高三数学空间向量一轮复习

1、仅供个人参考Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse第十三章空间向量考纲导读1.理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘.2.了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算.3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式.高唧|隆间|量的夹角的概念;掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直0第1课时空间向量及其运算基础过关空间向量是

2、平面向量的推广.在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量.因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广.本节知识点是：1.空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1)向量：具有和的量.(2)向量相等：方向且长度(3)向量加法法则：.(4)向量减法法则：(5)数乘向量法则：2 .线性运算律(1)加法交换律：a+b=(2)加法结合律：(a+b)+c=(3)数乘分配律：九(a+b)=.3 .共线向量共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相或.(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b#0),a/b等价于存在实数入，使.(3)直线的向量参数方程：设

3、直线l过定点A且平行于非零向量a,则对于空间中任意一点O,点P在l上等价于存在twR，使.4 .共面向量(1)共面向量：平行于的向量.(2)共面向量定理：两个向量a、b不共线，则向量P与向量a、b共面的充要条件是存在实数(x,y),使P.共面向量定理的推论：.5 .空间向量基本定理(1)空间向量的基底：的三个向量.(2)空间向量基本定理：如果a,b,c三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使.空间向量基本定理的推论：设O,A,B,C是不共面的的四点，则对空间中任意一点P,者B存在唯一的有序实数组xvz，使X,y,z6 .空间向量的数量积(1)空间向量的

4、夹角：.(2)空间向量的长度或模：.(3)空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a、b,则ab=.空间向量的数量积的常用结论：(a)cos(a、b>=;(b)词=；(c)a_Lbu.(4)空间向量的数量积的运算律：(a)交换律ab=;(b)分配律a(b+c)=.典型例题例1.已知止方体ABCDAiBiCiDi中，点F是侧面CDDiCi的中心，若aF=aD+xaB+yAA；,求xy的值.解：易求得x=y="1,二xy=0变式训练1.在平行六面体abcd-AB1clD1中，M为AC与BD的交点，若A1&=a,A1D1=b,A1A=c，则下列向量中与BM相等的向量是()A

5、.一1 a+ 1 b + cB.1 a+ 1 b + c2222c.-a-1b+ cD.-a-1b+ c2222解:A不得附于商业用途例2.底面为正三角形的斜棱柱ABCAiBiCi中，D为AC的中点,求证：AB1/平面C1BD.证明：记AB岁,AC,丽力,则1.ABi =a -c, DB -AB _ AD -a _ b,1 一一一 21FDCiDC-f-CCi1b-t-c>>DB+DCa+cABBi正平面CiBD,ABi平面CiBD.变式训练2:正方体ABCDEFGH中，M、N分别是对角线AC和BE上的点，且AM=EN.(i)求证：MN/平面FC;(2)求证：MNLAB;(3)当M

6、A为何值时，MN取最小值，最小值是多少？解：(i)设怛=MC_=k，则MN=(k_i)BC+kBF.EBAC(2) MNAB=(k_i)BCABkBFAB=0.(3)设正方体的边长为a,.r.or,i-J2也即AM=AC时，MN=a2min2例3.已知四面体ABCD中，ABLCD,AC±BD,G、H分别是ABC和ACD的重心.求证：(i)AD±BC;(2)GH/BD.证明：(i)AD±BCuADBC=0,因为AB_LCDyABCD=0,ac_lbdac丽=0,而AdBC=(AB+BD)(BD-+Dc)=0.所以AD±BC.(2)设E、F各为BC和CD的中

7、点.欲证GH/BD，只需证GH/EF,GH=GA+AH=-(EA+AF)3=2Ef.3变式训练3:已知平行六面体ABCD-AiBiCiDi,E、F、G、H分别为棱AD,D1clec和AB的中点.求证：E、F、G、H四点共面.解：HG=HC+CG=HC4GC=HC-+GF+fc1=AiF-+Fc1+Gf=2ef+gf,所以EF,EG,EH共面，即点E、F、G、H共面.例4.如图，平行六面体ACi中，AE=3EAi,AF=FD,AG=1GB,过E、F、G的平面与对2角线ACi交于点P,求AP:PCi的值.不得用于商业用途仅供个人参考解：设AP=mAC14一AP=3mAGmAE-2mAF3又E、F、

