必修2-第三章-直线与方程-小结与复习教案

1、?直线与方程?小结与复习一、【教学目标】重点：掌握直线方程的五种形式，两条直线的位置关系.难点：点关于直线的对称、直线关于点的对称、直线关于直线的对称这类问题的解决.能力点：培养学生通过对直线位置关系的分析研究进一步提高数形结合以及分析问题、解决问题的能力. 教育点：培养学生转化思想、数形结合思想和分类讨论思想的运用.自主探究点：1.由直线方程的各种形式去判断两直线的位置关系；2能根据直线之间的位置关系准确的求出直线方程； 3能够深入研究对称问题的实质，利用对称性解决相关问题.考试点：两直线的位置关系判断在高考中经常出现，直线与圆锥曲线结合是高考的常见题目.易错点：判断两条直线的平行与垂直忽略

2、斜率问题导致出错.易混点：用一般式判断两直线的位置关系时平行与垂直的条件.拓展点冲点问题、对称问题、距离问题中涵盖的直线位置关系的分析研究. 学法与教具1. 学法：讲练结合，自主探究2 教具：多媒体课件，三角板二、【知识梳理】二、【知识梳理】1直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角 定义：当直线I与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴与直线l 方向之间所成的角叫做直线I的倾斜角.当直线I与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 . 倾斜角 的范围为.2直线的斜率 定义：一条直线的倾斜角的叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k ，倾斜角是90的直线斜率不存在. 过两点的直线的斜率公式：经过两点R(x

3、i,yi) , P2(«, y2)(xi X2)的直线的斜率公式为 k .当为 x?时,直线的斜率.3直线的倾斜角 与斜率k的关系当 为锐角时，越大 k越；当 为钝角时，越大 k越.2直线方程的五种根本形式名称几何条件方程局限性点斜式过点Xo,y°，斜率为k不含的直线斜截式斜率为k，纵截距为b不含的直线两点式过两点 0% 和 x2, y2xiX2, yiy2不含的直线截距式横截距为a ,纵截距为b ab 0不含和的直线一般式A, B,C A2 B20平面直角坐标系内的直线都适用答案：1. 1正向，向上，0:0180 ；2正切值，tan ;y2y13大,大.1，不存在.X2X

4、i2. yy°k(x X。),y kxb,yyiXX,XyiAx ByC0( A2 B20)by2yix2x,a垂直于x轴；垂直于x轴；垂直于坐标轴；垂直于坐标轴、过原点.1两条直线平行 对于两条不重合的直线 率li、J都不存在时，.特别地，当直线的斜3. 两条直线平行与垂直的判定li、I2，其斜率分别为ki、k2，那么有I1/I2l1 与 l2.2两条直线垂直如果两条直线斜率li、*存在，设为ki、k2，那么li I2 ，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线 .4. 两直线相交交点：直线Ii: AxBy Ci 0和 l2: A2x B2y C20的公共点的坐标与方程组

5、Ax By G 0A>x Dy c2 0的解对应.相交 方程组有，交点坐标就是方程组的解;平行 方程组；重合 方程组有.5. 三种距离公式I点 Axi,%、B X2,y2 间的距离:AB 2点P x°,y°至煩线I : Ax By C 0的距离:d3两平行直线11: Ax By Ci 0与12: A2x B2y C2 0 G C2丨间的距离为 d .6. 直线中的对称问题有哪些？学生讨论如何求一个点关于直线的对称点？如何求直线关于点的对称 直线以及直线关于点的对称直线呢？三、【范例导航】1两直线间的平行与垂直问题例1 1两直线11: x m2y 6 0 , l2: m

6、 2 x 3my 2m 0 ,假设h l2，求实数m的值; 2两直线li : ax 2y 6 0和J : x a 1 y a2 1 0 假设li J，求实数a的值.【分析】1充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决此题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直 线11和l2, I1/I2k1 k2, I1 I2k1 k21 假设有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意.2假设直线l1和l2有斜截式方程l1:yk,xb1,l2: yk：xb：，那么h J 心C2 0 .那么：l1 l2a)a2 B1B20, l2: x 0 , l1 /12 ；2 m 2x3m 3【解答】设 l1

7、 : Ax B1y C10, l2: A2x B2y1方法一：当当m学且23m m1.k20 .由丄m m故所求实数m的值为0或方法二：直线l1 :A,xB1ym 0 时，l1: x1-2m231.C1AB2 A? Bi 0 且 B-|C2 B2C121 3m m m 20且 1 2m0 , l2: A2x0 或 A1C2B2y C2A2G0平行的等价条件是：0,由所给直线方程可得：2m m 2m 30 且 m3疋：m 0或1,故所求实数 m的值为0或2方法一：由直线l1的方程知其斜率为1 .a21时,直线1时,直线l2的斜率不存在，h与l2不垂直;1a 1 '23l2的斜率为故所求实

