(完整版)考研线性代数知识点全面总结,推荐文档

1、?线性代数?复习提纲第一章、行列式1.行列式的定义：用n2个元素a.组成的记号称为n阶行列式1它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和;2展开式共有n!项,其中符号正负各半;2 .行列式的计算一阶|%|=行列式,二、三阶行列式有对角线法那么；N阶n3行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积的和.方法：选取比拟简单的一行列,保保存一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开降阶特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；行列式值为0的几种情况:I行列式某行列元素全为0;n行列式某行列的对应元素相同;m行列式

2、某行列的元素对应成比例；iv奇数阶的反对称行列式.3 .概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式Mj、代数余子式为1ijMj定理：一个排列中任意两个元素对换,改变排列的奇偶性.奇排列变为标准排列的对换次数为基数,偶排列为偶数.n阶行列式也可定义：D-1taq1iaq22aqnn,t为qQqn的逆序数4 .行列式性质：1、行列式与其转置行列式相等.2、互换行列式两行或两列,行列式变号.假设有两行列相等或成比例,那么为行列式03、行列式某行列乘数k,等于k乘此行列式.行列式某行列的公因子可提到外面4、行列式某行列的元素都是两数之和,那么此行列式等于两个行列式之和.5、行列式某行列乘一个数

3、加到另一行列上,行列式不变.0.6、行列式等于他的任一行列的各元素与其对应代数余子式的乘积之和.按行、列展开法那么7、行列式某一行列与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和为D1D2,X2DD5 .克拉默法那么:假设线性方程组的系数行列式D0,那么方程有且仅有唯一解X1:假设线性方程组无解或有两个不同的解,那么系数行列式D=0.:假设齐次线性方程组的系数行列式D0,那么其没有非零解:假设齐次线性方程组有非零解,那么其系数行列式D=0ri6.r2ornrrr1abONabcdNOcd题型：Page21(例13)(adbc)n,X12X1n1X1ri2NX2X3L22X2X3LMMn1n11X2X

4、3LXn2Xnn1Xnn(n1)rn12rrri(XiXj),(两式要会计算)nij1范德蒙德行列第二章、矩阵1矩阵的根本概念(表示符号、一些特殊矩阵一一如单位矩阵、对角、对称矩阵等)；2.矩阵的运算(1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果；(2)关于乘法的几个结论：矩阵乘法一般不满足交换律(假设AB=BA,称A、B是可交换矩阵)；矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;假设A、B为同阶方阵,那么|AB|=|A|*|B|kA尸kn*|A|.只有方阵才有哥运算.(3)转置：(kA)T=kAT,ABTBtAt(4)方阵的行列式:ATA,kAkA,ABAb(5)伴随矩阵：AA*A*AAE,A的行元素是

5、A的列元素的代数余子式(6)共钝矩阵：A(aj)A+B=A+BkAkA,ABABA1B11ArB1r(7)矩阵分块法：AAsrBsrA11ATATrAT1ATr3.对称阵：方阵ATA对称阵特点:元素以对角线为对称轴对应相等.3.矩阵的秩(1)定义：非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；(2)秩的求法：一般不用定义求,而用下面结论:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵).求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩.假设P、Q可逆,那么R(PAQ)=R(A)(3)0<R(Amn)<minm,n;RATra;

6、假设人8,那么R(A)=R(B);maxR(A),R(B)<R(A,B)<R(A)+R(B);假设AB=C,R(C)<minR(A),R(B)4 .逆矩阵(1)定义：A、B为n阶方阵,假设AB=BA=I,称A可逆,B是A的逆矩阵(满足半边也成立)；(2)性质：AB1B1A1,A'-1A-1'(AB的逆矩阵,你懂的)(注意顺序)(3)可逆的条件：网于0;r(A尸n;A->I;(4)逆的求解：O伴随矩阵法A-1初等变换法(A:I)->(施行初等变换)(I：A1)(5)方阵A可逆的充要条件有：.1存在有限个初等矩阵P1,P,使AP1P2PlAE第三章、初