8、G、P四点共面，3m+m+2m=13m，AP:PCi=3：1619变式训练4:已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点,Q为OB的中点，若AB=OC,求证PM1QN.证明：法一：OM(OB+OC)2故PM_QN法二：PM-QN=(PQ+QM)(QM+MN)11=-(AB-+OC)-(OC+BA)122=-(OC-AB)=04小结归纳1 .立体几何中右关垂直和平行的一些命题,可通过向量运算来证明.对于垂直，一般是利用a，b=ab=0进行证明.对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明.2 .运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，

9、然后计算这个向量对应的模.而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果.3 .利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便.其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cos0=ab.*Iab4 .异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线小l2,AB为其公垂线段，C、D分别为hrirl2上的任意一点，n为与AB共线的向量，则IAb=|CD工！.|n|5 .设平面a的一个法向量为:，点P是平面a外一点，且PoC鹏则点P到平面a的距离是d|PoPn|n|第2课时空间向量的坐标运

10、算基础过关设a=®®)，b=0也依)(1)a±b=a=-(3) ab=.(4) aIIbu;a_Lbu(5) 设A=(为，yi,Zi),B=&,V2，zQ贝UAB=，AB=AB的中点M的坐标为.典型例题快寸1若a=(1,5,1),6=(-2,3,5)（i）若*a+b）/（a3b）,求实数k的值;（2）若（ka+b），（a3b）,求实数k的值;（3）若ka+b取得最小值，求实数k的值.1解：k=;3，1068（2） k=；（3）kOA= 3,0,1 ,OB= -1,1,2 ,_L OA, BC / OA,求327变式训练1.已知O为原点，向量AC.TT解：设

11、OC=(x,y,z),BC=(x+1,y-1,z-2),TTTTTTTTOC_LOA,BC/OA,OCOA=0,BC=*uOA(，uWR),3x+z=0,l3x+z=0,x+1=3九，.，即,x1,y-1,z-2='3,0,1y-1=0,Jz-2-'.、一，r7211解此方程组，得x=_,y=1,z=a,?=L。101010,1010.1010例2.如图，直三棱柱ABC_A1B1C1，底面加BC中，CA=CB=1,/CA=90棱AA1=2，M、N分别A1B1、AiA是的中点.(1)求BM的长；(2)求cos(BA；CB；)的值；(3)求证：A1B_LC1N-解：以C为原点建立空

12、间直角蜃标系Oxyz.、r_一C|,.I|.ooTl依题意得b(0,1,0前区7号B11).|bm|=(1-0)2+(0_1)2+(1_0)2=J3.A1/-<N(2)依题意得 A1 (1, 0, 2),1 B (0, .cos :二 BA1 ,CB1 证明：依题意得XC1(0，0，2), N,0), C (0,y(1,1,2),. AB2 20, 0), B1 (0,=(_1,1,Q,C1N1, 2)变式训练2.在四锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧PAL底面ABCD , AB =6，BC=1, PA=2, E 为 PD 的中点.(1)在侧面PAB内找一点N,使NEL面PAC,并

13、求出N点到AB和AP的距离;(2)求(1)中的点N到平面PAC的距离.解：(1)建立空间直角坐标系'ABDP/则A、B、C、D、P、E的坐标分别是 A(0, 0, 0)、B(?, 0, 0)、C(石，1,0)、D(0, 1,0)、P(02)(g, 1,1),依题设 N(x, 0, z),则 NE=(x, 1,1 z),由于 NEL平面 PAC, a. B.,NE AP =0 一，一 一*NE AC =01L V C(,-,1 (0,0,2)=0z=0即 I 2= I L 1111-J3x+- =0(_X, 2,1 -z)(收1,0) =0 r 2广_<3；3=即点n的坐标为卢,0

