必修四第一章三角函数复习与小结(1)

1、年级冋学科数学版本苏教版课程标题必修四第-一章三角函数复习与小结编稿老师王东一校林卉二校黄楠审核王百玲课标左位【卿詩习目榻富盘学匀，有的故矢】一、考点突破1. 三角函数的概念三角函数的概念多在选择题或填空题中出现，主要考查三角函数的意义、三角函数值 符号的选取和终边相同的角的集合的运用。2. 同角三角函数的根本关系式及诱导公式此处主要考查公式在求三角函数值时的应用，考查利用公式进行恒等变形的技能，以 及根本运算能力，特别突出算理、算法的考查。3. 三角函数的图象与性质三角函数的图象是三角函数概念和性质的直观形象的反映，要熟练掌握三角函数图象 的变换和解析式确实定及通过图象的描绘、观察，讨论函数

2、的有关性质。4. 三角函数的应用主要考查由解析式作出图象并研究性质，由图象探求三角函数模型的解析式，利用三 角函数模型解决最值问题。三角函数来源于测量学和天文学。在现代科学中，三角函数在物理学、天文学、测量 学以及其他各种技术学科中有着广泛的应用。三角函数是进一步学习其他相关知识和高等 数学的根底。本章主要利用数形结合的思想。在研究一些复杂的三角函数时要应用换元法的思想， 还要注意化归的思想在三角函数式化简求值中的应用，主化归的思想要包括以下三个方 面：化未知为；化特殊为一般；等价化归。二、重难点提示重点：角的概念的扩展及任意角的概念、弧度制、正弦、余弦和正切函数的图象与性 质、五点法作图、诱

3、导公式、函数 y= Asin3汁$的图象与正弦函数 y= sinx的图象 间的关系、同角三角函数的根本关系。难点：三角函数的概念、弧度制与角度制的互化、三角函数性质的应用、由正弦函数 到y= Asin3x+的图象变换、综合运用三角函数的公式进行求值、化简和证明等。I価迪璽篁理【倾曲腑拨夯实根底.、知识脉络图： chmaedu. c om1. ysin x与ycosx的周期是。T22. ysin(x)或ycos( x )0丨的周期为t 口。知识点拨:y3.oI1角的概念三ft函数xtan 的周期为224.sin( x的对称轴方程是x2 k Z，对称中心为,0的对称轴方程是k k Z，对称中心为c

4、os( x1 ,0；2tan( x的对称中心为2 ,0。5.当 tantan1时,-(k Z)；当tanta n1时,tanx在R上为增函数。2k Zx6.函数y只能在某个单调区间上单调递增。假设在整个定义域上，那么 法同样也是错误的。y tan x为增函数的说 chmaedu. c omcCABD27t7t24 chinaedu. c Dm7. y sinx不是周期函数；y |sinx为周期函数T 丨；Y=cos|x| 丫 cosx是周期函数如图；y=|cosx| y cosx为周期函数T 丨；cos wo确定最终答案，要点就是分类讨论。22n n- V v 2nn+ n Z。422一是第三

5、象限角。2 T=n应选C.二题【沾硏典型例知识点一：三角函数的概念例题1设角a属于第二象限，|cos |=一 cos，试判断角 一属于第几象限？2 2 2思路导航：首先应根据a所属象限确定出所属的象限，然后再由- cos 0,2 2答案：因为a属于第二象限，所以 2k nV aV 2k n n k Z，2 - k n+ V V k n+ k Z。422当k = 2nn Z丨时,是第一象限角;2当 k = 2n+ 1n Z 丨时,=-sin2x+cos2x- 1=2 sin 2x+ 丨-2224252n n 一43V V 2n n+ 2 2n Z。f x=sinx? cosx-sinx的最小正周

6、期是解：/ fX=sinx? cosx-sinx =sinxcosx-sin2x随堂练习:函数又由 |cos |= cos?0 cos W02 2 2所以一应为第二、三象限角或终边落在x轴的负半轴上。综上所述，是第三象限2 2的角。点评：由a所在象限，判断诸如，等角所在的象限时，一般有两种方法:234一种是利用终边相同的角的集合的几何意义，采用数形结合的方法确定，,所属234的象限；另一种方法就是将 k进行分类讨论。一般来说，分母是几就应分几类去讨论。知识点二：同角三角函数根本关系式及诱导公式3tan a例题 2 1 nV aV 2 n, COSa 7 n=,求 sin 3 n+ a与57的值

