数值分析课后题答案

1、第一章绪论1设 x 0 , x 的相对误差为d ，求ln x 的误差。e *x * -x解：近似值 x 的相对误差为d =er =x *x *1x e *而ln x 的误差为e lx *进而有e (ln x*) d2设 x 的相对误差为 2%，求 xn 的相对误差。=| xf (x) |解：设 f (x) = xn ，则函数的条件数为Cpf (x)n-1又Q f (x) = nxn-1 , 又Q er (x*)n) Cp er (x*)且er (x*) 为 2er (x*) ) 0.02nn3下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个，试指出它们是几位有效数字： x*

2、= 1.1021 , x* = 0.031,x* = 385.6 ,x* = 56.430 , x* = 7 1.0.12345解： x* = 1.1021 是五位有效数字；1x* = 0.031是二位有效数字；2x* = 385.6 是四位有效数字；3x* = 56.430 是五位有效数字；4x* = 7 1.0. 是二位有效数字。5x* ,(2)* ,(3) x* / x* .4利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1)4324* 均为第 3 题所给的数。其中4解：11212121212e (x ) =*10-41e (x ) =10-3*2e (x ) =10-1*3e (x )

3、=10-3*4e (x ) =10-1*5(1)e (x*)4x*)4= 1 10-4 + 1 10-3 + 1 10-32= 1.0510-322(2)e (*)3e*)* )* )312= 1.1021 0.031 1 10-1 + 0.031 385.6 1 10-4 + 1.1021 385.6 1 10-3222 0.215e (x / x )*(3)242x*40.031 1 10-3 + 56.430 1 10-3=2256.430 56.430= 10-55 计算球体积要使相对误差限为 1，问度量半径 R 时的相对误差限是多少？解：球体体积为V = 4 p R33则何种函数的条

4、件数为Rg4p R2RgV Cp = 34 pVR33er (V *) Cp ger (R*) = 3er (R*)又Q er (V *) = 12x*4e (x*)21故度量半径 R 时的相对误差限为er (R*) = 3 1 0.3316设Y0 = 28 ，按递推公式Yn = Yn-1 - 100783（n=1,2,）计算到Y100 。若取 783 27.982 （5 位有效数字），试问计算Y100 将有多大误差？1解：Q Yn = Yn-1 - 1007831Y= Y -783100991001Y = Y -78399981001100Y = Y -78398971100Y = Y -7

5、83101依次代入后，有Y100 = Y0 -100 100783即Y100 = Y0 - 783 ，若取 783 27.982 , Y100 = Y0 - 27.9821e (Y) = e (Y ) + e (27.982) =10*-310002Y的误差限为 1 10-3 。10027求方程 x2 - 56x +1 = 0 的两个根，使它至少具有 4 位有效数字（783 = 27.982 ）。解： x2 - 56x +1 = 0 ，故方程的根应为 x1,2 = 28 783故 x1 = 28 +783 28 + 27.982 = 55.982 x1 具有 5 位有效数字111x = 28

6、- 783 = 0.017863228 + 27.98255.98228 +783x2 具有 5 位有效数字1N +18当 N 充分大时，怎样求N1+ x2 dx ？31N +1N1+ x2 dx = arctan(N +1) - arctan N解设a = arctan(N +1), b = arctan N 。则tana = N +1, tan b = N.11+ x2N +1Ndx= a - b= arctan(tan(a - b )= arctan tana - tan b1+ tana gtan bN +1- N1+ (N +1)N= arctan1N 2 + N +1= arcta

7、n9正方形的边长大约为了 100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2 ？解：正方形的面积函数为 A(x) = x2e ( A*) = 2 A*ge (x*) .当 x* = 100 时，若e ( A*) 1,则e (x*) 1 10-22故测量中边长误差限不超过 0.005cm 时，才能使其面积误差不超过1cm210设 S = 1 gt 2 ，假定 g 是准确的，而对 t 的测量有0.1秒的误差，证明当 t 增加时 S 的2绝对误差增加，而相对误差却减少。解：Q S = 1 gt 2,t 0 2e (S*) = gt 2 ge (t*)当t * 增加时， S * 的绝对误差增加(S*