7、等变换与线性方程组1、初等变换：A1-B,AlkB,&A1+kjB性质：初等变换可逆.等价：假设A经初等变换成B,那么A与B等价,记作AB,等价关系具有反身性、对称性、传递性.初等矩阵：由单位阵E经过二区初等变换得到的矩阵.定理：对Amn施行一次初等行变换,相当于在A的左边乘相应的m阶初等矩阵；对Amn施行一次初等列变换,相当于在A的右边乘相应的n阶初等矩阵.等价的充要条件：R(A)=R(B)=R(A,B)mn的矩阵A、B等价存在m阶可逆矩阵P、n阶可逆矩阵Q,使得PAQ=B线性方程组解的判定定理：(1)r(A,b)#r(A)无解；r(A,b)=r(A)=n有唯一解；(3)r(A,b)

8、=r(A)<n有无穷多组解；特别地：对齐次线性方程组AX=0,(1)r(A)=n只有零解；(2)r(A)<n有非零解;再特别,假设为方阵,(1)|A|0只有零解；|A|二0有非零解5 .齐次线性方程组(1)解的情况：r(A)=n只有零解；r(A)<n有无穷多组非零解.(2)解的结构：Xc1a1c2a2Cnranr.(3)求解的方法和步骤:将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；写出对应同解方程组；移项,利用自由未知数表示所有未知数；表示出根底解系；写出通解.(4)性质：假设x1和x2是向量方程A*x=0的解,那么x12、xki也是该方程的解.齐次线性方程组的解集的最大无关组是

9、该齐次线性方程组的根底解系.假设R(Amn)r,那么n元齐次线性方程组A*x=0的解集S的秩Rsnr.6 非齐次线性方程组(1)解的情况：.有解R(A尸R(A,b).唯一解R(A尸R(A,b)=n.(3无限解R(A尸R(A,b)<n(2)解的结构：X=u+c1a1c2a2cnranr.(3)无穷多组解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同.(4)唯一解的解法：有克莱姆法那么、逆矩阵法、消元法(初等变换法).(5)假设xi、x2都是方程Axb的解,那么xi2是对应齐次方程Ax0的解x是方程Axb的解,x是Ax0的解,那么x也是Axb的解.第四章、向量组的线性相关性1.N维向量的定义(注：向

10、量实际上就是特殊的矩阵一一行矩阵和列矩阵；默认向量a为列向量).2向量的运算：(1)加减、数乘运算(与矩阵运算相(3)向量同)；长aaaav''a2a2a2(2)向量内积'B=a1b1+a2b2+-(4)向量单位化(1/|%|)%;+anbn;3 .线性组合(1)定义：假设biai2a2mam,那么称b是向量组a1,a2,an的一个线性组合,或称b可以用向量组a1,a2,an的线性表不.(2)判别方法：将向量组合成矩阵,记A=(aa2,a0)B二(ai,a2,an,B)那么：r(A)=r(B)b可以用向量组a1,a2,an线性表示.B二(bi,b2,bm),那么：B能由

11、A线性表示R(A尸R(A,B)AX=B有解R(B)<R(A).(3)求线性表示表达式的方法：矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵,那么最后一列元素就是表示的系数.注：求线性表示的系数既是求解Ax=b4 .向量组的线性相关性(1)线性相关与线性无关的定义设kiaik2a2knan0,假设k1,k2,kn不全为0,称线性相关；假设全为0,称线性无关.(2)判别方法：r(%2,n)<n,线性相关；r(%2,n尸n,线性无关.假设有n个n维向量,可用行列式判别：n阶行列式|aj|=0,线性相关-0无关)A：ai,a2,an,B：a1,a2,an,ani,假设A相关那么B一定相关,假设B相关A