7、；22 2 + sinAcosA = 5cos2A，求 tanA 的值;1n，求 Sin3 a cos3 a的值。3sin + Cos a= ，且 a 0 ,5答案：1T cos a 7 n= cos a=3-Cos a=。5又 nV aV 2 n, 32 i 4V aV 2 n sin a=,25sin 3 n+a= sin atan a7=s7-2723 43-54 52将式化为 2si n2A + 2cos2A + sinA/ cosAO,cosA = 5cos2A , 2tan2A + tanA 3 = 0, tanA = 1 或 tanA =2(sin cos )1L 3sin a

8、cos=23: 。21225， sin sino, n ,a 0, cos aV 0,cos a 0, sincos a= . 12 sin cos sin3a cos3a= j 1 兰5257581125 chmaedu. c om点评：形如as in a bcos a和asin2 a bsin a co於acos2a的式子分别称为关于 sin、cos a 的一次齐次式和二次齐次式，对它们涉及的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用。知识点三：三角函数的图象与性质例题3对于函数f x= 2sin 2x +，给出以下结论:3图象关于原点成中心对称；图象关于直线x=成轴对称；图象可由函数 y

9、 =122sin2x的图象向左平移 一个单位得到；图象向左平移3的图象。其中正确结论的个数为个单位，即得到函数12y= 2cos2x个A. 0B. 1C. 2D. 3思路导航：/ fx是非奇非偶函数，.错误。/ fx是由y= 2sin2x向左平移一个单位得到的,6错误。把x = 一代入f x中使函数取得最值,I112正确。fx= 2sin 2xa3左移个单位12fx= 2sin正确。答案：C点评：利用排除法求解选择题, 数性质的应用。是一个简单、易行的方法。2x + + I123.：| if=2cos2x,在用排除法时，要注意函例题 4 设函数 fx= sin3x + |sin3x|，那么f

10、x为A.周期函数，最小正周期为32 nB.周期函数，最小正周期为 3C.周期函数，最小正周期为 思路导航：本身可以直接把选项代入f(xD.非周期函数T)f(x)检验，也可化简2k2sin 3x,-32匕30,f (x) sin3x sin3x。答案：f x= sin3x + |sin3x|2k 3 32k x3 B正确。答案：B点评：遇到绝对值问题可进行分类讨论，将原函数写成分段函数。此题也可以数形结 合运用图象的叠加来考虑。后者更简捷。知识点四：三角函数的应用例题5在北京召开的国际数学家大会会标如下列图，它是由中间的小正方形拼成的一个大正方形。假设直角三角形中较小的锐角是1，那么sin2 0

11、 cos2 0的值等于 4个相同的直角三角形与0,大正方形的面积是1,小正方形的面积是25A. 124B. 25思路导航:7C.257I D.25由题意，设大正方形边长 AB = 1，小正方形的边长是-，贝U BE = sin ,5AE = cos 01I1二 cos 卜 sin 4。524平方得 2cos 0 sin 4。|2549 cos 叶 sin2= 1 + 2cos 0 sin乂 一。25二 cos 叶 sin 4 。5二 sin2 0 cos2 0= sin cos175答案：点评：7。255D三角函数的应用非常广泛。将实际问题转化成数学中的同角三角函数问题，再利用三角函数的性质是

12、解此题的关键。例题6函数y = sin x cosx1一的定义域是2sin x0sin x0思路导航:由题意知，11cosx0cosx22作单位圆如下列图，图中双阴影局部即为函数的定义域x|2k nW x0)，将y f (x)的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，那么的最小值等于1A.B. 3 C. 6 D. 93思路分析：此题主要考查三角函数的周期性与三角函数图象变换的关系。此题理解好 chinaedu. c om三角函数周期的概念至关重要，将yf (x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象3与原图象重合，说明了 一是此函数周期的整数倍。3解答过程:重合，说明了由题意将y