8、) = e (S*)S *gt 2 ge (t*)er=1 g(t*)22= 2 e (t*)t*4当t * 增加时， e (t*) 保持不变，则 S * 的相对误差减少。11序列yn 满足递推关系 yn = 10 yn-1 -1(n=1,2,),若 y0 =2 1.41 （三位有效数字），计算到 y10 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解：Q y0 =2 1.411e ( y *) =10-202又Q yn = 10 yn-1 -1 y1 = 10 y0 -1e ( y1*) = 10e ( y0*)又Q y2 = 10 y1 -1e ( y2*) = 10e ( y1*)e ( y2*)

9、 = 10 e ( y *)20.e ( y*) = 10 e ( y *)10100= 1010 1 10-22= 1 10821时误差为 108 ，这个计算过程不稳定。计算到 y10212计算 f = ( 2 -1)6 ，取 2 1.4 ，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？11,(3 - 2 2)3 ,， 99 - 70 2 。( 2 +1)6(3 + 22)3解：设 y = (x -1)6 ，若 x =2 ， x* = 1.4 ，则e( x* ) = 1 10-1 。21若通过计算 y 值，则2 +1)6(51e( y* ) = - -6ge( x* )(x* +1)76=y*e(

10、 x* )(x* +1)7= 2.53y*e( x* )若通过(3 - 2 2)3 计算 y 值，则e( y* ) = -3 2 (3 - 2x*)2 ge( x* )6=y*ge( x* )3 - 2x*= 30 y*e( x* )1若通过计算 y 值，则(3 + 2 2)31e( y* ) = - -3ge( x* )(3 + 2x*)41(3 + 2x*)7= 6y*e( x* )= 1.0345 y*e( x* )1通过计算后得到的结果最好。(3 + 2 2)32 -1) ,求 f (30) 的值。若开平方用 6 位函数表，问求对数时误差有多13 fx +x2 -1)大？若改用另一等价

11、公式。ln(计算，求对数时误差有多大？ 解2 -1) , f (30) = ln(30 -Q f899)设u =899, y = f (30)则u* = 29.9833e(u* ) = 1 10-42故61e( y* ) -e(u* )30 - u*1=ge(u* )0.0167 310-3若改用等价公式x +x2 -1)ln(则 f (30) = -ln(30 + 899)此时，1e( y* ) =-e(u* )30 + u*1= e(u* )59.9833 810-7第二章 插值法1当 x = 1, -1, 2 时， f (x) = 0, -3, 4 ,求 f (x) 的二次插值多项式。解

12、：x2 = 2,f (x0 ) = 0, f (x1 ) = -3, f (x2 ) = 4;l0+- 2)02- 2)l112-+ 1)l221则二次拉格朗日插值多项式为2L2 (x) = yklk (x)k =0= -3l0 (x) + 4l2 (x)=- 2= 5 x2 + 3 x - 762343x -1)(x +1)2给出 f (x) = ln x 的数值表7用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值。解：由表格知，x2 = 0.6, x3 = 0.7, x4 = 0.8;f (x0 ) = -0.916291, f (x1) = -0.693147 f (x2 ) = -0.

13、510826, f (x3 ) = -0.356675 f (x4 ) = -0.223144若采用线性插值法计算ln 0.54 即 f (0.54) ， 则0.5 0.54 0.6- 0.6)l1(- 0.5)l2 (L1(x) = f (x1)l1(x) + f (x2 )l2 (x)= 6.93147(x - 0.6) - 5.10826(x - 0.5) L1(0.54) = -0.6202186 -0.620219若采用二次插值法计算ln 0.54 时，x - 0.6)l0 (02- 0.6)l1 (12x - 0.5)l2 (2L2 (x) = f (x0 )l0 (x) +1f

14、(x1 )l1 (x) + f (x2 )l2 (x)= -50 0.916291(x - 0.4)(x - 0.5) L2 (0.54) = -0.61531984 -0.6153203给全cos x, 0o x 90o的函数表，步长 h = 1 = (1/ 60)o, 若函数表具有 5 位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。解：求解cos x 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x 是近似值，具有 5 位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差 ；另一方面，利用插值法求函数cos x 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为 0，也会有一定的误差。因此，总误差界

15、的计算应综合以上两方面的因素。8X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144当0o x 90o 时，令 f (x) = cos x1pp1取 x0 = 0, h = ( 60) =o60 18010800令 xi = x0 + ih,i = 0,1,.,5400p2则 x5400 = 90oxk -1 时，线性插值多项式为当x - xkL (x)f (x )1x- xk +1k插值余项为12f (x )(R(x) =cos x - L (x)=x - x)k +11又Q 在建立函数表时，表中数据具有 5 位有效

