高中数学1-2第3课时等比数列的前n项和同步导学案北师大版必修5

1、知能目标解读1 .掌握等比数列的前n项和公式的推导方法-错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数列的前n项和.2 .掌握等比数列前n项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前n项的问题.在应用时，特别要注意q=1和qw1这两种情况.3 .能够利用等比数列的前n项和公式解决有关的实际应用问题.重点难点点拨重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前n项和公式解决有关问题.难点：研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前n项和的公式及公式的灵活运用学习方法指导1 .等比数列的前n项和公式nai(1)设等比数列an,其首项为ai,公比为q,则其前n项和公式为(q=1)"(1 qn)1

2、q(qw1)也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处.因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是不等于1,如果q可能等于1,则需分q=1和qw1进行讨论.(2)等比数列an中，当已知a1,q(qw1),n时，用公式$=a1(1q),当已知a1,q(qw1),an时，用公1q式$=a1_1 q2 .等比数列前n项和公式的推导除课本上用错位相减法推导求和公式外，还可以用下面的方法推导(1)合比定理法由等比数列的定义知：a2=-a3-=-=-an-=q.aa2an1当qw1时，a2a3an-=q,即Sna1=q.aa2an

3、1Snan故$=a_£=虫且.1 q1q当q=1时，$=na1.(2)拆项法S=a1+a1q+a1q2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+-+a1qn-2)=a1+qS-1=ai+q(Sn-an)当qw1时，S=a1-=文心.1 q1q当q=1时，Sn=na1.(3)利用关系式$-S-尸an(n>2).当nR2时，Sn=ai+a2+a3+-.+an=ai+q(ai+a2+-+an-i)=ai+qSn-iS=ai+q(S-an)即(1-q)S=ai(1-qn)当qwl时，有Sn=a1(1_q,1q当q=i时，Sn=nai.注意：(1)错位相减法，合比定理法，拆项法及an与S的

4、关系的应用，在今后解题中要时常用到，要领会这些技巧.(2)错位相减法适用于an为等差数列，bn为等比数列，求anbn的前n项和.3 .等比数列前n项和公式的应用(1)衡量等比数列的量共有五个：a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量(2)公比q是否为1是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，注意分q=1和qw1的讨论.4 .等比数列前n项和公式与函数的关系当公比qw1时，令A=3,则等比数列的前n项和公式可写成Sn=-Aqn+A的形式.由此可见，非常数1q列的等比数列的前n项和S是由关于n的一个指数式与一个常数的和构

5、成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.当公比q=1时，因为a1W0,所以S=na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数).(2)当qw1时，数列SS,S3,，Sn,的图像是函数y=-Acf+A图像上的一群孤立的点.当q=1时，数列S,S2,Sb,，S,的图像是正比例函数y=a1X图像上的一群孤立的点.知能自主梳理1 .等比数列前n项和公式(1)等比数列an的前n项和为Sn,当公比qw1时，Sn=;当q=1时，S=.(2)推导等比数列前n项和公式的方法是.2 .公式特点(1)若数列an的前n项和Sn=p(1-qn)(p为常数),且qw0,qw1,则数列an为.(2)在等比数列的前n项和公式中

6、共有a1,an,n,q,Sn五个量，在这五个量中知求.答案1.(1)、(1q)aaqna1(2)错位相减法1 q1q2 .(1)等比数列(2)三二思路方法技巧命题方向等比数列前n项和公式的应用例1设数列an是等比数列，其前n项和为S,且S=3a3,求此数列的公比q.分析1应用等比数列前n项和公式时，注意对公比q的讨论.解析当q=1时，$=3a1=3a3,符合题目条件；当qwl时，a1(1_q_2=3aiq2,1q因为aiw。,所以1q3=3q2(1-q),2q3-3q2+1=0,(q-1)2(2q+1)=0,解得q=-1.2综上所述，公比q的值是1或1.2说明(1)在等比数列中，对于a1,an

7、,q,n,Sn五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量(2)等比数列前n项和问题，必须注意q是否等于1,如果不确定，应分q=1或qw1两种情况讨论.(3)等比数列前n项和公式中，当qw1时，若已知a1,q,n利用&=巴«一q_)来求；若已知ai,a%q,利用1qS=&anq来求.1q变式应用1在等比数列an中，已知$=，S6=63，求an.22解析S=63,S3=7,22&W2&,qw1.3翅1q)=71qq2a1(1q6)=史L1q2+得1+q3=9,，q=2.公，,、一m1将q=2代入，付a1=,2an=a1qn-1=2n-2.命题方向等比数列前

8、n项的性质例2在等比数列an中,已知S=48,Sn=60，求Sn.分析1利用等比数列前n项的性质求解.解析.an为等比数列J,S,S2n-S,$n-S2n也成等比数列J,.(S2n-Sn)=&( S3n- S2n)2_2.&n=(S2nSn)+S2n=(6048)+60=63.Sn48说明等比数列连续等段的和若不为零时，则连续等段的和仍成等比数列变式应用2等比数列an中，S2=7,4=91，求&.解析解法一：an为等比数列，S2,S4-S2,S-&也为等比数列,3，(3-7)2=7X(91-&),解得&=28或-21.2222-S=ai+a2+a

