高中数学三.压轴题型突破练函数与导数

1、压轴题型突破练函数与导数A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1.与直线2x6y+1=0垂直，且与曲线f(x)=x3+3x + b+ c= 0,8+4b+2c= 0,1相切的直线方程是.答案3x+y+2=0解析设切点的坐标为(xO,x3+3x2-1),则由切线与直线2x6y+1=0垂直，可得切线的斜率为3,又f'(x)=3x2+6x,故3x2+6xo=3,解得xo=-1,于是切点坐标为(一1,1),从而得切线的方程为3x+y+2=0.2,三次函数f(x)=mx3x在(一°°,H-oo)上是减函数，则m的取值范围是.答案一,

2、0)解析f'(x)=3mx21,依题意可得m<0.3,已知函数f(x)=x3-12x+8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m=.答案32解析由题意得f(x)=3x2-12,令f'(x)=0,得x=±2,且f(-3)=17,f(2)=24,f(2)=8,f(3)=-1,所以M=24,m=-8,M-m=32.4.已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示，则x2+x2=.解析由图可知f(1)=0,f(2)=0,b=-3,解得c=2.f(x)=x3-3x2+2x,.(x)=3x2-6x+2.由图可知x1,x2为f(x)的极值点,，x1+x2=2

3、,x1x2=|.83.2224-X2+x2=(XI+X2)22X1X2=4-=35,设函数f(X)=Si3JX3+隼*x2+tan0,其中长0,5,则导数f'(1)的取值范围是答案2,2解析:f'(x)=sin0X2+乖cos0X,，f'(1)=sin0+3cos0=2sin0+/.3_5兀兀_兀3兀0c°，万，计3c3,-，sin0+3乎，1.f(1)C但2.6 .已知f(X)=(2XX2)eX,给出以下四个结论：f(X)>0的解集是x0<x<2;f(42)是极小值，f(平)是极大值；f(X)没有最小值,也没有最大值；f(x)有最大值，没有

4、最小值.其中判断正确的序号是.答案解析f(x)>0?2xx2>0?0<x<2,，正确.由f(x)=(2xx2)eX,得到f(x)=(2-x2)eX,令f'(x)=0,得到X1=V2,X2=V2,在(一8,成)和(，2,+8)上，(x)<0,f(X)单调递减;在(-亚，啦)上F(x)>0,f(x)单调递增,f(42)是极小值，f(42)是极大值，故正确.由题意知，f(M2)为最大值，且无最小值，故错误，正确.7 .把一个周长为12的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为.答案2：1._.一.6-x6x八1八-解析设圆枉图为x

5、,底面半径为r,则r=,圆柱体积V=兀2x=T7x3-12x22兀2兀4仆+36x)(0<x<6),V'=Rx-2)(x-6).当x=2时，V最大.此时底面周长为6x=4,4：2=2：1.二、解答题(共27分)8. (13分)已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,bR),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数.求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值.解(1)由题意得f'(x)=3ax2+2x+b,因此g(x)=f(x)+f'(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b.因为函数g(

6、x)是奇函数，所以g(-x)=-g(x),即对任意实数x,有a(-x)3+(3a+1)(-x)2+(b+2)(-x)+b=-ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b,从而3a+1=0,b=0,解得a=7,b=0,31cc因此f(x)的表达式为f(x)=-x3+x2.3,1o(2)由(1)知g(x)=3x3+2x,所以g(x)=-x2+2.令g'(x)=0,解得xi=42,x2=42,则当x<-V2或x>42时，g'(x)<0,从而g(x)在区间(一8,一啦),(啦，+8)上是减函数；当/<x<啦时，g'(x)>0,从而g(x)在区间

7、(-五,*)上是增函数.由上述讨论知，g(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在x=1,72,2时取得，而g(1)=5,g(/)=¥，g(2)=3，因此g(x)在区间1,2上的最大值为g(V2)=4¥，3一一4最小值g(2)=；.39. (14分)已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在区间1,4上的最大值是12.求f(x)的解析式；(2)是否存在自然数m,使得方程f(x)+37=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实x数根？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由.解(1).f(x)是二次函数，且f(x)<0的解集

8、是(0,5),.可设f(x)=ax(x5)(a>0).f(x)在区间1,4上的最大值是f(-1)=6a.由已知，得6a=12,.-.a=2,1- f(x)=2x(x-5)=2x2I0x(x)R).(2)方程f(x)+"=0等价于方程2x3-10x2+37=0xh(x)=2x310x2+37,h'(x)=6x220x=2x(3x-10).10xC0,§时，h'(x)<0,h(x)是减函数;xC 学，+ 8 时，h' (x)>0 3h(x)是增函数.- h(3)=1>0, h Y = - <032 7h(4)=5>0,

9、10，方程h(x)= 0在区间3,310，八一,一，一、4内分别有唯一实数根，而在区间(0,3), (4, +8)3内没有实数根,，存在唯一的自然数 m = 3,使得方程f(x) + 37= 0在区间(m, m + 1)内有且只有两个不等x的实数根.B组专项能力提升(时间：35分钟，满分：58分)、填空题(每小题5分，共30分)1 .函数f(x)在定义域32, 3内的图象如图所不，记f(x)的导函数为f' (x),则不等式f' (x)W0的解集为答案一；，1u2,3)3解析不等式f'(x)w0的解集即为函数f(x)的单调减区间，从图象中可以看出函数f(x)在一3,1和2