8、数a的值为方法3直线l1: A,xB1y C1 0 ,l2 :由所给直线方程可得：aA2X B2y C20垂直的等价条件是 AA22a，故所求实数a的值为一.33B1B20 .【设计意图】掌握两直线平行或垂直的充要条件是关键，平行与垂直的问题转化为方程的系数之间的关系 的问题，把几何问题转化为代数的问题，注意斜率存在与否，方法二防止了分类讨论.n 0和l2: 2x my 1 0 .试确定m、n的值，使变式训练：两直线 l1: mx 8yh与丨2相交于点P m, 1 ；123答案:hl2 ;l1 l2，且h在y轴上的截距为2m 8 n1由题意得：2m m 10，解得 m 1,n7 .02当m 0

9、时，显然l1不平行于l2 ；3当且仅当m 0时，由2mm 4 m 4，或n 2m 4,nn 22时或m4, n2时,1 mnl1/l2.0时,1112,又l2且l1在y轴上的截距为2、点到直线距离问题例2平行四边形的两条边所在直线的方程分别是0,3x y 40,且它的对角线的交点是同理，由点 M到直线AD,BC的距离相等,得:|3 3 3 4|3 3 3 C2 |C216或 c24 (舍去)MOCC216因此，其他两边所在直线的方程是x y 110,3x y 160 .【设计意图】此题考查了点到直线的距离公式的灵活运用，并且利用平行的直线斜率相等，方程的设法简 化运算.变式训练：正方形的中心为

10、点 M( 1,0)，一条边所在的直线的方程是x 3y 50,求正方形其他三边所在直线的方程.【分析】此题先设与直线平行的直线为x 3y q 0,另两条都与直线垂直，设为3x y C2 0,然后利用点到直线的距离公式.【解答】t四边形ABCD是正方形 AD/BC由点M至煩线AD, BC的距离相等，得:1( 1)3 0 5|厂321( 1) 3 0 q|1232C17或G 5 (舍去)CiADAB直线AB的方程可设为3xyC20,由点M到直线AD, AB的距离相等1( 1)3 0 5|3 ( 1) 0 c2 |、12=32：厂12C29 或 c2 3综合以上得，其余三边所在直线的方程分别是3xy

11、90,x 3y0,3x y 30.3、三角形冋题例3. ABC的顶点A(5 , 1), AB边上的中线CM所在直线方程为 在直线方程为x 2y 50 求：1顶点C的坐标； 2直线BC的方程.【分析】第一问主要是考查设、求直线AC ,熟练解答过程，先设直线 AC为：2x y c 0 然后代入点 A(5,1);第二问考查用先设、求点 B， 然后与点C求出直线BC，或者设直线 BC的点斜式方程， 再结合中点坐标公式求出斜率【解答】(1)由题意，得直线2x y 50解方程组y,2x y 110k .AC的方程为2x y 110 .得点C的坐标为4, 3.2解法一：设 B(x0,y0),那么 M (X)

12、5 y0 12).于是有2xy 50, AC边上的高BH所AyCAHBy01X。505 0,即 2x。y。2于是直线BC的方程为6x 5y解法二：设直线BC的方程为y解方程组x 2y 50kx y (4 k 3)与 x) 2y°0联立，解得点B的坐标为(-1,-3).因为点M是线段AB的中点,把点M的坐标代入直线CM0 .k(x8k2k 14)，即 kx11 ,yk2k 1所以点的方程,M的坐标是18k 162k 13 4k 0.k 42(2k所以直线BC的方程为6x 5y 9 解法三：设 M(x, y)，那么 B(2x 5,2 y(9k 8(2k 1,k 452(2k 1)0 解得

13、k因为点B在直线BH上，所以有2x 5 2(2y 1) 50,即x 2y 4x 2 y 40解方程组',得点M的坐标为(2, 1)，点B的坐标为(1,2x y 50'所以直线BC的方程为6x 5y 90 .【设计意图】此题借助三角形这个平台，考查了直线方程的求法，设出一个点，3).利用两点求直线的方程，B，就防止了考虑另外一个方法是设出点斜式方程，求出斜率，但这种方法要考虑斜率存在与否，设出点 斜率存在的问题，摆出事实，让学生体会各种解法的利弊，解法三也为今后学习相关点代入法打下根底 变式训练： 在 ABC中，BC边上的高所在的直线方程为 x 2y 1 0,角A的平分线所在的直

14、线方程为y 0,假设点B的坐标为(1,2)，求AC边上的垂直平分线.【分析】直线问题与三角形问题的结合，全面考查学生的熟练应用，直线关于坐标轴对称时，斜率之间的 关系，或者利用点关于坐标轴对称，求出点【解答】A点在直线BC的高线上，又在角由 x 2y 10y 0所以kABB关于y 0对称的点A的平分线上(1, 2)，也易求直线AC .得 A ( 1,0)1,而直线y 0是角A的平分线，1) y 26)x所以AC边所在的直线方程为 y (x 又kBC 2,所以BC边所在直线方程为 由AC与BC的直线方程联立可得 C(5,所以kACh2(x 1)所以AC边上的垂直平分线所在的直线方程为 4、最值问