14、,1),6/ 'z =1从而N至ij AB、AP的距离分别为1, £.(2)设N到平面PAC的距离为d,则d = | NA NE | |NE|.33 1l(6,0,1)(-6,2,0)l|(3 1T,F,0)|112例3.如图，在底面是棱形的四棱锥P -ABCD 中，在PD上，且pe：ED=2：1.证明PA_L平面ABCD；(2)求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角白的大小；(3)在PC上是否存在一点F,使BF/平面AEC?证明你的结论.解：(1)证明略；(2)易解得8=30,(3)解以A为坐标原点，直线AD,AP分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立

15、空间直角坐标系(如图).由题设条件，相关各点的坐标为所以AE=(0,2a,1a),AC=(a,-a,0),3322BP=(*3a，1a,a),设点F是棱PC上的点，PF=1玩=(bag£a,Ta),其中0九1,则V3C”3V3n,- , - 3BF =BP PF =(2a(17。=a7222112令BF="AC+)2AE得一a(1+a=-a九十一苏小223一.1一.a(1T)=一aZ23/LT11R-1.1*N*.*斛信九万A1,%二即九=3时，bfiac+.ae.亦即，f是pc的中点时，bf，ac，aeBF /平面 AEC.共面，又BF0平面AEC,所以当F是PC的中点时

16、，例4.如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面BE=3,CF=4.求EF和点G的坐标；(2)求GE与平面ABCD所成的角；求点C到截面AEFG的距离.解：(1)由图可知：A(1,0,0),B(1,4,0),E(1,4,3),F(0,4,4).EF=(T0,1)又AG=EF，设G(0,0,z),则(一1,0,z)=(-1,0,1).-.z=1，G(0,0,1)(2)平面ABCD的法向量DG=(0,0,1).GE=(1,4,2),设GE与平面ABCD成角为0,则=arcsin2,2121设 n°,面 AEFG, n0=(X0, y0, z0)不得用于商业用途-x。为0 0=5 *

17、14yo 3z0 =0x。，3 y = -7Z04而AG=(-1,0,1),AE=(0,4,3),3.n0=(z0,Z0,Z0)4取Z0=4,则n0=(4,3,4)CF =(0, 0, 4), . d|CF no |16.41I no |41即点C到截面AEFG的距离为16；41.变式训练4.如图四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PGL平面ABCD,垂足为,一1G,G在AD上，且PG=4,AG=GD,BGXGC,GB=GC=2,E是BC的中点.3（1）求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；（2）求点D到平面PBG的距离；PF，一若F点是棱PC上一点，且DFLGC,求的值.FC解：(

18、1)以G点为原点，GB'、GC、GP,为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,4),故E(1,1,0),GE=(1,1,0),PC=(0,GEPC2102，4)。cos<GE,PC=:=：=1=，|GE|PC|22010GE与PC所成的余弦值为上万.(2)平面PBG的单位法向量n=(0,±1,0)o3333GD=3AD=BC=(-,士，0),44223点D到平面PBG的距离为|GDn|=2、一一一3333设F(0,y,z),贝UDF=(0,y,z)一(-三，二，0)=(二，y二，z)。2222.DF_LGC,DFGC=0,

19、33、即（2，y，z）(0,2,0) =2y 3=0,3-3一一y,又PF=KPC，即（0,-,z-4）=入（02,4）,.z，2235331PF故F（0,一，1）,PF=（0,一，3）,FC=（0,一，1）,=-2=3。222PC.5小结归纳2对于以下几夫立体几何问题：（1）共线与共面问题；（2）平行与垂直问题；（3）夹角问题;（4）距离问题；（5）探索性问题.运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势.用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关