9、3+a4=ai+a2+aiq+a2q=S2+S2q=S2(1+q)>0,$=28.解法二：;S2=7,S6=91,.qwl.ai(1q2)=71qai(1心=91L1q:得q4+q2-12=0,，q2=3,q=±屈.当q=*3时，a1=7Al,2.S=a1(1/)=28.1q当q=-33时，a1=-7(3-1),2.8=a(Jqj=28.1q探索延拓创新命题方向等比数列前n项和在实际问题中的应用例3某公司实行股份制，一投资人年初入股a万元，年利率为25%由于某种需要，从第二年起此投资人每年年初要从公司取出x万元.(1)分别写出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中

10、的资产本利和；(2)写出第n年年底，此投资人的本利之和bn与n的关系式(不必证明)；(3)为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a万元恰好翻两番的目标，若a=395,则x的值应为多少?(在计算中可使用lg20.3)解析(1)第一年年底本利和为a+a25%=1.25a,第二年年底本利和为(1.25a-x)+(1.25a-x)X25%=1.252a-1.25x,第三年年底本利和为(1.252a-1.25x-x)+(1.252a-1.25x-x)25%=1.253a-(1.252+1.25)x.(2)第n年年底本利和为bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+1.25)x.(3)

11、依题意，有395X1.2520-(1.2519+1.2518+1.25)x=4X395,_20,x=395(1.254)1.25(1.25191)_200.25395(1.254)小=2P-.1.251.25设1.2520=t,.lgt=20lg()=20(1-3lg2)=2.8t=100，代入解得x=96.变式应用3某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房，银行货款的年利息为10%,按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息).若这笔款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？解析第1次还款x元之后到第2次还款之日欠银行20000(1+10%)-x=

12、20000X1.1x,第2次还款x元后到第3次还款之日欠银行20000(1+10%)-x(1+10%)-x=20000x1.12-1.1x-x,第10次还款x元后，还欠银行20000x1.1101.19x-1.18x-x,依题意得，第10次还款后，欠款全部还清，故可得20000X1.110-(1.19+1.18+1)x=0,10一.的阳200001.10.1解得x=703255(兀).1.11名师辨误做答例4求数列1,a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,的前n项和.。n(n1)1误解所求数列的前n项和Sn=1+a+a2+a3+-+a2n(n1)辨析1所给数列除首项外，每一项都与

13、a有关，而条彳中没有a的范围，故应对a进行讨论.正解1由于所给数列是在数列1,a,a2,a3,中依次取出1项，2项，3项，4项，的和所组成的数n(n1)12-2列.因而所求数列的前n项和中共含有原数列的前(1+2+n)项.所以Sn=1+a+a2+-+a.当a=0n(n1)时，Sn=1.当a=1时，Sn=n(nD.当aw0且aw1时，S=1一a21a课堂巩固训练一、选择题1.等比数列an的公比q=2,前n项和为3,贝U&=()a2c 17 D. -15A.2B.4C.225答案1Cai(224)解析由题意得S=一u一=15.故选C.a2a1222 .等比数列an的前3项和等于首项的3倍，

14、则该等比数列的公比为()A.-2B.1C.-2或1D.2或-1答案1C解析由题意可得，ai+aiq+snq2=3ai,，q2+q-2=0,q=1或q=-2.3 .等比数列2n的前n项和S二()A.2n-1B.2n-2C.2n+1-1D.2n+1-2答案1D解析1等比数列2n的首项为2,公比为2.，S=a1(1qn)=2(12n)="2,故选d.1 q12二、填空题4 .若数列a满足：a=1,an+1=2an(nCN+),则25二;前8项的和S=.(用数字作答)答案16255解析1考查等比数列的通项公式和前n项和公式.An14q=2,a5=a,q=16,ana(1q)8Sj=2-1=2

15、55.1q5 .在等比数列an中，4表示前n项和，若a3=2S+1,a4=2S3+1,则公比q=.答案13解析a3=2S+1,a4=2S3+1,两式相减，得a3-a4=-2st,.a4=3a3,.q=3.三、解答题6 .在等比数列an中,已知a6-a4=24,a3-a5=64,求数列an的前8项和.解析1解法一：设数列an的公比为q,根据通项公式an=a1qn-1,由已知条件得a6-a4=a1q3(q2-1)=24,a3a5=(a1q3)2=64,a1q3=±8.将a1q3=-8代入式，得q2=-2,没有实数q满足此式，故舍去.将ay3=8代入式，得q2=4,-q=±2.当

16、q=2时，得a1=1，所以S8=a1(1q)=255;当q=-2时，得ai=-1,所以&=曳(1q_l=85.1q解法二：因为an是等比数列，所以依题意得2一a4=a3,a5=64,a4=±8,a6=24+a4=24±8.因为an是实数列，所以a6>0,a，故舍去a4=-8,而a4=8,a6=32,从而年=±Ja4?a6=±16.公比q的值为q=a5-=+2,a4当q=2时，ai=1,a9=a6q3=256,.S8=aa9.=255；1q当q=-2时)a1=-1,a9=a6q=-256,.S8=aa9=85.1q课后强化作业一、选择题1 .

