高中数学-数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧

1、精品数列求和通项分式法错位相减法反序相加法分组法分组法合并法数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法1'等差数列求和公式：Sn峋严问nVd2、等比数列求和公式：Snnaai(1qn)1 q(q 1) arv(q 1)自然数方哥和公式：n13、 Snk -n(n 1)k 124、Snk2k 11-n(n 1)(2n

2、 1)6感谢下载载八n3125、Snkn(n1)k12例求和1+x2+x4+x6+x2n+4(xw0).该数列是首项为1,公比为x2的等比数列而且有n+3项当x2=1即x=±1时和为n+3当翼，沪唧馥沪±咻评注:(1)利用等比数列求和公式.当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x是否为0进行讨论.(2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n项.2n1对应高考考题：设数列1,(1+2),，(1+2+22),的前顶和为sn,则sn的值。二、错位相减法求和n项和公式时所用的方法，这种方错位相减法求和在高考中占有相当重要

3、的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前法主要用于求数列an-bn的前n项和，其中an、bn分别是等差数列和等比数列.求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法例求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1(X1)解：由题可知，(2n1)xn1的通项是等差数列2n1的通项与等比数列xn1的通项之积设xSn1x3x25x37x4(2n1)xn.(设制错位)得(1x)Sn12x2x22x32x42xn1(2n1)x

4、n(错位相减)1xn1n再利用等比数列的求和公式得：(1x)Sn12x(2n1)x1xSn(2n1)xn1(2n1)xn(1x)(1x)2注意、1要考虑当公比x为值1时为特殊情况2错位相减时要注意末项此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。对应高考考题：设正项等比数列an的首项ai1-,刖n项和为Sn,且2210S30(2101)S20S100。(I)求an的通项;(n)求nSn的前n项和Tn。三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序）,再把它与原数列相加，就可以得到n个（aian).例求证：C03C：5C2(2n1)

5、Cn(n1)2n证明：设SnC03Cn5C2(2n1)Cn把式右边倒转过来得Sn(2n1)Cn(2n1)Cn13cnC0（反序）又由cnmCn1m可得Sn(2n1)C0(2n1)cn3C；+得2Sn(2n2)©CnCnCnCn)2(n1)2n（反序相加）Sn(n1)2n四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可若数列an的通项公式为Cnanbn,其中an,bn中一个是等差数列,另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法。,1111例:求数列仁2丁394行的前n项和；分析：数列的通项公式为

6、an-1分别是等差数列、2n等比数列，求和时一般用分组结合法;解:因为an1Sn(12)(211N(38)(123n)(21一，）（分组）前一个括号内是一个等比数列的和,后一个括号内是一个等差数列的和，因此1(1Ln(n1)22n12五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(3)(5)ananan例求数列f(n1)1n(n1)f(n)(2)sinlcosncos(n1)tan(n1)tann(4)an(2n)2(2n1)(2n1)111-(一22n1n(n1)(n2

7、)2n(n1)(n解：设an则Sn2,2.3,的前n项和.（裂项）1.2-2.3（裂项求和）=('2-1)(32)小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。注意：余下的项具有如下的特点1余下的项前后的位置前后是对称的。2余下的项前后的正负性是相反的。和.练习在数列an中，ann，又bnn12一，求数列bn的前n项的anan1六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求 10g 3 a110g

8、3 a2log 3 a10 的值.解：设 Snlog 3 a1 log 3 a2log 3 aio由等比数列的性质 m n pamana paq（找特殊性质项）和对数的运算性质lOga M lOga Nlog a M NSn(log 3 a1log 3aio)(log 3 a2log 3 a9)(log 3 a5 log 3 a6)（合并求和）=(log 3 aiaio) (log3 a2 a9)(log 3 a5a6)=log 3 9log 3 9log3 9=10数列的求和方法多种多样，它在高考中的重要性也显而易见。我们的学生在学习中必须要掌握好几种最基本的方法，在解题中才能比较容易解决数

9、列问题。精品感谢下载载、公式法数通项公式的十种求法例 1 已知数an 满足an 12an32n，a12，求数an的通项公式。二、累加法例 3 已知数an 满足an 1例2已知数列an满足an1an2n1,ai1,求数列an的通项公式。an23n1，a13，求数an的通项公式。例4已知数列an满足ani3an23n1,a13,求数列%的通项公式。三、累乘法例5已知数列an满足ani2(n1)5n%,a13,求数列an的通项公式。例6(2004年全国I第15题，原题是填空题)已知数列an满足a11，ana12a23a3L(n1)an1(n2),求an的通项公式。四、待定系数法例7已知数列an满足a

10、n12an35n，a16，求数列an的通项公式。例8已知数列an满足an13an52n4，a11，求数列an的通项公式。例 9 已知数列an 满足an 122an3n4n5，a11，求数列an的通项公式。五、对数变换法例 10 已知数列 an 满足an 1n523an,a17,求数列an的通项公式。六、迭代法5 ，求数列an 的通项公式。例11已知数列an满足an1an3(n1)2n，a1精品感谢下载载七、数学归纳法例12已知数列an满足an1an8(n1)a(2n1)2(2n3)2'18,求数列an的通项公式。9八、换元法例13已知数列an满足an1看(14anJ124an),ai1,求数列an的通项公式。九、不动点法一一，一一一一21a24例14已知数列an满足an1，4