13、f (x)的图象向右平移 一个单位长度后，所得的图象与原图象32是此函数周期的整数倍，得 k -(k Z)，解得 6k，又330,令k1，得 min 6。答案： C规律总结：三角函数的图象只有平移周期的整数倍,平移之后的图象才可能与原图象重合。在应用过程中，熟练掌握一些根本技能，要重视运算、作图、推理以及科学计算器的 使用等根本技能训练，但要防止过于繁杂的运算。例题 临沂统考 作函数y= cotxsinx的图象。思路导航：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作函数的图象。函数y =cotxsinx的图象即是y= cosxx丰k,n k Z的图象，因此应作出 y= cosx的图象，但要把

14、x= k n k Z的这些点去掉。答案： 当 sinx 工0 即 xmk k Z 丨时，有 y = cotxsinx = cosx,即卩 y = cosxxmk n k Z。其图象如图，学习本章应该先复习角的概念,了解角度制的内容。在学习本章时应该注意任意角、 弧度制、任意角的三角函数的区别和联系,这是我们学习其他知识的根底。学习过程中, 对需要证明的内容要自己亲手证明,加强对公式的理解和记忆。对函数图象的作图过程要 抓住关键,充分利用周期性和奇偶性等函数性质简化作图过程。对三角函数式的化简求值 要多加强练习,注意对题型的归纳总结才可熟练解决相关问题。必修四 第二章 第 12 节向量的概念及表

15、示；向量的线性运算 、预习导学1. 向量的概念：。表示法。2. 平行向量的概念：、相等向量的概念：。3. 点O是正六边形 ABCDEF的中心，那么以下向量组中含有相等向量的是A. OB、CD 、FE、CBB. AB、CD 、FA、DEC. FE 、 AB、CB、OFD. AF 、 AB 、OC 、OD4. 向量的加法法那么：5. 数的运算：减法是加法的逆运算,6. 向量的加法运算：7.平面向量根本定理:1.2.3.4.O、向量共线定理:问题思考如何用数学符号和有向线段表示向量？向量加法的平行四边形法那么和三角形法那么如何？如何结合图形进行向量计算以及用两个向量表示其它向量？ 理解两向量共线平行

16、的充要条件，并会判断两个向量是否共线。金选好顾学以敛用.熱打铁】答题时间：60分钟、选择题、7T TT一1.集合 a lk+兀一a 4k_n, k Z中的角所表示的范围阴影局部是|A.C.252D. 1或5B.；或-2.角a的终边经过点 P一 4m ,A. 1 或一13m m0，贝U 2sin a+ cos a的值是3. f cosxA. si n3x=cos3x，贝U f sinx等于B. cos3xC. cos3xD. sin3x4. 天津sin a sin 0那么以下命题成立的是A. 假设a、0是第一象限角，那么 cos a cos 0B. 假设a、0是第二象限角，那么 tan a ta

17、n 0C. 假设a、0是第三象限角，那么 cos a cos 022V&CDn3ABy=sin2CDIIiIIIABIII4CDABCD chinaedu. c DmD假设a B是第四象限角，贝U5.要得到函数I - 21.A.向左平移一 I个单位_4C.向左平移-【个单位3，那么此三角形是10.上海函数y= x +sin|x|, x n n的大致图象是tan a tan 3的图象，只需将函数y = sin2x的图象jrB.向右平移一个单位4d.向右平移二q个单位86.a是某三角形的一个内角且sin aCOS n+ a=A.锐角三角形B.直角三角形且图象关于直线最小正周期为对称的是在一个周期内

18、的图象是D.等腰三角形 冷0 5 n贝U tan等于B. 2V&尸sin芈 jy=sin 2x -普 函数 y= tg 一 .daC.钝角三角形 假设 |sin =|,A. 1112 .V&12以下函数中，7.8.9. f coslC. f cosv f siD. f cos2 f sin2P到水面的距离y的水轮，水轮中心 O距水面2m , m与时间xt满足函数关系式12. 如图为一半径为 3m 轮上点水轮每分钟旋转4圈，水y = Asin ox+ $+ 2,那么27T15152兀A.,A = 5C.,A = 3coco二、填空题13.假设扇形的周长是14.函数15.tan = 2,那么|16

