02柯西不等式与平均值不等式训练题(含经典例题+答案)

1、 选择题（共 20 小题） 1. (2015?湖南) 2. .: B. 2 (2015?畐建) 3. 柯西不等式与平均值不等式训练题 1 若实数 a, b 满足 C. 2 . D. 工=1 l+学二忑，则 ab 的最小值为（ 5 3 C. 4 D. 2t2 【 y 最小值 3+2. :C.最大值 6 D .最小值 6 ） 有最大值 D . 若直线 若实数 x、y 满足 A .最大值 3+2 4. B. （2015?上海）已知 a2+b2有最小值 5. (2015?浙江) 6. 已知 （a0, b0）过点（1, 1）,贝 U a+b 的最小值等于（ 5 =1，则 x2+2y2 有（ ） a0,

2、b0,若 a+b=4，则（ ；，有最小值 C. - 有 设正实数 3 C. a, b 满足 a+入 b=2（其中入为正常数） 3 有最大值 Va+Vb .若 ab 的最大值为 3，则入= x0, y0, B. 2 .: C. Ig2x+|g8y=lg2，则 - 的最小值是（ K 3y 7.已知正项等比数列an满足 a7=a6+2a5,若存在两项 am, an使得- 4 .,则-亠的最小值为 HI n 8. -B . 若 a 0, - 9. 25 b 0,且 a+2b- 2=0,则 ab 的最大值为（ C. D .不存在 1 C. 2 D. 已知正项等比数列an满足: a7=a6+2a5,若存在

3、两项 am, a,使得 aman=16a12, 则】+亠 的最小值为 13 B . C.二 2 A. D. 10.若正数 x, A . 2 B. 3 不存在 y 满足 3x+y=5xy， 贝 U 4x+3y 的最小值是 （ C. 4 IT 11.已知正实数 m, n满足 m+n=1 , 且使卩取得最小值. 若曲线 y=xa过点 P 严，门），则 a 的值为 12.设 A. 13. 2 若 11 2 C. 2 D. 3 a b 0, B. 3 x0, y0, x+2y+2xy=8，贝 U x+2y 的最小值是( B. 3 C. 若 4x+4y=1, 0 , 1 B . 14. A. 2 2 2

4、15 .已知 a0, b 0, c 0,且 ab=1, a +b +c =4，贝 U ab+bc+ac 的最大值为( A . B . C . 3 D . 4 2 16 .若正数 x, y 满足 x +6xy -仁 0,则 x+2y 的最小值是( 则 x+y 的取值范围是( -1, 0 C. - 1, +R) 2 ) D . (- a, 2 -1 B. 20, b 0 且 a 工1若函数 y=logax 过点(a+2b, 0),则 3+22 2 18. 已知 a0, 3 b 1 且 2a+b=4,则 的最小值为( 19. 16 B. 25 的最小值为( 若正数 a, b 满足丄+ a b C.

5、36 20. 已知 x, y 最大值 17 汽 0)，且 x+y= - 1，贝 H xy+有( :C .最小值- B.最小值 xy 11 D .最大值- 解答题(共 10 小题) 21. 已知正实数 a、 b 满足：a2+b2=2 亠.(1)求 的最小值 m； (2)设函数 f (x) =|x-t|+|x+i 对于(1)中求得的 2 22.已知不等式 x2 a m,是否存在实数 x,使得 f (x)=一成立，说明理由. 2 -5ax+b 0 的解集为x|x 4 或 xv 1 (1)求实数 a, b 的值；(2)若 Ovx v 1, f ( x) ,求 f (x)的最小值. b_ x r 1 -

6、 x 23已知函数 f (x) = | 4 (n)求 a b 1 ：!-，的最小值. a b 25. 已知实数 2 2 2 a, b, c 满足 a +b +c =3. (I)求证 a+b+c 3M 2a+2b+2c=m，求 27. 已知正数 28. 已知 a, b, 不等式|x+1|+|x - 29.已知正实数 30.已知 a0, 的最小值. b c 7V+ a, b, c 满足 a+b+c=3，求证: 号3 C 2 Q b0,且a+b=2.( 1)求薜的最小值及其取得最小值时 a, b 的值；(2)求证：a2+b22 2 一. 选择题(共 20 小题) 1. C; 2. C; 3. B ;