20、系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决.在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程.空间向量章节测试题1.在正三棱柱 ABC-A iBiCi中，若AB=2A Ai=i,则点A到平面AiBC的距离为()D. <33.3C.42.在正三棱柱ABC-AiBiCi中，右AB=V2BB1,则ABi与CiB所成的角的大小为A.60OB. 90oC.105OD. 75o3,正方体 ABCD AiBiCiDi 中，E、的大小是F分别是AAi与CCi的中点，则直线 ED与DiF所成角A,BoCoDo4, 设E,F是正方体ACi的棱AB和DiCi的中点，在正方体的 成60。角的对角线的

21、数目是i2条面对角线中,与截面(AiECF)A. 0B.C. 45.棱长都为2的直平行六面体 所成角的正弦值为ABCD AiBiCiDi 中，/ BAD=60D. 6，则对角线AiC与侧面DCCiDi.2A. 一2B.、.3C.46.在棱长为2的正方体 ABCD ABiCiDi中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CCi、AD的中点，那么异面直线 OE和FDi所成的角的余弦值等于、.i0A.5C.i5D .57.棱长为a的正四面体中，高为 H,斜高为h,小关系正确的是A. a>H> h>d8.将正方形ABCD 的大小为B. a>d>h>HC.A. 45相对

22、棱间的距离为d,则a、(a>h>d>H沿对角线BD折起，使平面 ABD，平面CBDB. 30C.60H、h、)d的大D. a>h>H>dE是CD中点，则/AED( )D. 909.三棱锥 A-BCD的高AH = 3 J3a , H是底面 BCD的重心.若AB=AC，二面角 A BC D为 60°,G是4ABC的重心，则 HG的长为A.5aB. v6aC. J7aD. 7i0ai0. PAPB, PC是从P引出的三条射线,每两条的夹角都是成的角的余弦值为60o,则直线PC与平面PAB所( )BoCoDo_6311 .已知正三棱柱ABC-A iBiCi

23、的所有棱长都相等，D是A©的中点，则直线AD与平面BiDC 所成角的正弦值为。12。如图，正方体的棱长为 1, C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点 M到截面ABCD的距离是.13 .正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，E为PC中点，则直 AC与截面BDE所成的角为 .14 .已知边长为4短的正三角形 ABC中，E、F分别为BC和 的中点，PAX面ABC ,且PA=2,设平面口过PF且与AE平行， AE与平面a间的距离为 .15 .如右下图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，已知AB= 4, AD 线段AB、BC上的点，且 EB= FB=1 .=3, AA1=

24、2. E、F 分别是(1)求二面角C-DE-C1的正切值；(2)求直线EC1与FD1所成的余弦值.16 .如图，三棱锥 P-ABC中，PC，平面ABC , PC=AC=2 , AB=BC , D 是 PB 上一点，且 CD _L 平 面 PAB.(I)求证：AB，平面PCB;(II)求异面直线AP与BC所成角的大小；AE BD(III)求二面角C-PA-B的大小的余弦值.17 .如图所示，已知在矩形 ABCD中，AB=1 , (a>0), PAL平面 AC,且 PA=1 .BC=a(1)(2)使得试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点 QPQX

25、QD?(3)当BC边上有且仅有一个点Q使得PQXQD时,求二面角Q-PD-A的大小.空间向量章节测试题容兆1. Bo2. Bo3. Ao4. C。提示：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为1,则A1(1,0,0),E(1,1,0),C(0,1,0).设平面A1ECF的法向量为n=(x,2y,z),则由AELn=0及ECl_n=0,可得x=z=；y,于是可取n=(1,1).AB=DC1=(0,1,1),QB=DB=(1,1,0),而且可计算得到这四个向量与向量n所成的角为30°,于是这四个向量与平面A1ECF所成的角为60°.

