2.1等式的性质与不等式的性质(答案版)

1、等式的性质与不等式的性质知识讲解等式的性质与不等式的性质一1 .不等关系：不等关系常用不等式来表示,2 .两个实数大小的比拟：(1) a>bOa-b=Q；(2)a=bOa-b=0；(3)a<bOa-b<0o3 .作差比拟法步骤：作差;(2)整理;判断符号;(4)下结论.4 .重要不等式：一般地,有之2",当且仅当时,等号成立.等式的性质与不等式的性质二1 .等式的性质(1)性质1如果=.,那么b=；(2)性质2如果=.,b=c,那么=c；(3)性质3如果=.,那么土c=b土c；(4)性质4如果a=b,那么ac=bcx(5)性质5如果=.,=0,那么？=,2 .不等式

2、的根本性质(1)对称性：a>bDb<a.(2)传递性：a>b,b>cEa>c.(3)可加性：a>bDa-c>b-c.(4)可乘性：a>b,c>0匚ac>bc；a>bfc<0Lac<bc.(5)加法法那么：d>b,c>da-c>b-d.(6)乘法法那么：a>b>0fc>d>onac>bd.(7)乘方法那么：>>0口/>">0(二N,2)3 .关于不等式性质的理解两个同向不等式可以相加,但不可以相减,常用的结论：(1)4>.,(2)假

3、设a>b>0,ni>0,bb+m<aa-rm同步练习一、选择题1 .给出以下命题：其中正确的命题个数是()Ua>bua2>b2；a2>d2Da>Z>；C«>!>-<1；匚A.0B.1C.2D.3解析：选A.由性质7可知,只有当>b>0时,2>/才成立,故ZO都错误；对于口,只有留神0且心.时,幺1才成立,故口错误；2 .假设实数.也c满足c幼<a,且acvO,那么以下结论中不一定成立的是()A.ab>acB.c(b-a)>QC.ac(a-c)<QD.cb2<ab2答

4、案:D.解析:由于cvbq,且4c4),所以cvOQO,所以">4C,故结论A成立；又由于A/VO,所以c(b/)>0,故结论B成立；而4-c>O,acvO,故c(a-c)vO,故结论C成立；当b=0时,必=4炉,当厚0时,有c/?2<R?2,故cb?<ab2不一定成立.应选D.当>0,辰0时,H,故错误.3 .己知>0,b>0,c>0,假设岛v竟v缶,那么有()A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a小七.cabr,口c.ab.n“a+5+co+b+c解析：由二可得

5、二8+iv工厂+iv二l+1,即一hLfh-<-.a+bb+cc-raa-tbb+cc-raa-bb-rcc+a由于>0,b>0,c>0,所以a+b>b+c>c+a由+b>b+c,可得>c.由b+c>c+,可得.于是有c<a<b.4 .有外表一样,重量不同的四个小球,它们的重量分别是a,b,c,d,己知+b=c+d,a+d>b+c,+瓦那么这四个小球由重到轻的排列顺序是A.d>b>a>cB.b>c>d>aC.d>b>c>aD.c>a>d>b解析：+b=

6、c+d,+办b+c,+d+(a+b)>b+c+(c+6(),即d>c.：b<d.又a+c<b,匚4Vb.综上可得,d>b>a>c.5 .实数x,y,z满足x+y+Z=O,xyz>0,假设T=J_+J_+4,那么()A.T>0B.T<0C.T=0D.T>0解析：由于x+y+z=0且型>0,不妨设x>0,那么y<0,z<0,那么T=J_+J_+Lxy+yz+位=y(x+z)+xz=-y?+位xyzxyzxyz由于x>0,zv0,所以xzvo.又-产：0,所以-y2+xzvo.又xyz>0,所以Tv

7、o.应选B.6 .设-那么以下不等式恒成立的是11A-广£B.C.2b<a2D.b2<a解析：由于一Ivbclva,所以31<1<a当b=0时,A,B不成立,当=0.9,.=1.1时,C不成立,选D.7 .以下不等式中成立的是A.假设a>b,那么4cfbc?B.假设.>6,那么C.假设avbvO,贝1标<./?<D.假设a>b,JJIlJa3>b3解析：/中,/=0时,ac2=be2»故A不一定成立；万中,0>a>b,可得标故B不一定成立；.中,令.=-2力=-1,那么02=4,6=2,6=1,显然2&

