(完整word版)数学分析1期末考试讲解

1、数学分析I题目讲解单项选择题（每小题2分，共14分）1、设数列Xn满足 Xn+i = 1 Xn L 且 HmXn= 2,则 2xnn,为【】A 0 B、1 C 、1 D、22tanx 八 x 0.2、已知f(x) x ,'则x= 0是f(x)的1, x 0,A第一类不连续点 B、第二类不连续点 C连续点D可去不连续点3、已知 f(x) =xsin, x0,x 0 一 ，0则f(x)在x= 0处x 0A左可导 B、右可导 C可微D不连续4、若limfX存在，下列说法一定正确的是 x, Xo【 】A f(x)在xo的任一邻域内有界B、f(x)在xo的某一邻域内无界C f(x)在x。的某一邻

2、域内有界D f(x)在x。的任一邻域内无界2、5、若f(x)在x-0处连续，并且眄卡、c,则A f(0)= 0且 f_ (0)存在B、f (0)= 0且 f (0)存在C f(0)= c且 f_ (0)存在D f(0)= c且 f+ (0)存在6、若f (x)在点xo处存在左、右导数，则f (x)在点X0处必然【】A可导B、不可导C连续D不连续7、下列叙述错误的是【】A若f(x)在点xo可导，则f(x)在点可微；B、若f(x)在点X0可导，则f(x)在点小连续；G若f(x)在点x°可导，则，"%)二 0；D、设f(x)在点xo可导，则x。是极值点当仅当 f'(xo)

3、 0.参考答案：1. B 2.C3.A4.C5.B6.C 7.D,、填空题（每小题3分，共21分）3 x1、lim 一 x'5x 6+4x3 1x彳11 一 x12、曲线y= lnx上平仃于直线y=x+ 1的切线的万5程为f(a 2h) f(a 3h)3、设 f(a)1,贝(J hm Lh，0h2 .4、曲线y - 2x e x的斜渐近线为5、函数 f (x)= x3- 9x2+ 24x- 15的极小值点 x =6、已知当x 0时ln(1 ax)与ex - 1等价，则a ;x7、 5x二 参考答案:1. 4ClZ工计算题（每小题6分，共36分）、一 11、计算lim 一n n 1 n_

4、11_72n Vn .1111、计算 lim t= HI -r=n n 1 n 22 n ，n解：设X< '+11卜由于n 1 n ，2 n V nXnl i m n 厂二,1 lim一二 1（4分）n n vn n n 1由夹逼性，lim4= 1,即原极限为1。（6分） n 2.求极限limx , 01Ixtanx解：limx 0 tanx x limxtanx x 02 .x tanx（1分）limsinx xcosx2x sinx（冽）limxsin xx 0 2xsinx2x cosx（4分）lim x , 02x cosx sin x（5分）（分）3 .已知f(u)任意

5、次可微，求y= f(lnx)的二阶微分 d2y.3.已知f(u)任意次可微，求y= f(lnx)的d2y.解：令 uTnx,则 dy= f (u)1, dx xd2y dx2d f (uydx：f(u)(2分)(3分)11f (u) F f (u) w xxf (u) f (u)f (In x) f (In x)(册)2x所以，d2y=f (lnX)2f (lnX)dx2(6 分)x24 .求方程 a cta t2所确定的函数的导数器.y = ln(1 t )dy4.求方程x arctanty = ln(1 t2)所确定的函数的导数d2xdy2dx1(3分)解:dX. _d! . k(U= 1

6、 t2 . _!_dy dy y'(t)2t2t2dt1 t2(6分)1 d2xd dx2t21 t2dy2 dy dy 2t 4t31 t2、rrCOSX5 .设 y -sinx，求 y .解：对等式两端取对数，ln y =（ cosx）lnsin x, （1分）再对上式两端分别求导，cosx ln sin xcosxsin xsin x（4分）sin x Insin x2 cos xsin x（5分）2cosx cos x所以，y = sinxsin x lnsin x（6分）sin x6 .求由方程exy=2x+ y3所确定的函数y= y（x）的微 分dy.解：在方程两端对x求导

7、，得exy（ y+ xy» 2+ 3y2y .（3 分）O - wpxy解此方程，得y = 2xvye 2o （4分） xy 2xe 3y一一2 - yexy八所以，dy = 一2dx。（6 分）xexy 3y2四、综合题（3小题，共29分）1.叙述证明题（4小题，共14分）（1）叙述limxn;A （A有限）的一N定义；（3分） n （2）叙述数列的柯西（Cauchy）收敛原理；（3分）（3）叙述f （x）在区间I内一致连续的.一定义；（3分）（4）证明f（x）= sinx在（一，）上一致连续。（5分）解：（1） limxn;A （A有限）的一 N定义：对任意 n 给定的一0,存在

8、正整数N,当n>N时，有Xn A ' O （3 分）（2）数列的柯西（Cauchy）收敛原理：数列xn收敛的充要条件是xn是一个基本数列。（3分）(3) f(x)在区间I内一致连续的 一。定义：若f(x) 在区间I内满足对任意的，> 0,存在"一()> 0, 使得对I内任意两点X1与x2,当|x1 - x2k 6时，总有 f (Xi) f (X2)| 一，则称f (x)在区间I内一致连续。 (3分)（4）证明：对任意x1, x2e R,由于f(x1) f(x2)= sinx1 sinx2oxj x2 .2 cossin2x1 x2(3 分)故对任意的A 0,

9、取，一，则对C 8 J 8 ）内任意两 点 x1 与 x2,当 x1 - x2 < 5 时，总有 f(x1)- f (x2)即f（x）在（一）上一致连续。（5分）2X2.证明：当 x 0时，x < ln(1+ x)< x. (7分)证明：(1)证明 ln(1+ x)< x.根据Lagrange中值定理，ln(1* x)= ln(1* x) ln1 =，,这里o- x xx 011(2分)由于< 1 ,所以l n (1 x <) x1(3分)(2)证明xln(1 x).2令 f(x)= x ln(1 x),则1x2f (x)= 1 x =)(2 分)当 x&g

10、t; 0 时，1 x 1 xf'x)< Q f(x)严格单调递减，由f(0)=0,知2 x f (x)< 0 x> 0,从而 x < ln(1 x)o (4 分)3.设 f (x)在区间a,b可导，且 f+'(a)> 0, f(b)> 0,f (a); f (b); A,证明:(1)存在一(a,b)使得f(1A; (5分)(2) f (x)在(a,b)内至少有两个零点。(3分)证明：(1)由 f(a)= lim+ f(x) f(a)> 0,存在I0, x a x a使当 x (a, a+ 1)时，有 f(x) f(a)> 0,此时， x af(x)> f(a); Ao 在(a"中去一点 xi ,有f(x1)>A;由 f1(b)= l i m(x ) f b( >),0 存在 x b x b，2> 0,使当x1 (b- 2,b)时，有 f(x) f(b)> 0,此 x b时，f(x), f(b)= A 在(b- 2,b)中去一点 X2,有 f(X21 Ao (3分)于是，f(xj> A>