26、而其它的面对角线所在的向量均不满足条件.5. Do6. Co7. Co8. Ao9. Do10. D11.12.13. 设AC与BD相交于点O,则OE与OC所成的角即/EOC为所求.易得大小为45。.14.2,3315. (1)如图，以A为原点，AB,AD,AA分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系 A-xyz,则有 D(0, 3, 0)、D1(0, 3, 2)、E(3, 0, 0)、F(4, 1, 0)、C(4, 3, 2)._于是，DE =(3, Y0), Eg =(1,3,2),FD1 =-2,2).设向量n =(x,y,z)与平面CDE垂直，则有n _DE I_3x-3y=0|

27、1卜n:二 x = y = z .n _EC1x 3y 2z =02- n =(z,z,z)=51,1,2)，其中 z>0. 222取n0=(-1 .-1, 2),则n0是一个与平面 CDE垂直的向量.响量竺二(0, 0, 2)与平面CDE垂直，n。与AA；所成鸣 。为二面角C-DE-C1的平面角.n01AAi-1 0 -1 0 2 26cos 日= )=L二J=，| n0 |X|AA | 小 +1 +4Ma+0+43，2 . tan 0 =2 °(2)设ECUf Q1所成角为1则cos -：=1(Y) 3 2 2 2|ECj IFD1 .T 32 22 ；(Y)2 22 22

28、21一 1416.(1) . PC,平面 ABC, AB U 平面 abc ,PC_LAB. CD_L 平面 PAB, AB U 平面 PAB ,. .cd -Lab ,又 pccd = C , ab，平面人33 3，二面角C-PA-B的大小的余弦值为 .PCB.(2 由(I) AB，平面 PCB, PC=AC=2 ,又 AB=BC ,可求得BC=72 ,以B为原点,如图建立坐标系.则A (0,x/2,0), B (0,0,0)C4V2,_o,0),_p(®),2).bc=(V2,0,0).A唱(液4V2,2), 贝U AP BC =V2 W2+0+0=2 .T AP BCcos &

29、lt;AP,BC >=li 1 I =Ap|BC2、2.22xiT异面直线AP与BC所成的角为-.(3)设平面PAB的法向量为m=(x,v,4AB=(0,->/2,0),AP=(>/2-2,2),则 AB m =°, AP m =0.2y=0rfy=0,人rL即7解得r令z=-1,得m=(J2,0,-1).设平面PAC的法向量为n=(x? y? z* PC= (0,0, 2), PCAC =(5，-5,0),则TACn =0,n =0.-2z =0,即,_、,2x - 2y =0.I z =0解得1z0,x 二y令 x*M,得 n= (1 , 1, 0).cos :

30、 m, n =3 ,23.17. (1)以 别为x、v、 FA=AB=1P (0, 0A为坐标原点,AB、AD、z轴建立坐标系如图所示.,BC=a,1), B (1, 1, 0),D (0, a, 0).(2)设点 Q (1, x, 0),则DQ =(1,xa,0),QP=(1,x,1).由 DQ *QP =0 ,得 x2-ax+1=0.二面角 C-PA-BPQXQD,故=a2-4>o.Q,使得、3的大小的余弦值为显然当该方程有实数解时，BC边上才存在点因a>0,故a的取值范围为a>0.(3)易见，当a=2时，BC上仅有一点满足题意，此时取AD的中点M,过M作MN，PD ,垂

31、足为N,连结 1), D (0, 2, 0).D、N、Ej点共半.就 MD MP (0,1,0)(0, -1,1) (0,1 - , ) - MN =x=1,即Q为BC的中点.QM、QN.则 M (0, 1, 0), P (0, 0,T 1又 PD =(0,2, 1),且氤高二。2x_.2y2z=0.x=f'2z田(0,1-'1)2-3'故*(0,2,-1)=0=1122、j(0,1一%,鼻)12于是MN=3-=(0,1,£).125,5312故NQ=NM+MQ=MN+AB=(1,，).554412PDNQ=0+2X()+(-1)X(_)=0,PD_LNQ.Z