16、数字，且cos x 0,1 ，故计算中有误差过程。e ( f *(x ) = 1 10-5k2x - xk +1R (x)( f(xk 1- xxk +1kx - xk +1 xk +1 - xke ( f *(+)- xk +1e ( f *= e ( f *(x )k总误差界为- x + x - xk )9R = R1(x) + R2 (x)1 (-cos=x - x) + e ( f *(x )k +1k2 1 - x) + e ( f *(x )(xk +1k2 1 ( h)21+ e ( f (xk )2*2= 1.06 10-8 + 1 10-52= 0.50106 10-54设为

17、互异节点，求证：n j jl (x) xk(k = 0,1,L , n);（1）xkj=0n（2） (x - x)k l (x) 0(k = 0,1,L , n);jjj=0证明（1） 令 f (x) = xkn若插值节点为 x , j = 0,1,L, n ，则函数 f (x) 的n 次插值多项式为 L (x) =x l (x) 。kjnj jj=0f (n+1) (x )插值余项为 Rn (x) = f (x) - Ln (x) =wn+1(x)(n + 1)!又Q k n, f (n+1) (x ) = 0 Rn (x) = 0n j jxl (x) = xk(k = 0,1,L , n

18、);kj=0n(2)(x - x)k l (x)jjj=0nn j ik -i=(C x (-x)l (x)k jjj=0i=0nn j j=C (-x)(x l (x)ik -iiki=0j=0又Q 0 i n由上题结论可知10n j jx l (x) = xikj=0n k原式 =Cik -i i(-x)xi=0= (x - x)k= 0得证。f (x) C 2 a,b 且f (a) = f (b) = 0, 求证：5 设 1 (b - a)2 maxf (x) .maxaxbf (x)8axb解：令 x0 = a, x1 = b ，以此为插值节点，则线性插值多项式为x - x0L (x)

19、f (x )1x - x0x - bx - a= = f (a)+ f (b)a - bx - a又Q f (a) = f (b) = 0 L1(x) = 0插值余项为 R(x) = f (x) - L (x) = 1 f x )(x - x )101212 f (x)- x )(x - x )01(x - x1)又Q2 1 2(x1 - x)= 1 (x - x)2104= 1 (b - a)24 1 (b - a)2 maxf (x) . maxaxbf (x)8axb6在-4 x 4 上给出 f (x) = ex 的等距节点函数表，若用二次插值求ex 的近似值，要使截断误差不超过10-6

20、 ，问使用函数表的步长 h 应取多少？解：若插值节点为 xi-1, xi 和 xi+1 ，则分段二次插值多项式的插值余项为111R (x) =f (x )- x )xi+1213! Rx - xi+1) maxf (x)-4x4设步长为 h，即 xi-1 = xi - h, xi+1 = xi + h 1 e4 h3 =3 e4h3.2 R (x)263 327若截断误差不超过10-6 ，则 10-6R (x)2 3 e4h3 10-6 27 h 0.0065.7若 yn = 2 ,求D y 及d y .，n44nn解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。yn = 2nD4 y =

21、(E -1)4 ynn(-1) j 4 E4- j y4= j=04= j=04= j n (-1) j 4 y j 4+n- j (-1) j 4 24- j y j n j=0= (2 -1)4 yn= yn= 2n1- 1d 4 y = (E 2 - E 2 )4 ynn- 1= (E 2 )4 (E -1)4 y= E-2D4 yn= yn-2= 2n-28 如果 f (x) 是 m 次多项式，记 Df (x) = f (x + h) - f (x) ，证明 f (x) 的 k 阶差分n12Dk f (x)(0 k m) 是 m - k 次多项式，并且Dm+1 f (x) = 0 （

22、l 为正整数）。解：函数 f (x) 的Taylor 展式为f (x + h) = f (x) + f (x)h + 1 f (x)h2 +L +f (m) (x)hm +11f (m+1) (x )hm+1(m +1)!2m!其中x (x, x + h)又Q f (x) 是次数为 m 的多项式 f (m+1) (x ) = 0Df (x) = f (x + h) - f (x)= f (x)h + 1 f (x)h2 +L +f (m) (x)hm12Df (x) 为 m -1 阶多项式m!D2 f (x) = D(Df (x)D2 f (x) 为 m - 2 阶多项式依此过程递推，得Dk

