2011年高考试题(全国卷文科数学)解析版

1、2021 年高考题全国卷 II 数学试题文科全解全析科目：数学试卷名称 2021 年普通高等学校招生全国统一测试全国卷 II(文科)知识点检索号新课标题目及解析1(1)设集合U1,2,3,4,M1,2,3,N2,3,4,那么 eU(MN)=(A)1,2(B)2,3(C)2,4(D)1,4【思路点拨】解决此题的关键是掌握集合交并补的计算方法,易求MIN2,3,进而求出其补集为1,4.【精讲精析】选 D.QMIN2,3,eu(MIN)1,4.4(2)函数y2jX(x0)的反函数为22x.x.(A)y(xR)(B)y(x0)442(C)y4x(xR)(D)y4x(x0)【思路点拨】先反解用 y 表示

2、 x,注意要求出 y 的取值范围,它是反函数的定义域.2【精讲精析】选 B.在函数y2Vx(x0)中,y0且反解 x 得 x,所以42y2Jx(x?0)的反函数为y(x0).420rrrrrr(3)设向量a,b满足|a|b|1,那么a2b(A)72(B)V3(C)x/5(D)用【思路点拨】此题要把充要条件的概念搞清,注意寻找的是通过选项能推出 ab,而由 ab 推不出选项的选项.【精讲精析】选 A.即寻找命题 P 使 Pab,ab推不出 P,逐项验证可选A29xy6(4)假设交量x,y满足约束条件x3y-2,那么z=2x3y的最小值为x1(A)17(B)14(C)5(D3【思路点拨】解决此题的

3、关键是作出如右图所示的可行域.然后要把握住线性目标函数z=2x3y的 z 的取值也其在 y 轴的截距是正相关关系,进而确TE过直线 x=1 与x-3y=-2 的交点时取得最小值.【精讲精析】作出不等式组表示的可行域,从图中不难观察当直线z=2x3y过直线x=1 与 x-3y=-2 的交点(1,1)时取得最小值,所以最小值为 5.24(5)卜面四个条件中,使ab成立的充分而不必要的条件是(A)ab1(B)ab1(C)a2b2(D)a3b3【思路点拨】此题要把充要条件的概念搞清,注意寻找的是通过选项能推出 ab,而由 ab 推不出选项的选项.【精讲精析】选 A.即寻找命题 P 使 Pab,ab推不

4、出 P,逐项验证可选A11(6)设Sn为等差数列 an的前n项和,假设a11,公差 d2,Sk2Sk24,那么k(A)8(B)7(C)6(D)5【思路点拨】思路一：直接利用前 n 项和公式建立关于 k 的方程解之即可.思路二：利用Sk2Skak2ak1直接利用通项公式即可求解,运算稍简.【精讲精析】选 D.Sk2Skak2ak12a1(2k1)d2(2k1)224k5.19(7)设函数f(x)cosx(0),将yf(x)的图像向右平移一个单位长度后,3所得的图像与原图像重合,那么的最小值等于1八-八(A)1(B)3(C)6(D)93【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要,将yf(x)

5、的图像向右平移一个单位长度后,所得的图像与原图像重合,说明了是此函数周期的整数倍.332【精讲精析】选C.由题_k(kZ),解得6k,令k1,即得min6.340(8)直一面角l,点 AC,ACl,C C 为垂足,点BC,BDl,D D为垂足.假设 AB=2,AC=BD=1AB=2,AC=BD=1, ,那么 CD=CD=(A)2(B)33(C)22(D)1【思路点拨】解决此题关键是找出此二面角的平面角,然后把要求的线段放在三角形中求解即可.【精讲精析】选 C.在平面内过 C 作CM/BD,连接 BM 那么四边形 CMBDI 平行四边形,由于BDl,所以CMl,又QACl,ACM就是二面角l的平

6、面角.ACM90o.222222L所以ABAMMBACBDCD,代入后不难求出CDV2o45(9)4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门,那么恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有(A)12 种(B)24 种(C)30 种(D)36 种【思路点拨】解此题分两步进行：第一步先选出 2 人选修课程甲,第二步再把剩余两人分别选乙、丙.【精讲精析】选 A.第一步选出 2 人选修课程甲有C26种方法,第二步安排剩余两人从乙、丙中各选 1 门课程有A22种选法,根据分步计数原理,有6212种选法.6.一5(10)设f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0WXW1 时,f(x)=2x(1x),那么

