1990考研数一真题解析

1、1990年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分.)x t 2(1)过点M(1,2, 1)且与直线y 3t 4垂直的平面方程是 x-3y-z+4=0z t 1设a为非零常数，则lim(0)x=e2ax x a11x11设函数f(x)，11，则 ff (x)=0,|x| 1,2 2积分 dx e0 xy2y dy的值等于1- e-42_已知向量组 1(1,2,3,4), 2(2,3, 4,5), 3(3,4,5,6),(4,5,6,7),则该向量的秩是2、选择题(本题共5个小题，每小题3分,满分15分.)(1)设f (x)是连续函数，且F(x)xef

2、(t)dt,则 F (x)等于x(A )(A) ex/Xf(e ) f(x)(B)xxe f (e )f(x)(C) e xf (e J f (x)(D)xxe f(e )f(x)已知函数f (x)具有任意阶导数，且 f (x)2f (x),则当n为大于2的正整数时，f (x)的n阶导数f (n)(x)是f(x)fn(D)n!f(x)2nn 1n 1可导,且f (0)0(B)(A) n! f (x)(B)nf(x)(C)n 1 nn(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与的取值有关(4)已知f (x)在x0的某个领域内连续,且 f(0)0, lim2 ,则在点x 0处x 0 1co

3、sxf(x)(D )设为常数，则级数(卑L( C )(A)不可导已知1、2是非齐次线性方程组 Ax b的两个不同的解,1、2是对应齐次线性方程组Ax0的基础解系，&,k2为任意常数，则方程组Axb的通解(一般解)必是(B )(A) k1 1k2( 12)2(B)K 1k2( 12)七(C) k1 1k2( 12)(D)K 1k2( 12)-2(C)取得极大值(D)取得极小值15分，每小题三、(本题满分5分.)(1)求1 ln(10 (2 x)x)dx.1ln (1+ x)dx= ln (1+ x)d解：蝌(2- x土叫 1+x)0-dx0 (1+ x)(2- x)=In 2-1 A?骣

4、 + 宅x =丄1 n23 A?2- x 1+ x3 设z f (2x y, ysi n x),其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数，求解：迪=2丄+yCOSxZ 抖u?v抖抖z扌乂 y=-2抖7+(2sinx- ycosx)+ ysinxcosx + cosx . u 抖/v2?v 求微分方程y 4y 4y e 2x的通解(一般解).Y= (G + C2x)e-2x解：特征方程为r2+ 4r + 4= 0的跟为饰=-2.对应齐次方程的通解为其G, C2中为任意常数.设原方程的特解为y* (x)= Ax2e 2x,代入原方程得A= 1 .22因此，原方程的通解为y (x) = Y + y =

5、(C1 + C2x)e 2x + e- 2x.四、(本题满分6分.)求幕级数(2n 1)xn的收敛域，并求其和函数n 0解：因为p= liman + 1=lim2n+ 31=1所以 R= =1r nann2n + l|p¥显然幕级数?(2n +1)xn在x= ?1时发散，故此幕级数的收敛域为(-1,1)1n二 0又 S(x)=邋(2n+ 1)xn = 2n.xn + 邋xn =n = 0n= 0n= 01 < x< 1.2x11+ x2 + 2 ， (1 - x)1 - X (1 - x)五、(本题满分8分), , 2 2 2求曲面积分| yzdzdx 2dxdy,其中S

6、是球面x y z 4外侧在z 0的部S分.解：令S,=获 + y2 ? ? z= 0,4其法向量与z轴的负向相同.设S和S1所围成的区域为Q,则由奥-高公式有 I + 蝌 yzdzdx + 2dxdy = 蝌? zdxdydz.SQ而蝌 yzdzdx = 0,蝌 2dxdy = - 2 蝌 dxdy = - 8 nS1S|x2 + y2 ? 4蝌蝌:dxdydz=Q2r cos(b?r2sin 6dr0所以I = 12n六、(本题满分7分)设不恒为常数的函数f (x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a) f(b).证明在(a,b)内至少存在一点，使得f ( )0.证：因f

7、 (a) = f (b)且f (x)不恒为常数，故至少存在一点c? (a, b),使得 f (c)? f (a)f (b).于是 f (c) f (a)或 f (c) f (a).现设f(c) f(a)，则 在a, c上因f (x)满足拉格 朗日定 理的条 件，故至 少存在 一点E翁(a, c)(a, b)，使得f f 9=轾(c)- f(a) > 0.对于f(c) f (a)情形，类似地可证c- a得此结果.七、（本题满分6分） 设四阶矩阵1100213401100213B,C50011002100010002且矩阵A满足关系式 A（Ec 1b)tCTE,其中E为四阶单位矩阵，C 1表

8、示C的逆矩阵,CT表示C的转置矩阵将上述关系式化简并求矩阵A.解：因 A(E C 1B)TCTA C(E1C 1B)1:A(Cb)t，故 A(C B)T=E,100-101000T-12100 =2100因此 A (C B)t=3210 =121043210121八、（本题满分8分）求一个正交变换，化二次型2Xi2 24x2 4x3 4xix24xiXa 8x2X3为标准形.骣 1- 22十解：二次型的矩阵 A冷24- 4|桫2- 44斗2-4 = -入-9）, A的特征值为4-入对于入=2=0,A-疋=珑珑2-24-40 0桫 020，从而可取特征向量0Pi正交的另一特征向量 一丄丄亠1-对

9、于入=9,A-疋=珑呂2珑珑2-2-5-40桫-5-9，取特征向量F3 =0将上述相互正交的特征向量单位化，得骣4骣1亠乖h i1l 2 i3/2，-1桫2| 2 i桫3壬故在正交变换下，二次型f = 9y32.47217217?3 3 - - 3九、(本题满分8分)质点P沿着以AB为直径的半圆周，从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过程中受变力 F作 用(见图).F的大小等于点P与原点0之间的距离,其方向垂直于线段 0P且与y轴正向的 夹角小于一，求变力F对质点P所作的功.2解：由题意，变力F=-yi+xj.圆弧AB的参数方程是如=2 +2 cos 0,3 n#0变力F所作的功W =蝌-y

10、dx+ xdy =n4毎3 n4犏2(3+ “2 sin 0)sin 0 +2 (2 + 2 cos 0)cos 0d 0 =2(n- 1).十、填空题(本题满分6分，每小题2分.)1(1)已知随机变量 X的概率密度函数 f(x) e|x|,2x ,则X的概率分布函数1 -_2-XFX-e1 - 2k!0.4、0.3和0.6,若B表示B的对(2)设随机事件 A、B及其和事件 AUB的概率分别是立事件，那么积事件 AB的概率P(AB) _0.3(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布，即P X kk 0,1,2丄,则随机变量Z 3X 2的数学期望E(Z) 4.十一、(本题满分6分.)设二维随机变量(X,Y)在区域D:0 x 1,| y I x内服从均匀分布，求关于X的边缘概率密度函数及随机变量 Z 2X