10、,3)上是单调递减的，所以不等式f'(x)W0的解集为一3,1U2,3).332 .已知函数f(x)(xCR)的图象上任一点(xo,yo)处的切线方程为y-yo=(xo-2)(x2-1)(x-xo),那么函数f(x)的单调减区间是.答案(巴1),(1,2)解析根据函数f(x)(xCR)的图象上任一点(xo,yo)处的切线方程为yyo=(xo2)(x01)(x-xo),可知其导数f'(x)=(x2)(x21)=(x+1)(x1)(x-2),令f'(x)<o得x<1或1<x<2.因此f(x)的单调减区间是(一8,1),(1,2).3 .给出定义：若函

11、数f(x)在D上可导，即f'(x)存在，且导函数f'(x)在D上也可导，则称函数f(x)在D上存在二阶导函数，记f(x)=(f'(x)'.若f(x)<o在D上恒成立，则称函数f(x)在D上为凸函数，以下四个函数在o,2上不是凸函数的是.(填序号)f(x)=sinx+cosxf(x)=lnx2xf(x)=x3+2x1f(x)=xex答案解析对于，f(x)=sinx+cosx,一,，兀,，八则f(x)=sinxcosx<o在o,2上恒成立，故此函数为凸函数；对于，f(x)=lnx-2x,一“1.d.,一，、则f(x)=-x2<o在。，2上恒成立，故

12、此函数为凸函数；对于，f(x)=-x3+2x-1,则f"(x)=-6x<o在o,上恒成立，故此函数为凸函数；对于，f(x)=-xex,、，、，、，兀则f"(x)=2e-xe=(2-x)ex>0在0,2上恒成立，故此函数不是凸函数.兀兀，公、，4 .已知函数f(x)=f'4cosx+sinx,贝Uf4的值为.答案1解析因为f'(x)=f'4sinx+cosx,一一兀兀冗冗所以f4=-f4sin4+cos4?4=-1,兀兀兀以兀故f4=f'4cos4+sin4?f4=1.5 .函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,a6处的切线

13、与x轴的交点的横坐标为ak+i,其中kCN*.若a1=16,则a1+a3+a5的值是.答案21解析因为y'=2x,所以过点(ak,ak)处的切线方程为y-ak=2ak(x-ak).又该切线与x轴的交点为(ak+1,0),1一，.所以ak+1=2ak,即数列ak是等比数列，、一一一1首项a=16,其公比q=2，所以a3=4,a5=1.所以a1+a3+a5=21.6,若函数f(x)=kx3+3(k1)x2-k2+1在区间(0,4)上是减函数，则k的取值范围是.,1答案k<-3k<0,6 k12X 3k <0,解析f'(x)=3kx2+6(k1)x.k>0,由

14、题意，知或f4<0一1解得k<3.、解答题(共28分)7. (14分)(2012辽宁)设f(x)=lnx+51,证明:,3当x>1时，f(x)<2(x1);(2)当1<x<3时，f(x)<Wf5L.xI53证明方法一记g(x)=lnx+#x1-2(x-1),一113则当x>1时，g(x)=L邛2<0.3又g(1)=0,所以有g(x)<0,即f(x)<2(x1).x1万法一当x>1时，2x<x+1,故4x<2+2.，一,1令k(x)=lnxx+1,则k(1)=0,k(x)=_1<0,x故k(x)<0,

15、即lnx<x1.3由得，当x>1时，f(x)<2(x1).(2)证明方法一记h(x)=f(x),2+近 54x+5542xx+51 2< 4xx+5 2x+5x+53216x4xx+5由得h' (xr+亚令G(x)=(x+5)3-216x,则当1<x<3时,G'(x)=3(x+5)2216<0,因此G(x)在(1,3)内是减函数.又由G(1)=0,得G(x)<0,所以h'(x)<0.因此h(x)在(1,3)内是减函数.又h(1)=0,所以h(x)<0.9x1于是当1<x<3时，f(x)<x+5

16、方法二记h(x)=(x+5)f(x)-9(x-1),则当1<x<3时,由(1)得h'(x)=f(x)+(x+5)f'(x)9311<2(xT)+(x+5)/砺-91=R3x(x-1)+(x+5)(2+5)18xnx<2x3xx-1+x+52+5+218x=4x(7x232x+25)<0.因此h(x)在(1,3)内单调递减.又h(1)=0,所以h(x)<0,即f(x)<9x1.x+58. (14分)设函数f(x)=x(ex-1)ax2.1(1)若a=2,求f(x)的单倜区间；(2)若当x>0时，f(x)>0,求a的取值范围.-1.1c斛(1)a=2时，f(x)=x(e-1)-2x2,f'(x)=ex1+xexx=(ex1)(x+1).当xC(oo,1)时，(x)>0；当xC(1,0)时，f'(x)<0;当xC(0,+8)时，F(x)>0.故f(x)在(一8,