7、f()=2(A)(B)(C)(D)一2r:4425【思路点拨】解此题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量 3 转化到区间0,12上进行求值.【精讲精析】0.由Tr1C2o(Jx)20得x的系数为C；0,x9的系数为C2；,而C28C20.(14)aC(,),tana=2,贝 Ucosa242【精讲精析】选A.5111先利用周期性,再利用奇偶性得：f(5)f(1)f(1)1.2222(11)设两圆Ci、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),那么两圆心的距离|0102=(A)4(B)4V2(C)8(D)80),那么aJ(a4)2(a1)2,求出 a=1,a=9.所以 Ci(1,1),C2(9,

8、9),所以由两点间的距离公式可求出C1c28.2.(12)平面“截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 a 成60二面角的平面 3 截该球面得圆 N.假设该球面的半径为 4,圆 M 的面积为 4,那么圆 N 的面积为(A)7(B)9(C)11(D)13【思路点拨】做出如下图的图示,问题即可解决.42【精讲精析】选 B.作示意图如,由圆 M 的面积为 4,易得MA2,OMJOA2MA2273,RtOMN中,OMN300.故MNOMcos30o3,S329.(13)(1-Jx)20的二项展开式中,x 的系数与 x9的系数之差为:.【思路点拨】解此题一个掌握展开式的通项公式,另一个要注意rnrCnCn4

9、517【思路点拨】 此题考查到同角三角函数的根本关系式,再由正切值求余弦值时,要注意角的范围,进而确定值的符号.【精讲精析】正由 aC(,2 一),tan“=2 得cos1L吏.52辰539(15)(15)正方体 ABCD-AiCDABCD-AiCD 中,E 为 CDCD 的中点,那么异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为【思路点拨】找出异面直线 AE 与 BC 所成的角是解此题的关键.只要在平面 AB1C1D内过 E 作及 BiCi的平行线即可.一2一一【精讲精析】一取 AiBi的中点 M 连接 EMAMAE,那么AEM就是异面直线 AE 与3一,乙,223252BC 所成的角.在AEM

10、中,cosAEM-一3-5上.22333322(15)F Fi、F F2分别为双曲线 C C：-y-=1 的左、右焦点,点 ACC,C,点 M 的坐标为927(2,0),AM 为/F F1AEAE 的平分线.那么|AFAF2|=【思路点拨】此题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解.【精讲精析】6.由角平分线定理得：-一J1-,|AF1|AF2|2a6,故|AF2|6.|A|M|212(17)(本小题总分值 io 分)(注意：句式题臂上彳周无期)设等比数列an的前 n n 项和为Sn,a26,6ala330,求an和Sn.【思路点拨】解决此题的突破口是利用方程的思想建立关于&和公比 q

11、 的方程,求出a1和 q,然后利用等比数列的通项公式及前 n 项和公式求解即可.一、一、一&q6【精讲精析】设 an的公比为 q,由题设得n6ala1q30a13a12解得1或,q2q3当a13,q2时,an32n1,Sn3(2n1)当ai2,q3时,an23n1,Sn3n1.21(18)(本小题总分值 12 分)(注意：在试题卷上作答无效.)ABC 的内角AB、C 的对边分别为 a、b、c.己知asinAcsinCJ2asinCbsinB.(I)求 B;(n)假设A750,b2,求a,c.【思路点拨】第(I)问由正弦定理把正弦转化为边,然后再利用余弦定理即可解决.(II)在(I)问的

12、根底上知道两行边可以直接利用正弦定理求解.【精讲精析】(I)由正弦定理得a2c2J2acb2由余弦定理得b2a2c22accosB.生.近 i.O故cosB,因此B45.2(II)sinAsin(30o45O)O_OccO0,y0,z0.FHSFFG3SG.7即 F 到平面 SBC 的距离为217设 AB 与平面 SBC 所成的角为,那么sindx21EB7arcsin7平面SDE作SFDE,垂足为F,那么SF平面ABCD,SFSDDESE(2,2,0),B(0,2,0).uuuuuuuuir(I)AS(x2,y2,z),BS(x,y2,z),DS(x1,y,z)lllirHUI由|AS|BS