23、f (x) 是 m - k 次多项式Dm f (x) 是常数当l 为正整数时，Dm+1 f (x) = 09证明D( fk gk ) = fk Dgk + gk +1Dfk证明D( fk gk ) =fk +1gk +1 - fk gkfk +1gk +1 - fk gk +1 + fk gk +1 - fk gk= gk +1 ( fk +1 -fk ) + fk (gk +1 - gk )= gk +1Dfk + fk Dgk= fk Dgk + gk +1Dfk得证n-1n-110证明 fk Dgk = fn gn -k =0f0 g0 - gk +1Dfk k =0证明：由上题结论可知

24、13fk Dgk = D( fk gk ) - gk +1Dfkn-1 fk Dgk k =0n-1= (D( fk gk ) - gk +1Dfk )k =0n-1n-1= D( fk gk ) - gk +1Dfkk =0Q D( fk gk ) =D( fk gk )k =0fk +1gk +1 - fk gkn-1k =0= ( f1g1 - f0 g0 ) + ( f2 g2 - f1g1 ) +L + ( fn gn - fn-1gn-1)= fn gn - f0 g0n-1n-1 fk Dgk = fn gn - f0 g0 - gk +1Dfkk =0k =0得证。n-111证

25、明 D2 y = Dy - Dyjn0j=0n-1n-1证明D2 yj=0j 1=(Dy- Dy )+jjj=0= (Dy1 - Dy0 ) + (Dy2 - Dy1) +L + (Dyn - Dyn-1 )= Dyn - Dy0得证。f (x) = a + a x +L + axn-1 + axn 有 n 个不同实根x ，12若01n-1nn0, 0 k n - 2;xkn证明： j= f (x )n-1, k = n -1 0j=1j证明：Q f (x) 有个不同实根xnxn-1 + a xn且 f (x) = a + a x +L + an-101n f (x) = axxn )令wnx

26、 - xn )x )xkxknn则j= jf (x j )j=1 anwn (xj )j=114而wnL (x - xn )x(xxn+xxn-1)w(xj - xn )xx jx j+1 )L令 g(x) = xk ,xkn = jgnw(x )j=1njxkn = j则 gnw(x )j=1njxkn1又j=gf (x )anj=1jn0, 0 k n - 2;xknj= f (x )n-1, k = n -1j 0j=1得证。13证明n 阶均差有下列性质：（1）若 F (x) = cf (x) ，则 F = cf n ;LLL（2）若 F (x) = f (x) + g(x) ，则 F

27、证明：f g n .LLf (x j )nn = j=0（1）f- x(x - x )Ljj+1jnnF (x j )n = j=0F- x)L (x- x )jj+1jnn= j=0cf (x j )j - x j+1)L (xj - xn )f (x j )n= c(j=0)j - x j+1 )L (xj - xn )= cf n 得证。(2)Q F (x) =f (x) + g(x)15nF (x j ) FL (xj - xn )(xjf (x j ) + g(x j )n= j=0j - x j+1)Lf (x j )(xj - xn )n= j=0)j - x j+1)L(xj

28、- xn )g(x j )n+ )- x)L (x - xj=0jj+1jnf x0,L, xn + g x0,L , xn =得证。14 f4 + 3x +1, 求 F 20, 21,Lx4 + 3x + 1, 27 及 F 20, 21,L, 28 。解：Q f若 x = 2i ,i = 0,1,L ,8if (n) (x )n =f则n!f (7) (x )7!x7 = f= 17!7!f (8) (x )8 = 0f8!15证明两点三次埃尔米特插值余项是R (x) =f (4) ()xx)kk +13解：xk +1，且插值多项式满足条件若H3 (xk ) = f (xk ), H3(x

29、k ) = f (xk )H3 (xk +1 ) = f (xk +1 ), H3(xk +1) = f (xk +1)插值余项为 R(x) = f (x) - H3(x)由插值条件可知 R(xk ) = R(xk +1) = 016且 R(xk ) = R(xk +1) = 0 R(x) 可写成 R(x)- xk ) (x - x)22k +1g其中 g(x) 是关于 x 的待定函数，现把 x 看成xk , xk +1 上的一个固定点，作函数j(t) = f (t) - H3 (t) - g(x)(t - xk ) (t - x)22k +1根据余项性质，有j(xk ) = 0,j(xk +