12、不一定相关；假设A无关,B相关,那么向量ani必能由A线性表示,且表示式唯一.注：含零向量的向量组必定相关.5 .极大无关组与向量组的秩(i)定义：最大无关组所含向量个数称为向量组的秩(2)求法：设A=(ara2,an),将A化为阶梯阵,那么A的秩即为向量组的秩,而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组.(3)矩阵的秩等于它的行向量组的秩也等于它的列向量组的秩.注：如何证实RATARA,Pi0i.第五章、相似矩阵及二次型i、向量内积：x,yxTy.内积性质：x,yy,x,x,yy,x,xz,yy,xz,x；:当X=0时,x,x0,当X0时,x,x02、向量长度：|x|Jx,x旧一x2

13、x2性质：非负性冈0、齐次性x小卜三角不等式|xy|x|y3、正交：x,y0称x与y正交.假设x=0,那么x与任何向量都正交.正交向量组是指一组两两正交的非零向量.定理：假设m维向量a-a2,an是正交向量组,那么a1,a2,a0线性无关.正交阵：A：AnE,ATA1.性质：假设A为正交阵那么AT也是正交阵,且A1;假设A、B都正交,那么AB正交.标准正交基：设m维向量a1,a2,an是向量空间V的一个基,假设a1,a2,an两两正交,且都是单位向量,那么称a1,a2,an是V的一个标准正交基.规氾正父化：施雷特正父化过程：b1a1,b2a2一-b1,b1,b1b1,anb2,anbn1,an

14、ibnanb1b2bn1b1,b1b2,b2bn1,bn1正交变换：P为正交阵,yPx称为正交变换.有|y|ixi4、矩阵的特征值和特征向量定义：对方阵A,假设存在非零向量x和数入使Axx,那么称入是矩阵A的特征值,向量x称为矩阵A的对应于特征值入的特征向量.特征值和特征向量的求解：求出特征方程|AE|=0的根即为特征值,将特征值入代入对应齐次线性方程组(AE)x=0中求出方程组的所有非零解即为特征向量.重要结论与定理：(1)A可逆的充要条件是A的特征值不等于0;(2)A与A的转置矩阵A有相同的特征值；(3)不同特征值对应的特征向量线性无关.(4)对Ana.的特征值有：ia"i|A.

15、iii(5)假设入是A的特征值,那么k是Ak的特征值,是A的特征值.(6)1,2,m是方阵A的m个特征值,对应特征向量是P1,P2,Pm,假设i互不相等,那么Pi互不相关.5、矩阵的相似定义：同阶方阵A、B,假设有可逆阵P,P-1APB,那么A与B相似.P为把A变为B的相似变换矩阵.假设n阶矩阵A与对角阵相似,那么对角阵元素i即是A的n个特征值.假设f(分是矩阵A的特征多项式,那么f(A)=0.An与对角阵相似A有n个线性无关的特征向量.假设An的n个特征值互不相等,那么A与对角线对视.求A与对角矩阵相似的方法与步骤(求P和)：求出所有特征值；求出所有特征向量;假设所得线性无关特征向量个数与矩

16、阵阶数相同,那么A可对角化(否那么不能对角化),将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵巳依次将对应特征值构成对角阵即为.(4通过正交变换求与实对称矩阵A相似的对角阵：方法与相同,但要将所得特征向量正交化且单位化.6、二次型二次型：n元二次多项式f(Xi,X2,Xn)=ajXiyj称为二次型.假设aj=0(i#j)那么称为二交型的标准型.如果标准型的系数为1、-1或0,那么为标准型.合同：A、B为n阶矩阵,假设有可逆阵C,使BCTAC,那么A与B合同.二次型标准化：配方法和正交变换法.正交变换法步骤与上面对角化完全相同,这是由于对正交矩阵Q,Q-1=Q',即正交变换既是相似变换又是合同变换.n(3任意给定二次型fajXiyj(aja