辅助圆”法。变式练习：如图，在 RtAABC中，/ ACB = 90° ,将 ABC绕顶点C逆时针旋车t得到 A'B'C,

5、M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接 PM .若BC=2, / BAC=30° ,则线段 PM的最大值是（）A. 4B. 3C. 2D. 1四、借助“辅助圆”求线段的最值基本模型：如图1, P为圆O内异于圆心的定点，直径 AB经过点P,则连接点P和圆上任意一点的线段中，PA最短,PB最长。证明：显然 P, PB>PA.在圆上任取异于 AB的一点 M,连接 OM, PM。在 OPM中,PM+PO>OM, / OM=OA, .PM+PO>OA,即 PM+PO>PO+PA,，PM>PA;在 OPM 中，OM+PO > PM,OM=OB

6、 , ，OB+PO>PM,即 PB >PMo由于M点的任意性，可知连接点 P和圆上任意一点的线段中，PA最短,PB最长。如图2, P为圆。外一定点，直径 BA的延长线经过点 P,则连接点P和圆上任意一点的线段中，PA最短，PB最长。证明方法与图一相同，试自行证明。借助“辅助圆”求线段的最值题型特征：不定点与两个定点连线的夹角为定值（大多为90。），根据“直径对直角”或“同弧所对的圆周角相等”可作出辅助圆。图1图2变式练习1:如图，在矩形 ABCD中，AB = 4, BC=6, E是矩形内部的一个动点，且 AEXBE,则线段CE的 最小值为.变式练习2:如图， ABC为等边三角形，A

7、B=3,若点P为4ABC内一动点，且满足/ PAB=/ACP,则线段PB长度的最小值为变式练习2图BP=3, Q是CD边上一动点，将梯形 APQD沿直B. 7C. 8D.132中考真题E、F分别为BC边和AC边上异于端点的两动点，且1 .如图， ABC 中，/ C=90° , AC=BC=4,D 为 AB 边中点,始终满足AF=CE ,则以下结论一定成立的有 （填序号）BE=CF ;DE=DF ;DEL DF;EF的最小值为 2-722 .如图，菱形 ABCD的边AB=8, /B=60° , P是AB上一点,CQ的长为（线PQ折叠，A的对应点A'.当CA'的

8、长度最小时,3 .如图，在 RtABC中，Z A=90° , AB = 6, AC=8, D为AC中点，E为AB上的动点，将 ED绕点D逆时针旋 转90°得到FD,连CF,则线段CF的最小值为 .4 .如图，E, F是正方形 ABCD的边AD上的两个动点，满足 AE=DF,连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为 4,则线段DH长度的最小值是 OM的半径为2,圆心M的坐标为（3, 4）,点P是。M上的任意一点,5.如图,PAXPB,且PA、 PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（B. 4C. 6D. 86.如图，在矩

9、形 ABCD中，AB=5, AD = 12,以BC为斜边在矩形外部作直角三角形BEC, F为CD的中点，则EF的最大值为（）A V433口 25C在A . B . C. 72427 .在 ABC中，若。为BC边的中点，则必有： AB2+AC 论，解决如下问题：如图，在矩形 DEFG中，已知DE 径的半圆上运动，则 pf2+pg2的最小值为（）A . V 10B . C. 348 .如图，/ MON = 90° ,已知 ABC 中，AC=BC=13, 点B在边ON上运动时，A随之在 OM上运动， ABCAB=10, ABC的顶点 A、B分别在边 OM、ON上，当的形状始终保持不变，在运

10、动的过程中，点C到点O的最小距离为（）A. 5B. 7C. 12D. V269 .如图，在 ABC中，AB=10, AC=8, BC=6,以边AB的中点。为圆心，作半圆与 AC相切，点P, Q分别是边BC和半圆上的动点，连接 PQ,则PQ长的最大值与最小值的和是（）B. 10C. 2V13+1D.3210 .在RtABC中，/ ACB=90° , AC = 8, BC=6,点D是以点 A为圆心4为半径的圆上一点，连接 BD ,点 M11.如图,RtABC 中，AC=2'/3, / CAB=30°第12题图，点D和点B分别在线段AC的异侧，且/ADC=30°

11、 ,连BD,则BD的最大值为A重合)，过点P作PBl,垂足12 .如图，直线l与半径为4的。相切于点A, P是。上的一个动点(不与点为B,连接PA.设PA = x, PB=y,则(x-y)的最大值是 13 .如图1:抛物线y=- x2+bx+c交x轴于点A ( - 3, 0)和点B,交y轴于点C (0, 3).(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P在抛物线上，且 SaAOP=4SBoC,求点P的坐标；(3)如图2,设点Q是线段AC上的一动点，作 DQx轴，交抛物线于点 D,求线段DQ长度的最大值.14 .如图，抛物线 y=ax2+bx经过 OAB的三个顶点，其中点 A (1,寸+，点、B (

12、3, -Q), O为坐标原点.(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；(2)若P (4, m), Q (t, n)为该抛物线上的两点，且nvm,求t的取值范围；(3)若C为线段AB上的一个动点，当点 A,点B到直线OC的距离之和最大时，求/ BOC的大小及点C的坐25.问题情境：如图1, P是。外的一点，直线 PO分别交。于点A、B,则PA是点P到。上的点的最短距(1)探究：如图2,在。上任取一点 C (不为点 A、B重合)，连接PC、OC.试证明：PAVPC.(2)直接运用：如图 3,在RtAABC中，/ ACB = 90° , AC=BC = 2,以BC为直径的半圆交 AB于D , P息谛上的一个动点，连接 AP,则AP的最小值是.(3)构造运用：如图 4,在边长为2的菱形ABCD中，/ A=60° , M是AD边的中点，N是AB边上一动点， 将AAMN沿MN所在的直线翻折得到 A' MN ,连接A' C,请求出A' B长度的最小值.解：由折叠知 A' M=AM,又M是AD的中点，可得 MA = MA' = MD ,故点A'在以AD为直径的圆上.(请 继续完成解题过程)(4)综合应