13、|J(x2)2(y2)2z2xx(y2)2z2得故 x=1.uur.由|DS|1得y2z21,uuu2又由|BS|2得,x2(yc、2242)z4-22即yz4y10,故1V3y-,z22133uuu丁正S(1,一,),AS(1,22373uuu二,三),BS(1,223FuurK.),DS2222UUUUUUUUUuuuDSAS0,DSBS0故DSAS,DSBS,又ASIBSS所以SD平向SAB.(II)设平面 SBC 的法向量ra(m,n,p),ruuuruuuruuu那么aBS,aCB,aBSruuu0,aCB0,uuu3J3uuu又BS(1,-,),CB22343用mnp0故220,2

14、,0)2n0取p2得a(v3,0,2),UUU又AB(2,0,0)uurruurr.ABa.cosAB,a-uurr-|AB|a|V21.7故 AB 与中回 SBC 所成的角为.51arcsin-.(21)(本小题总分值 12 分)(注意：在试题卷上作答无效)53函数f(x)x33ax2 一一一2(36a)x+12a4aR.352(21)O 为坐标原点,F 为椭圆C：x1 在 y 轴正2半轴上的焦点,过 F 且斜率为-J2的直线l与 C 交与 A、Buuuuuuuuu两点,点 P 满足OAOBOP0.(I)证实：点 P 在 C 上;(n)设点 P 关于点.的对称点为 Q 证实：AP、B、Q 四

15、(I)证实：曲线yf(x)在x0处的切线过点(2,2);(n)假设*)在*0处取得最小值,x0(1,3),求a的取值范围.【思路点拨】第(I)问直接利用导数的几何意义,求出切线的斜率,然后易写出直接方程.(II)第(II)问是含参问题,关键是抓住方程f(x)0的判别式进行分类讨论【精讲精析】解：f(x)3x26ax36a.由f(0)12a4,f(0)36a得曲线yf(x)在 x=0 处的切线方程为y(36a)x12a4由此知曲线yf(x)在 x=0 处的切线过点(2,2).(II)由f(x)0得x22ax12a0(i)当J21aJ21时,f(x)没有极小值;(ii)当aJ21或aJ21时,由f

16、(x)0得xa.a22a1,x2a/a22a1故x0 x2O由题设知1aJa22a13,当aJ21时,不等式1aJa22a13无解；当aJ21时,解不等式1ada22a13得9aJ212综合(i)(ii)得a的取值范围是(之J21).2第ii页共i3页点在同一圆上.【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的根本思路,注意把uuuuuuuurOAOBOP0.用坐标表示后求出 P 点的坐标,然后再结合直线方程把 P 点的纵坐标也用AB 两点的横坐标表示出来.从而求出点 P 的坐标代入椭圆方程验证即可证实点 P 在 C 上.II此问题证实有两种思路：思路一：关键是证实APB,AQB互补.通过证

17、实这两个角的正切值互补即可,再求正切值时要注意利用倒角公式.思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上,分线的交点找出圆心 N,然后证实 N 到四个点 A、BP、Q 的距离相等即可.2,XiX22所以点P在C上.所以根据两条弦的垂直平【精讲精析】I设A(x,y),B(x2,y2)直线l:y2x2i,与X2i联立得4X22J2Xi2Xi、6J24,X2XiX2uuu由OAuuuOBuuuOP0.得P(XiX2),(yiy2)(XiX2)、22(y1y2)V2X2i)Y2(XiX2)(f)2(i)22第ii页共i3页(II)法一：tanAPBkPAkPBikPAkPByi(i)2为-2y2(i)._yi_(_i)_y2_(_i)_/2、/、2、Xi(c)X2(c)22第i2页共i3页所以APB,AQB互补,因此AP、B、Q 四点在同一圆上.,2小yx22i、2i仅 AB 的中点为M那么M(,一),AB 的垂直平分线12的方程为yx