32、MNQ为所求二面角的平面角.NM.NQ,6-cosZMNQ=|NM|_|NQ|6二.所求二面角为arccos_96历届高考中的空间向量与立体几何”试题选讲1.(2008海南、宁夏理)如图,已知点(1)求DP与CCi所成角的大小;P在正方体ABCD AiBiCiDi的对角线BDi上，/PDA=60。(2)求DP与平面AAiDiD所成角的大小。2.(2008安徽文)如图，在四B隹O ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，. ABCOA_L底面ABCD, OA=2,M为OA的中点。(I )求异面直线 AB与MD所成角的大小(n )求点B到平面OCD的距离。3 . (2005湖南文、理)如图1,已

33、知ABCD是上、下底边长分别为 2和6,高为43的等腰梯形，将它沿对称轴 OOi折成直二面角，如图 2。(I)证明：AC ±BO1;(n)求二面角 O ACO1的大小。4 .(2007安徽文、理)如图，在六面体ABCD - ABiCiDi中,四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形AB11C 1D1碰长、©1的正方形，DD1(I )求证：ACi与AC共面, (n)求证:平面AiACCi _L面 AiBiCiDi, DDi _L 平面 ABDDi=2。I 1D1与BDI共面(出)求二面角A BBC的大小.5 .(2007海南、宁夏理)如图，在三棱锥S - ABC中，侧面SA

34、B与 侧面SAC均为等边三角形， ZBAC =90° , O为BC中八、(I )证明：SO _L平面ABC ；（n ）求二面角 A-SC-B的余弦值.6 .（2007四川理）如图，PCBM是直角梯形，/ PCB =90°, PM / BC , PM =1, BC=2,又 AC =1, / ACB =120 AB ± PC ,直线AM与直线PC所成的角为60°.OBA°AM =MB =MN。（I）证明 ACNB;(n)求二面角(I)求证：平面PAC，平面ABC;M-AC-B的大小；(m)求三棱锥PMAC的体积.7.(2006全国I卷文、理)如图，

35、11、12是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段.点A、B在11上，C在12上,(n)若/ACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦值。C8.(2006福建文、理)如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=V2.(I)求证：AO_L平面BCD;(II)求异面直线AB与CD所成角的大小;(III)求点E到平面ACD的距离。历届高考中的空间向量与立体几何”试题选讲答案1.解：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz.则DA=（1,。,。），3'=（。,。,1）.连结BD,BD'.在平面BBDD中

36、，延长DP交BD'于H .设肃= （m, m,1）（m>。），由已知：二DH,DA60 ,由 DA'|DAlDh4 ' DA"DH cos :二 祗,DH-:2 , 应一 一J2 72 '可信 2m = y2m +1 .解得 m =,所以 DH = , ,12122、2 C、2黑。+黑。+1 x 1 j2（I）因为 cos : DH ,CC 22 -=122H, P所以：二DH,CC>=45.即DP与CC'所成的角为45 .(n)平面 AAD D的一个法向量是 DC = (01,0).AX。+ * 1 + 1 父。1因为 cos &

37、lt; DH , DC >= 2=，1 .22所以：二肃,DC、=60；.可得DP与平面AA D D所成的角为30"2.解：作AP -LCD于点P如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x, y,z轴建立坐标系22 ,2-A（。,。,。），B（1,。,。），P（0, 2,0），D（-2,2,0），O（0A2），M（0,0,1），角为-,（1）设AB与cos 二AB MD AB与MD所成角的大小为一3AODc y(2) .= (0，巫，一2),OD = (2二-2)22设平面OCD的法向量为n =(x, y,z)，则-2y -2z =02-二 x 二 y-2zn=(0,4, .2)