8、gt;.">加,故C不一定成立；由不等式的性质知D正8.假设xW-2且严1,那么M=V+)+4x-2y的值与-5的大小关系是()A.A/>-5B.M<-5C.M>-5D.M<-5解析：M-(-5)=x2+y24-4x-2y+5=(x+2)2+(y-l)2,xw_2,ywl、(x+2>0,(y1厂>0,因止匕(x+2y+(yl)2>0.故M>-5.二、填空题1 .对于实数,b,c,有以下说法：其中正确的选项是(填序号).假设a>b,那么qcvAc；假设c2./,那么匚假设avb0,那么屋>.>廿；解析：中,.的正、

9、负或是否为0未知,因而判断c与be的大小缺乏依据,故口不正确.中,由知今0,故.2>0,所以成立,故匚正确.a<bffVA,中,<匚屋>打,Uab>b2f所以次>曲>乩故正确.故填14Vob<02 .实数b>a>0,m<0,那么就?ina,无竺2(用,V填空).a-ina解析：nb>a>0,m<01Db-a>0,mb-ma=m(b-a)<o,匚mbvma.b-mb_a(b-fn)-b(a-m)_m(b-a)_b-mba-maa(a-in)a(a-in)'_a-ina故答案为V;V.3 .假设

10、2<a<5,3<b<10,那么.一2b的范围为答案：(-18,-1)解析：依题意可知-20V-2Z?v-6,由于2vav5,由不等式的性质可知-18<a-2b<-1.4 .12v60,15vb<36,那么？的取值范围为b解析：0<15</?<36=>0<-<i<,而0<I2vav60,36b15根据不等式的性质可得12*<心<晨60=：4<4,所以f的取值范围为:4<4.36b153bb3b5 .假设实数x,y满足3gxy2W8,4假设39,那么施最大值是.答案：27x2x4x3解

11、析：Ftl3<xy2<8,4<y<9,可知x>0,y>0,且於亚16<<81,得2&斤27,x3故y4的最大值是27.6 .-3<b<av-l,-2<<?v-1,那么(-b)c2的取值范围为.解析：口-3<1)<2<-1,-345V-1,-3va<-1,ba,1v-bv3,ab>0, -3+l<a-b<-l+3,BP-2<a-b<2,C0<a-b<2. -2<c<-l,1<c2<4,D0xl<(a-b)c2<2x4

12、,C0<(a-b)c2<8.三、解做题1 .假设a>b>0,cVdVO,e<0,求证：-6证实：cVdVO,c>d>0.又>?>(),Qac>bd>O.n(ac)2>(bd)2>O.两边同乘以7、鼠小),得/1、)<小1小).(ac)-(b-d)(-c)(bd)又cVO,7标(ac)z(bd)2 .2<aW5,33bviO,求一b,蓝的取值范围1£5答案：一8v一芯2.,5<b<3-解析：03<<10,a-io<-z)<-3.l,.111_1a5又2<.

13、&5,口一8<.一后2.又记V至三孑,匚庐?3 .1士一后2,且空+后4,求4-2b的取值范围.a=解得1答案：5<4a-2b<10A+b=",解析：令+.=,一b=v,那么纥啰4,10呼2.由一,u-v由于4-2b=42.=2"+2y"+v=+3y,而2少",303Vs6,所以5孕+3怯10.所以5<4a2b<10.7x=1y=74 .假设实数肛满足(T42加,/2求3m+4的取值范围-3<m-n<12x+v=3解析：令3m+4n=x(2m+3n)+y(m-n)=(2x+y)m+(3x-y)n,解得&l

14、t;3x-y=471因此3m+4n=(2m+3n)+-(m-n).7714由-1W2m+3ng2得一$W§(2m+3n)<.311由-3<m-n<1(m-n)<-,73141所以<3m+4n<一+-,5555BP-2<3m+4n<3.5.2021全国高一课时练习日常生活中,在一杯含有.克糖的b克糖水中,再参加川克糖,那么这杯糖水变甜了.请根据这一事实提炼出一道不等式,并加以证实.答案：<产,0<a<b,机>0,证实见解析bb+m解析：由题知：原来糖水的浓度为fxlOO%,b参加小克糖后的浓度为:fxlOO%,0&