(完整word版)高数上册知识点总结

1、高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数 (y=arctanx),对数函数(y=lnx),募函数(y=x),指数函数(y = ax),三角函数(y=sinx),常数函数(y=c)2、分段函数不是初等函数。x2 x . x .3、无穷小：局阶+低阶=低阶例如：lim=hm =1x0 x x >0 xsinx4、两个重要极限：(1)im =11(2)lim 1 x 7 = e1、xlim i 1 -= e xlim f (x)g(x)经验公式：当 xt x0, f (x)t 0,g(x)T g , lim 1 + f (x) P=exT0xx0例如:1 limlim 1 -3x x = ex

2、 0x_0_3 二e5、可导必定连续，连续未必可导。例如： y=|x|连续但不可导。f (x lx) - f (x)6、导数的定乂：lixm0-鼠- =f (x).f (x) - f (x0) lim = f' x0x 兴。 x - x07、复合函数求导:L'g(x)'g,(x) dx12、xx4 % x2 x . x1例如：y = Jx - . x, y'二一r-8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出 dy/dx22x y = 1x例如：解：法,左右两边同时求导，2x+2yy'=0= y= y法(2)，左右两边同时微分，2xd

3、x+2ydy=dx y9、由参数方程所确定的函数求导：若 y - g(t),则dy =曳地=93 ,其二阶导数: 、x = h(t)dx dx/dt h'(t)d(dy/dx)d lg'(t)/h'(t) 12，d y = d dy/dx = dt = dtdx2 dx dx/dth'(t)10、微分的近似计算：f(x0+Ax) f(x0)=Ax,f'(x0)例如：计算 sin31*11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如:sin xy 二 x(x=0 是(2)第二类：振荡间断点和无穷函数可去间断点)，y=sgn(x) (x=0

4、是函数的跳跃间断点)间断点；例如：f(x)=sin1l (x=0是函数的振荡间断点)，y(x=0是函数的无穷间xx断点)12、渐近线：水平渐近线：y = lim f (x) = cx二二铅直渐近线：若，lim f(x) =o,则x=a是铅直渐近线. x_a斜渐近线:设斜渐近线为丫 = 2乂+0即求2 = 1防-fx) x-x,b = lim l-f (x) 一x-j 二二axl例如：求函数y =x2 一 1的渐近线13、驻点：令函数 y=f(x),若f(x0)=0 ,称x0是驻点。14、极值点：令函数y=f(x),给定x0的一个小邻域u(x0, 8),对于任意xC u(x0, S ),者B有f

5、(x) >f(x0)，称x0是f(x)的极小值点；否则，称 x0是f(x)的极大值点。极小值点与极大值点统 称极值点。15、拐点：连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。16、拐点的判定定理：令函数 y=f(x),若 f"(x0)=0 ,且 x<x0,f"(x)>0 ; x>x0 时，f"(x)<0 或 x<x0,f"(x)<0 ; x>x0 时,f"(x)>0 ,称点(x0, f(x0)为 f(x)的拐点。17、极值点的必要条件：令函数 y=f(x),在点x0处可导，且x0

6、是极值点，则f(x0)=0。18、改变单调性的点：f'(x0)=0, f'(x0)不存在，间断点(换句话说，极值点可能是驻点，也可能是不可导点)19、改变凹凸性的点：9(沏)=0, f''(Xo)不存在(换句话说，拐点可能是二阶导数等于零的点，也可能是二阶导数不存在的点)20、可导函数f(x)的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。21、中值定理：(1)罗尔定理：f (x)在a,b上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点J 使得f'、)= 0(2)拉格朗日中值定理：f (x)在a,b上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点七，使得f(b)-f(a

7、)=(b-a)f'()(3)积分中值定理：f (x)在区间a,b上可积，至少存在一点：,使得bf (x)dx =(b - a) f ()22、常用的等价无穷小代换:xx sinx arcsinx arctanx tanx e -1 2(. 1 x -1) ln(1 x)1 21 一 cosx x21 31 3 ._tanx - sin x x ,x -sin x x,tanx x 2623、对数求导法：例如，y=xx,解:，1 . ./， x ,lny=xlnx- y'=lnx 1= y'=x ln x 1 y24、洛必达法则：适用于“型，一CO0.00 ” 型等。当x

8、rXo, f (x) >0/二，g(x) . 0/二f'(x),g'(x)皆且 g'(x)#0 ,lim 四二 limx 陶 g(x)xx0f'(x) 例如，limg'(x)x 夕ex - sin x -1 0 . limxe - cosx0 x >02x0 x-0exsin x25、无穷大：高阶+低阶=高阶 例如,lim -J 二二(x +1 2(2x + 3 3x2 2x32x52x526、不定积分的求法(1)公式法(2)第一类换元法(凑微分法)第二类换元法：哪里复杂换哪里，常用的换元:1)三角换元:x = asin t ； Jx2 +

9、a2 ,可令 x = a tant ； 4 x2 - a2,可令 x = asect2)当有理分式函数1中分母的阶较高时，常采用倒代换x=t27、分部积分法：udv巾v - Jvdu ,选取u的规则“反对哥指三”，剩下的作V。分部积分出现循环形式的情况，例如:ex cosxdx, sec3 xdx28、有理函数的积分:3x 2例如： 3x 23x(x 1)3dx 二2(x 1) xx(x 1)1dx = 2 2x(x 1),1,dx 3 dxx 13 1 一 ，.x(x 1)2x(x 1)2 x(x 1)(x 1)2其中，前部分112 dx需要进行拆分，令x(x 1)x 1 (x 1)29、定

10、积分的定义：f (x)dx = lim % f ( i)”a，30、定积分的性质：b当 a=b 时，f f (x)dx =0 ；aba(2)当 a>b 时，J f (x)dx = J f (x)dx aba当f(x)是奇函数，f f (x)dx = 0,a A 0aa当 f(x)是偶函数，f f (x)dx = 2 ff(x)dx _a0bcb(5)可加性：f f (x)dx = f f (x)dx + J f (x)dxaacd xf(t)dt=f(x)dx a ax31、变上限积分：i(x) = fdt= ：3(x)au(x)推广： f(t)dt = f U(x)U'(x) dx ab32、定积分的计算(牛顿莱布尼茨公式)：ff(x)dx = F(b) - F(a)abb33、定积分的分部积分法：Judv = Lv? - vdu 例如：Jxlnxdxaa二二b34、反常积分：(1)无穷限的反常积分：f (x)dx = bl