17、等比数列an中，氏=9,a5=243,贝Uan的前4项和为()A.81B.120C.168D.192答案1B解析公式q3=-a5-=-243=27,q=3,a1=-a2=3,a29q_4e,3(13)_Sm120.1 32 .已知等比数列的前n项和S=4n+a,则a=()A.-4B.-1C.0D.1答案1B解析设等比数列为an,由已知得a1=S=4+a,a2=S2-S=12,2a3=S3-S2=48,a2=a1a3,即144=(4+a)X48,a=-1.3 .已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项和等于()A.31B.33C.35D.37答案1B55、解析1解法一：&=a

18、102)=171一31“叫(12).So=一S.=W!=33,故选B.1q12解法二：,/ai+a2+a3+a4+a5=i5536+37+38+39+310=(31+32+33+34+35)-q=1X2=32So=31+82+,+aw=1+32=33.4.已知等比数列出中，公比q是整数，ai+a4=18,a2+a3=12,则此数列的前8项和为()A.514B.513C.512D.510答案1Dai+aiq3=18I解析由已知得j,Iaiq+aiq2=121解得q=2或一.2q为整数，q=2.-.ai=2.,o_2(128)9>z-Z-01U.1 25 .设an是由正数组成的等比数列，S为

19、其前n项和，已知3234=1,&=7,则&=(8A.15d31c33c172442答案1B解析设公比为q,则q>0,且a3=1,即33=1.-3=7,31+32+33=+1=7,qq即6q-q-1=0,3 = -=4.q31416 .在等比数列an(nCM)中，若a1,a4二,则该数列的前10项和为()8A.2 -28B.21C.2 二210解析11 a1=1, a4=,q3=ai=!,.qa18211 (：)10S0=2=21 121-1、10_)21 ，一=2,故选 B.297 .已知等比数列的前n项和为&, S3=3, S=27,则此等比数列的公比q等于（）

20、A.2B.-2S,a1(1S313q )q解析10二+7,2)/日 1 得D 16q3 =9,解得 q3=8. qq=2,故选 A.8 .正项等比数列 an满足a2a4=1, S3=13, bn=log 3an,则数列 bn的前10项和是（）A.65B.-65C.25D.-2514解析.an为正项等比数列，a2a4=1,a3=1，又:S3=13,公比qw1.又:$=q-=13,a3=a1q2,1q-，-1解得q=一.3an=a3qn-3=(1)n-3=33-n,3.bn=log3an=3-n.=bi=2,bi0=-7.，S0=10(b1瓯)=±一25.、填空题9 .等比数列1,-1,

21、 3,的前10项和为.314762! 1( 3/ Si0= 31 314762310 . (2011 北京文,112）在等比数列 an中，右a产一，a4=4,则公比q=; a1+a2+-+an=.2答案2,2 n-1- 12解析本题主要考查等比数列的基本知识，利用等比数列的前n项和公式可解得al=q3=l=8,所以 q=2,所以 &+a2+ a112+an=2(12n)2n-1(n为正奇数)11 .已知数列an中，an=j,则a9=.2n-1(n为正偶数)设数列an的前n项和为则s=.答案256377解析a9=28=256,S9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377

22、.12 .在等比数歹Uan中，已知对于任意nCN+,有a+a2+an=2n-1,贝Ua21+a22+-+a2n=.答案11X4n-133解析a1+a2+-+an=2n-1,.a+a2+an-1=2n-1-1(n>2),两式相减，得an=2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=2n-1,.a2n=(2n-1)2=22n-2=4n-1,a21+a22+- +a2n= 114n=1三、解答题11.13 .在等比数列an中，已知a3=1,&=4,求a1与q.224=51=411q2广解析(1)若qwl,则a3=aiq2=112从而解得q=1或q=-1.21,Ss=3ai=4q=1-“2若

23、q=1,则a3=ai=1ai=1一14.(2011大纲文科,17)设等比数列an的前n项和为S,已知a2=6,6ai+a3=30，求an和$.n项和公式.分析1设出公比根据条件列出关于a1与q的方程.求得a与q可求得数列的通项公式和前解析设an的公比为q,由已知有：a(=6a1=3a1=2十.解得j或，26a1+a1q=30q=2q=3当a=3,q=2时，an=a1-qn-1=3x2n-14(1qn),3(12n)n1Sn3X(2-1)1q12(2)当a1=2,q=3时，&=白qn-1=2x3n-1S=a1(1qn)=2(13n)n1Si=3-1.1q13综上，an=3X2,Sn=3X(2-1)或an=2x3,Sn=3-1.15.已知实数列an是等比数列，其中a7