15、题例4.点M ( 3,5) , N(2,15).在直线l：3x 上找一点P ,使| PM | PN |最小，并求出最小值4y 40【分析】此题前提条件是两点位于直线的同侧，主要考查利用三角形中两边之和大于第三边与点的对称问 题的结合，由平面几何知，先作出与点M关于丨对称的点M '，连结NM '，直线NM '与直线l的交点P即为所求.事实上，假设点P'是丨上异于P的点，贝U |P'M | |P'N | |P'M '| |P'N | |NM '| | PM |【解答】设与 M ( 3,5)关于丨对称的点是M '

16、.3 ki _,4|PN|.kMMMM的方程为y解方程组3x 4 y4x 3y线段MM '交直线 Q是MM'的中点，4J343(x0,得03),即 4x 3y 3连结NM '的直线方程为解方程组18x y 513x 4y 4y 1l 于 Q (0,1).M的坐标为18x y 518 3' 3.0得x0,得y(3, 3).0 .0 .点P坐标为(8,3).此时,| PM |3【设计意图】此题有个前提两点在直线的同侧，把求最值的问题转化为三角形中两边之和大于第三边的问题，如果学生接受能力强，可以再拓展一下，当两点位于直线两侧时，可在直线上找一点，使|PM | |PN

17、 |最大.|PN | | PM '|PN| NM '|(3 2)2 (15 3)25 13.变式训练：函数y JX21 yjx 4x8的最小值为 【分析】此题主要考查了把两点间的距离公式的灵活运用, 把最值问题转化成求动点与两点的距离和的问题， 把函数的最值转化为解析几何的问题，前面题目大多是 把几何问题转化为代数的问题，此题正好相反， 表达了数形结合的重要的数学思想.【解答】把 y . x2 1 X2 4x 8变形为y . (x 1)2 (0 1)2 (X 2)2 (0 2)2A'.(x 1)2(0 1)2. (x 2)2 (0 2)2 表示动点 P(x,0)到两定点

18、A(1,1)、B (2, 2)的距离之和.作点A(1,1)关于x轴的称点A'(1, 1)JPA| | PB| | PA'| |PB| |BA'| y (2 1)2 (2 1)2函数 y 有最小值为 10 .四、【解法小结】1 求直线方程直线方程的五种形式是从不同侧面对直线几何特征的描述，具体使用时要根据题意选择 最简单、适当的形式；同时结合参数的几何意义，注意方程形式的局限性.1直接法：当两个条件显性时，直接选择适当的直线方程的形式，写出所求直线的方程.2待定系数法：当两个条件至少一个隐性时，可根据条件，选择适当的直线方程的形式，设出所 求的直线方程，建立方程组，待定出

19、其中的系数，从而求得直线方程.2 两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合对于斜率都存在且不重合的两条直线h、I2 ,I1/I2 k1 k2, I1 I2k1 k21 假设有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是什么一定要特别注意.C c3. 在运用两平行直线间的距离公式 d r12=时，一定要注意将两方程中的 x , y项系数化为分别相等的系数.4 两直线平行时，直线可设为ax by c1 0,ax by c2 0 ,两直线垂直时，直线可设为 ax by c 0,bx ay q 0，可以简化运算.五、【布置作业】必做题：1 .直线l1 : k 3 x 4 k y 10与l2: 2 k 3

20、 x 2y 3 0平行，那么k的值是.2假设直线l1 : y k x 4与直线l2关于点2,1对称，那么直线l2恒过定点是3.2x y 54 设直线I经过点0 ,那么x21,1 ，那么当点y2的最小值是.2, 1与直线I的距离最大时，直线I的方程为答案：1 3或5;2.0,2 ; 3.、5 ；4. 3x 2y 50选做题:1 .直线I : kxy 1 2k1证明直线2假设直线I过定点；I不经过第四象限,求 k的取值范围;3假设直线I交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，求使 AOB面积最小时直线I的方程.2直线I :2x 3y 10,1点A关于直线I的对称点A的坐标;2直线 m : 3x 2y 6点A 1, 2 .求:0关于直线I的对称直线的方程;3直线I关于点A1, 2对称的直线I的方程.答案：1. 1定点2,1 ;20,；3x 2y2.【解答】1设 Ax,y，由33，解得:1 021341333134132在直线m上取一点,2,0，那么2,0关于直线I的对称点M必在直线m上.设对称点2 2M a,b ，贝Ubb2230，得 M -,30 ,13 13设直线m与直线I的交点为N ,又 m经过点N 4,