30、1) = 0j(x) = f (x) - H3(x)= f (x) - H3(x) - R(x)= 0xk ) (x - x)22k +1j(t) = f (t) - H (t) - g(x)2(t - x )(t - x)2 + 2(t - x)(t - x )2 k +1k +13kkj(xk ) = 0j(xk +1) = 0由罗尔定理可知，存在x (xk , x) 和x (x, xk +1 ) ，使j(x1) = 0,j(x2 ) = 0即j(x) 在xk , xk +1 上有四个互异零点。根据罗尔定理， j(t) 在j(t) 的两个零点间至少有一个零点，故j(t) 在(xk , xk

31、 +1) 内至少有三个互异零点，依此类推， j (4) (t) 在(x , x) 内至少有一个零点。kk +1记为x (xk , xk +1) 使j (4) (x ) = f (4) (x ) - H (4) (x ) - 4!g(x) = 03又Q H3(t) = 0(4)(4) gk +1)17其中x 依赖于 x(4) R-)2 (x - x)2k +1k分段三次埃尔米特插值时，若节点为 xk (k = 0,1,L, n) ，设步长为 h ，即xk = x0n 在小区间xk , xk +1 上(4)- x )2 (x - x)2Rk +1k14!f (4) (x ) R(x)=- x)2k

32、 +114!2 (x- x)2 maxf (4) (x)k +1axbxk +1 - x )2 2 max 1 (f (4) (x)4!2axb1 1=h4 maxaxbf (4) (x)244!h4=max(4)f(x)384 axb16 求 一 个 次 数 不 高 于 4次 的 多 项P(0) = P(0) = 0, P(1) = P(1) = 0, P(2) = 0解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于 4 的多项式x0 = 0, x1 = 1y0 = 0, y1 = 1m0 = 0, m1 = 11式P（x） ，使它满足(x) =y ja j (x) +mj b j (x)- x1= (

33、1+ 2x)(x -1)2a1= (3 - 2x)x2b0b1x -1)2x218 H3x3 + 2x2设 P(x) = H- x )2(x)A301其中，A 为待定常数Q P(2) = 1 P A = 14从而 P2 + Ax2 (x -1)2- 3)217设 f (x) = 1/(1+ x2 ) ，在-5 x 5 上取 n = 10 ，按等距节点求分段线性插值函数 I (x) ，h计算各节点间中点处的 Ih (x) 与 f (x) 值，并估计误差。解：若 x0 = -5, x10 = 5则步长 h = 1,xi = x0 + ih,i = 0,1,L ,101f (x) =1+ x2在小区

34、间xi , xi+1 上，分段线性插值函数为I ( )11+2i+1各节点间中点处的 Ih (x) 与 f (x) 的值为当 x = 4.5 时， f (x) = 0.0471, Ih (x) = 0.0486当 x = 3.5 时， f (x) = 0.0755, Ih (x) = 0.0794当 x = 2.5 时， f (x) = 0.1379, Ih (x) = 0.1500当 x = 1.5 时， f (x) = 0.3077, Ih (x) = 0.3500当 x = 0.5 时， f (x) = 0.8000, Ih (x) = 0.750019误差2 h8f (x) - If

35、(xmaxxi+1(x)max-5x5)h1又Q f (x) =1+ x2-2x f (x) =,(1+ x2 )26x2 - 2f (x) =(1+ x2 )324x - 24x3f (x) =(1+ x2 )4令 f (x) = 0得 f (x) 的驻点为 x1,2 = 1和 x3 = 0f (x ) = 1 , f (x ) = -21,232 1 max-5x5f (x) - I (x)h418求 f (x) = x2 在a,b 上分段线性插值函数 I (x) ，并估计误差。h解：在区间a,b 上， x0 = a, xn = b, hi = xi+1 - xi ,i = 0,1,L,

36、n -1,h = max hi0in-1Q f (x) = x2函数 f (x) 在小区间xi , xi+1 上分段线性插值函数为I ( )1h- x )x)ii误差为20 1 maxx ) ghf (x) - I (x)2maxxi+1f (hi8 ax bQ f (x) = x2 f (x) = 2x, f (x) = 2h2 maxaxbf (x) - Ih (x)419求 f (x) = x4 在a,b 上分段埃尔米特插值，并估计误差。解：在a,b 区间上， x0 = a, xn = b, hi = xi+1 - xi ,i = 0,1,L , n -1,令 h = max hi0in

