高中不等式所有知识及典型例题(超全)

1、v1.0可编辑可修改1313不等式的性质：.不等式大小比较的常用方法1 .作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2 .作商（常用于分数指数幕的代数式）；3.分析法；4.平方法；5.分子（或分母）有理化；6 .利用函数的单调性；7.寻找中间量或放缩法；8.图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。三.重要不等式1.(1)若a,bR,则a2b22ab(2)若a,b22R,则ab-（当且仅当ab时取22.(1)若a,bR*,则a_b 3abc (a,b,c+ a+b+c33/abc （当且仅当a=b=c时取等号）；R+,i=1,2,，n),当且仅当a1=a2=an取等号;变

2、式：a2+b2+c2ab+bc+ca;ab()2(a,bR+);abc(a：。)3(a,b,cR+)232ab a+ba& r & x/ab 0 z- a+b2a2+b2-2- b.(0a bn0,m0;a+m，应用一：求最值例1：求下列函数的值域(1) y = 3x 2 + T122x1(2) y=x+- x解题技巧:5技巧一：凑项例1 ：已知x 求函数y44x2，的最大值。4x 5评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当口 U工时，求y x(8 2x)的最大值。技巧三：分离 例3.求y x 12 7x 10 (x1)的值域。x 1技巧四：换元解析二

3、：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令 t=x+1,化简原式在分离求最值。(t 1)2 7(t 1)+10 t2 5t 4当X -1,即t=113口 时，y 2. 4 5 9 (当1=2即乂=1时取技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x) x a的单解：令x2 4t(tx2 5x21x2 41t -(t 2)1不在区间2,故等号不成立，考虑单调性。、x25调性。例：求函数yx5的值域。因为一一5所以，所求函数的值域为522.已知0x1,求函数yJx(1x)的最大值.；3.0x求函数yJx(23x)的最大值.3条件求最值1.若实数满足ab2,则3a3b的

4、最小值是分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值,解：3a和3b都是正数，3a3b2V3a3b2,3ab6当3a3b时等号成立，由ab2及3a3b得ab1即当ab1时，3a3b的最小值是6.、，、4.11变式：右log4xlog4y2,求一的取小值.并求x,y的值xy技巧六:整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2:已知一19.x0,y0,且一一1,求xy的取小值。xy技巧七、2已知x,y为正实数，且x2+y2=1,求x41+y2的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式a2+b2ab0得,0b1

5、5法二:令 t = b+1, 1t 16ab 存由已知得：30-ab = a+ 2b =16=2 （t +y ） +34-. t16c. 16+t 2/t 1当且仅当t=4,即b = 3, a=6时，等号成立。a+2b22 ab30 -ab2V2ab令u=qab贝U/+25u3000,-52u32-13/2,ab18点评:本题考查不等式bJa(a,bR)的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知2不等式aba2b30(a,bR)出发求得ab的范围，关键是寻找到ab与ab之间的关系，由此想到不等式贷疝(a,bR)，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.变式：1.已知a0,b0,

6、ab(a+b)=1,求a+b的最小值。2.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。技巧九、取平方的最值.5、已知x,y为正实数，3x+2y=10,求函数W弧十匹t,.、一a+b解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，0,W=3x+2y+2啊例=10+2,柄010+(啊)2(后)2=10+(3x+2y)=20W0=2小应用二：利用基本不等式证明不等式1.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca1)正数a,b,c满足a+b+c=1,求证：(1a)(1b)(1-c)8abc111例6:已知a、b、cR,且abc1。求证：一1一1一18abc分析：不等式右边数字8,使我

7、们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又11心.U”bc,可由此变形入手。aaaa1,1abc2bc1.2.ac1,2ab解：:a、b、cR,abc1。-1。同理1,1aaaabbcc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1111112.|2.|独b8。当且仅当abc1时取等号。abcabc3应用三：基本不等式与包成立问题19例：已知x0,y0且191,求使不等式xym包成立的实数m的取值范围。xy19/xy9x9y(10y9x(解：令xyk,x0,y0,-1,1.1xykxkykkxky103,_12。k16,m,16kk应用四：均值定理在比较大小中的应用：1 ab、例：右a

8、b1,PJlgalgb,Q(Iga1gb),Rlg()，则P,Q,R的大小关系是_一2 21分析：/ab1lga0,lgb0Q(lgalgb)Q22四.不等式的解法1.一元一次不等式的解法。2.一元二次不等式的解法3 .简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：(1)分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；(2)将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；(3)根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如(1)解不等式(x1)(x2)20。(答：xx1或x2)；(2)不等式(x2)Jx(答：(,1) (2,)5

9、.指数和对数不等式。6.绝对值不等式的解法：(1)含绝对值的不等式|x| a的解集 |ax+b| 0c(c 0)和 |ax+b| c(c 0)型不等式的解法2x30的解集是(答：x|x3或x1)；(3)设函数f(x)、g(x)的定义域都是R,且f(x)0的解集为x|1x2,g(x)0的解集为,则不等式f(x)|g(x)0的解集为(答：(，1”2，)；(4)要使满足关于x的不等式2x29xa0(解集非空)的每一个x的值至少满足不等式x24x30和x26x80中的一个，则实数a的取值范围是4 .分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式