7、 4. A ; 5. D ; 6. C; 7. A; 8. A ; 9. A ; 12. C; 13. D; 14. D; 15. A; 16. A; 17. A; 18. D; 19. A; 20. 二. 解答题(共 10 小题) 21.解：(1)v 2Jr*a2+b2 10. D; 11. B; B； 2ab 即一 t二=,、冷.1 .又 当且仅当 a=b 时取等 号. m=2 . (2)函数 f ( x) =|x - t|+|x+ 2二_=1，满足条件的实数 x不存在. 2 22.解：（1）由题意可得 (2)由(1)知 f (x)=二+ 4+l=5a 4Xl-b 4 ，解得 实数 a,

8、b 的值分别为 1, 4； 5+ 1 - X 1 _ X x+ (1 - x) =5+ - + / 0v x v 1, 0 v 1 - xv 1,.0, X 1 - K 知 1 - .1 T i - 4:0, f (x 1 _ X J,时，等号成立. f （ x）的 最小值为 9. 23.解：(1)v函数定义域为 R,. |x+1|+|x - 3| - m0恒成立，设函数 g (x) =|x+1|+|x - 3|,贝U m 不大于 函数 g (x)的最小值，又 |x+1|+|x - 3| |x+1 ) -( x - 3) |=4, 即卩 g (x)的最小值为 4，二 mW4. (2 )由(1)

9、 知 n=4, 7a+4b= - . ! : - - 4 3a+b a+2b _1 隹 2 (3浊+b) 2 冷) 4 a+2b 3a+b 3a4b pa+2b)= Va-+2b 3a+b IT a+b a-Fb , b - +=2- a a 24.证明：一 a 4 亠 4 (n)解：i - ： ： I- - a b ， I . ，当且仅当 a+2b=3a+b，即 即 (曲=+ 2 a b i 2 (皑) ab 2 冷)2+ (b+g) 2- a 0 2 时取等号. 7a+4b 的最小值为一. 4 又 T J 心一得.：-,即 当且仅当:十上式等号成立. 25.证明：(I)T(a+b+c) 2

10、=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac W+b2+c2+ ( a2+b2) + (b2+c2) + (a2+c2) =3 (a2+b2+c2) =9. a+b+c w; ( II )T( a2+b2+c2) b2 c =3+ 3+ +2 2 c2 b2 + F+ b =3+ 2 ,2 其 2 k2 2 2 2 , - =9 .当且仅当 a2=b2=c2=1 时取等号. J 3 26.解：（1）由关于 x的不等式：|2x- m| w 1 可得-1 2- m1,解得 ID _ 1 2 a2V C2 w xL .由于整数解有且仅 有一个值为 1 , X 罟 Q 1 0，解得 . 3xy+yz+z

11、x=3xy+1 恒成立，则|x+1|+|x - 1| 当 xl时，化为 2x3,解得汎土，满足 x1, / 2 当-1 WxC 1 时，化为 x+1 - x+1 3,即 23此时 x ?；当 xV- 1 时，化为-2x3解得 x 0, b 0,且 a+b=2.冬马冷+b) =(卅)(呈)=5 已申+么区垦=9, gj b 2 a b a b a b Ynb 当且仅当 ,b=时等号成立.二+卫的最小值为 9. 3 3 a b (2 )T a 0, b 0，且 a+b=2 . 2 ( a2+b2) ( a+b) 2=4 , a2+b22 当且仅当 a=b=1 时取等号. -2( x+y )(x+y )w_ -(x+y)2+( x+y )= .土 . 1 2, x=y=丄时，取等号. -3xy+yz+zx 的最大值为 1 5 国 5 当 x+y= 5 28.解：(1)v a2= (- b- c) 2=b2+c2+2bcw2(b2+c2) a2w2 (1 - a2), 3a2w2 即一 ，a 的最大值为亨 (2