37、-1Q f (x) = x4, f (x) = 4x3函数 f (x) 在区间xi , xi+1 上的分段埃尔米特插值函数为-I ( )fx )i)1)+1 )x 4=+ ) (hi + 2x - 2xi )2 i xh 3ixi+(h - 2x(x)+iihi4(x - x )ihi4- x )2 (x - x )i+1ii误差为f (x) - Ih (x) 1f (4) (x )=x - x)2i+14!1hi(x ) ()f (4)4max24 axb221又Q f (x) = x4 f (4) (x) = 4! = 24 maxh 4h416f (x) - Ih (x) max i 0

38、in-1 16axb20给定数据表如下：试求三次样条插值，并满足条件：(1)S(0.25) = 1.0000, S(0.53) = 0.6868;(2)S(0.25) = S(0.53) = 0.解：h0 = x1 - x0 = 0.05 h1 = x2 - x1 = 0.09 h2 = x3 - x2 = 0.06 h3 = x4 - x3 = 0.08hj-1hjQ m =, l =jh- hjh- hj-1jj-1j m =, m = 3 , m = 3 , m = 1512341457l =, l = 2 , l = 4 , l = 1912301457x1) - f (x0 ) =

39、0.9540fx1 - x0f x1, x2 = 0.8533f x2 , x3 = 0.7717f x3, x4 = 0.715022Xj0.250.300.390.450.53Yj0.50000.54770.62450.67080.7280(1)S(x0 ) = 1.0000, S(x4 ) = 0.68686 ( f x , x - f ) = -5.5200d =0120h0f x1, x2 - f x0 , x1 = -4.3157d = 61h + h01f x2, x3 -f x1, x2 = -3.2640d = 62h + h12f x3, x4 - f x2, x3 = -

40、2.4300d = 63h + h23d = 6 ( f - f x , x ) = -2.11504434h3由此得矩阵形式的方程组为-5.5200-4.315725141M091422M135252=-3.2640M237472-2.4300-2.1150M31M4求解此方程组得M 0 = -2.0278, M1 = -1.4643M 2 = -1.0313, M 3 = -0.8070, M 4 = -0.6539Q 三次样条表达式为(x - x)3S (x) = M+jj+1j6h6hjjx- xx - xh 2h 2MMj jj+1j+1 j+( y -+ ( y-j ( j = 0

41、,1,L, n -1)j+1j6h6hjj将 M 0 , M1, M 2 , M 3 , M 4 代入得23-6.7593(0.30- x) +10.9662(x - 0.25)x 0.25, 0.30-2.7117(0.39- x) + 6.9544(x - 0.30)x 0.30, 0.39S (x) = -2.8647(0.45- x) +10.9662(x - 0.39)x 0.39, 0.45-1.6817(0.53- x) + 9.1087(x - 0.45)x 0.45, 0.53(2)S(x0 ) = 0, S(x4 ) = 0d0 = 2 f0= 0, d1 = -4.315

42、7, d2 = -3.2640d3 = -2.4300, d4 = 2 f4= 0l0 = m4 = 0由此得矩阵开工的方程组为M 0 = M 4 = 0 291420 M -4.3157 12 M = -3.2640 35 2 5 M -2.4300 2 3 37 0求解此方程组，得M 0 = 0, M1 = -1.8809M 2 = -0.8616, M 3 = -1.0304, M 4 = 0又Q 三次样条表达式为(x - x)3S (x) = M+jj+1j6h6hjjx- xx - xh 2h 2MM+( y -j jj+1+ ( y-j+1 jj)j+1j6h6hjj将 M 0 , M1, M 2 , M3 , M 4 代入得24-6.2697(x - 0.25)x 0.25, 0.30-3.4831(0.39- x) + 6.9518(x - 0.30) S (x) = x 0.30, 0.39-2.3933(0.45- x) +11.1903(x - 0.39)x 0.39, 0.45-2.1467(0.53x - 0.45)x 0.45, 0.53f (x) C 2 a,b, S (x) 是三次样条函数，证明：21若bb22(1)f (x)dx -S (x)dxaabb22=f (x) - S (x)dx + 2S (x) f