10、中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母包为正或恒为负时可去分母。如(1)解不等式25x1x2x3(答：(1,14(2,3)；(2)关于x的不等式axb0的解集为(1,),则关于x的不等式您一b0的解集为x2|ax+b|c-cax+bcax+b1c或ax+bc(c0)和|x-a|+|x-b|0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。方法四：两边平方。例1:解下列不等式：（1）.x22xx（2）.-3-

11、x或x2-2x3或x0或0x1原不等式的解集为x|x0或0x3解法2（数形结合法）作出示意图，易观察原不等式的解集为x|x0或0x3第（1）题图第（2）题图【解析】：此题若直接求解分式不等式组，略显复杂，且容易解答错误；若能结合反比例函数一入一），、,11一一一一图象，则解集为x|x1或x2知x4.7.含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键.注意解完之后要写上:综上，原不等式的解集是”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如,2(1)若lOga21、则a的取值范围是32(2)解不等式-aJx(aR)ax1.、

12、2(答：a1或0a-)；1.(答：a0时，x|x0；a0时，x|x-或xa一1.、0；a0时，x|x0或x0)提醒：(1)解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示;a(2)不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式axb0的解集为（，1）,则不等式上_20的解集为（答：（1,2）axb五.绝对值三角不等式定理1：如果a,b是实数，则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时，等号成立。IIIIII注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当a,b不共线时，|，+&|，|十|b它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。（2）不等式|a|

13、-|b|ab|a|+|b|中“二”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|a+b|0,左侧“二”成立的条件是ab00且间|b|;不等式|a|-|b|a-b|a|+|b|,右侧“二”成立的条件是ab0且|a|引b|。定理2：如果a,b,c是实数，那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当（a-b）（b-c）时，等号成立。例1.已知0,xa,yb,求证2x3y2a3b5.例2.（1）求函数yx3x1的最大和最小值；（2）设aR,函数fxax2xa（1x1）.若a1,求|fx|的最大值例3.两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km处.现要在公路

14、沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次.要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处六.柯西不等式22222,2,2,22&bia2b2anbnaa?anbdbnaibiR，i1,2n等号当且仅当a1a2an0或bikai时成立（k为常数，i1,2n）类型一：利用柯西不等式求最值1,求函数y=$m互+仇2戈的最大值一：.大-1且1。-2苫30,函数的定义域为工FL5,且g0,y=5x71+近尺0由2g历石2G,127得5J10二2k2右二！口即5J10二+2Ja二1Q,解得271276后.当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解X=27时

15、函数取最大值，最大值为类型二：利用柯西不等式证明不等式2.设立、h、二为正数且各不相等，求证：口十83十二c+a或十3十二(-1T+4+-L)=g+b)+0+G+k+(2+4+-L)2_4+3b-c亡十厘由十8b-Hrc4-2U+1+iJy又式、&、匕各不相等，故等号不能成立口+33+二+aa+b+c。类型三：柯西不等式在几何上的应用6.ABC的三边长为a、b、c,其外接圆半径为R,求证:画十1)(4+-4-)岂36式21sin3Asin5sin3C证明：由三角形中的正弦定理得2虎，所以如12R苏1_位 同理常Ma *，1_4足sin7 C c2于是左边=+川+_4之36/sinJAsin3s

16、in3v1.0可编辑可修改七.证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差(商)后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧有：- -二n n 1 n(n 1) nn(n 1) n 1.k-1.k、11,k 2.k 、k Jkk k如(1)已知a b c,求证：a2b b2cab2 bc2(2)已知 a,b,c R,求证：a2b2 b2c2abc(a bc) ；(3)已知 a,b,x,y R ,且工 1,x a b求证:八.(4)若a、b、c是不全相等的正数,(5)已知 a,b,c R,求证：a2b2(6)若 n N(7)

17、已知|a|(8)求证:求证:,2 2 b c,alg 22 2 c ab.b c . c a .一lg lg lg a22abc(a b c);lg b lg c ;,求证： (n 1)2 1|b|,求证：1a| 1b| |a b|(n 1)|a| |b| .?|a b|1111 了2。不等式的包成立，能成立，恰成立等问题：不等式包成立问题的常规处理方式 程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征, 法)(常应用函数方 利用数形结合1).包成立问题若不等式f x A在区间D上包成立，则等价于在区间D上f xmin若不等式f x B在区间D上包成立，则等价于在区间D上f

18、xmax B如(1)设实数x,y满足x2 (y 1)2 1,当x y c 0时，c的取值范围是(答：V2 1,)；(2)不等式x 4a对一切实数x包成立，求实数a的取值范围1317(答：a1)；(3)若不等式2x1m(x21)对满足|m2的所有m都成立，则x的取值范围(答：(*);(4)若不等式(1)na 2 U)对于任意正整数n包成立，则实数a的取值范围是 n(5)若不等式x2 2mx 2m 1 0对0 x 1的所有实数x都成立，求m的取值范围.2 x 若不等式. 一 一 110gax,对x (0,-)2恒成立，则实数a的取值范围是此题直接求解无从着手，结合函数x2，一1,一及y= 10g ax在(0,一)上的图象2legal2_ /X. 1/4易知，a只需满足条件:11 一lOga1 1即可0V a 1,且 2 4从而解得I，1)2).能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式fA成立，则等价于在区间x max A；若在