19、cm, 匚口灾 cosx |tany| 3sin 直-2cos sin 9 +3 cos 8圆心角是2弧度，那么扇形的面积是4丄唾T的值域是ii16. 二！.丨 . 一，y一._646o17. 不等式-7 nx 的解集是兀的单调减区间是18.函数.一1 -119.函数f x是周期为n的偶函数,且当时，一爲丁m-0, 02假设 x1 (0,，且 cosx-i 7，求 f(xj 的值29cos2 的值m、n、使得式子 0 时，sind =-=-|3 cos CI =-,5m 55m 52sinCL feesd-半二辛；当 mv 0 时，一 1 宀 _- . I : ,一 5皿 5- 5m 5Ssi

20、nCL +co d - - -。应选 B5 5 只3. A解析：法一令t = cosx，由三倍角公式求出ft= 4t3 3t，换元可得fsinx的解析式。法二把 sinx用cos x来表示，利用的条件fcosx=cos3x得出fsinx的解析式。解答过程：法一令 t = cosx,假设a、B同属于第二象限，那么弓 a & 0, cos aV 0, a为钝角，.这个三角形为钝角三角形。19叽7. C 解析：I |sin =T|,-V V 5 n2. B 解析：r(4m)2 ( 3m)2 5m f sinx= 4sin3x 3sinx = sin3x，应选 A。假设a、B同属于第三象限，那么假设a

21、、B同属于第四象限，那么B 丈 Cttan B均假定 0w sin 弘 cos of-；T cos3x= 4cos3x 3cosx, f cosx= cos3x= 4cos3x 3cosx, f t= 4t3 3t,v cos B 故A错。T，cos4. D解析：假设a B同属于第一象限，那么CKBVdnaplZL,cos aV cos B 故 C 错。101远程釵哥网 CHHAEDU.CW法二T f cosx= cos3x, f sinx= f cos3亓=cos3x= sin3x, 应选 A。2xx = cos3 _ _5. D sin a cos 0 2 =26. C 解析：T sin

22、n a cos n+ a=，5, 2sin a cos=,2屆将2I1y=tan 0=122 n,COS =可得y与x轴的一个交点不是n上为减函数，所以 f 10. C解析：由题意可知8. D解析：将=0，解得故排除B。应选A丰n排除B-排除C, D当函数y： 当 数，所以函数y = x si nx 又函数 y = x + sin|x|, 应的图象符合。可得y豊卡排除A00 又 y = cosx在0=x+ sinx在0 , n上为增函数且增速越来越小；n 0 时，T y = x sinx ,. y = 1 cosxQ 又 y = cosx在n, 0上为增函在0 , n上为增函数且增速越来越小；

23、x n n恒过一 n n和n n两点，所以C选项对7TX 3将x 代入y sin(一)可得323y=tg 二9. A解析：令tg23JTx = k可知函数$,1排除C。应选Dy=sin (2s -雯11. D 解析：由 fx= fx + 2知 T = 2, 又 x 3 , 5时，f x= 2 |x 4|, 可知当 3 f sin2。应选 D。12. D 解析：水轮每分钟旋转4圈4X27T 2TT6015又t半径为3m,水轮中心 O距水面2m, 最高点为5,即A = 3,应选D。二、填空题2=2x2X16= 16 cm2，故答案为 16 cm2。13. 16cm2解析：设扇形半径为 r,面积为S,圆心角是a,那么a= 2，弧长为a, 那么周长 16= 2r + a =2r + 2r = 4r, a r= 4,扇形的面积为:S= a2y = 1+ 1 + 1 = 3,y = 1 1 1 = - 1,y = 1 1 + 1 = 1,14.1,3解答：解：由题意知此题需要对角所在的象限进行讨论，以确定符号。 当角x在第一象限时， 当角x在第二象限时， 当角X在第三象限时，if516.解析：T16sin6 L/ 5兀 S .2 f 兀sm (- - xj H-cos r6 $4sin兀 一 (+cqs2sin ti+- 6 兀、丄E+ J?.;：4 1&51617. X