38、设点B到平面OCD的距离为d ,则d为OB在向量n = (0,4, J2)上的投影的绝对值OB nvOB=(1,0,2).d=,一一一一，2所以点B到平面OCD的距离为一33 .解：(I)证明由题设知OAOOi,OBXOOi.所以/AOB是所折成的直二面角的平面角，即OALOB.故可以O为原点，OA、OB、OOi所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图3,则相关各点的坐标是A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,1,<3),Oi(0,0,J3).从而AC=(3,143),BOi=(0,3,73),ACBO；=3+方3=0.所以AC±BOi.(II)解：因为BO

39、;OC=-3+J3V3=Q所以BOJOC,由(I)ACXBOi,所以BOJ平面OAC,BOi是平面OAC的一个法向量设n=(x,y,z)是0平面OiAC的一个法向量，由严AC =0n OiC =0'-3x+y+、；3z=0, J =0.取z=V3,得 n=(i,0f 3).设二面角OACOi的大小为e,由n、BOi的方向可知eKn,BQ>,所以cose=cos<n,BOi>=nBO|n|BOi|44 .解(向量法)：以D为原点，以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角仅供个人参考坐标系Dxyz如图，则有A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,

40、2,0),Ai(1,0,2),Bi(1,1,2)C(0,1,2),Di(0,0,2).(I)证明:.AC=(-1,1,0),AC=(-2,2,0),D1B1=(1,1,0),DB=(2,2,0),于是A1C1与AC共面，B1D1与BD共面.(n)证明：而AC=(0,0,2)(2,2,0)=0,DD1与DB是平面B1BDD1,内的两条相交直线，二AC_L平面B1BDD1.又平面AACC1过AC,(出)解:AA=(-1,0,2),BB1=(-1,-1,2),CC1=(0,-1,2).设n=函，丫12)为平面A1ABB的法向量，于是=0,取乙=1,则4=2,n=(2,0,1).设m=(x2,y2,z

41、2)为平面B1BCC1的法向量，于是X2=0,取Z2=1,则y2=2,m=(0,2,1).ABC为等腰直角三角形，所以OA=OB=OC=AO_LBC,又ASBC为等腰三角形，故SO_LBC,且SO=2从而OA2+SO2=SA2.所以zXSOA为直角三角形，SO1AO.由题设AB=AC=SB=SC=SA,连结OA又AOBO=O.所以SO_L平面ABC.(n)解：以O为坐标原点，射线OB,OA分别为x轴、角坐标系Oxyz.设B(1,0,0),则C(-1,0,0)A(01,0)S(0,01).不得附于商业用途y轴的正半轴，建立如图的空间直A仅供个人参考-111SC的中点M,0,-II22JMMOSC

42、=0,MASC)11MO=l-,0,2IMAJ1一,1,=(1,0,1)0.故MO_SC,MA_SC,<等于二面角ASCB的平面角.不得用于商业用途MOMA一、一、3所以二面角ASC-B的余弦值为36.解：(I).PC_LAB,PC_LBC,ABpBC=BPC_L平面ABC,又PCu平面PAC平面PAC_L平面ABC(n)在平面ABC内，过C作CD_LCB,建立空间直角坐标系C-xyz(如图)y由题意有Af,-1,0'，设P(0,0,Z0XZ0A0)222,3-1rm1,由直线AM与直线PC所成的解为60°,得M(0,1,Z0)AM=y,-1,Z0,CP=(0,0,Z0)AMCPAM“CPcos600,即Z02=也2+3z。,解得Z0=1. 一. T 1 " - CM =(0,0,1 ),CA =1 -,-,0,设平面MAC的一个法向量为n = x1M4=04_则J31，取x1=1,得n=。,，3,-J3)二-y1-Z1=022平面ABC的法向量取为m=(0,0,1)设m与n所成的角为0,则cose=显然，二面角M一ACB的平面角为锐角,故二面角M _ACB的平面角大小为. 21 arccos7(出)解法一：由(n)知，PCMN为正方形VP JMAC-VA _PCM=VA_MNC=VM_ACN11oAC CN sin