高中数学二轮复习专题三、导数的综合应用

1、专题三、导数的综合应用2009-2-25高考趋势导数作为进入高中考试范围的新内容，在考试中占比较大.常常运用导数确定函数的单调性，进而研究函数的最值、极值，方程及不等式的解等.导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间。所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数,二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，

2、试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新,方法新，是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。考点展示f(x)的图象的对称轴的方程是f' 51 .设函数f(x)sin(x-)1(0)的导数f(x)的最大值为3,则62 .已知函数fx的导函数为f'x,且满足fx3x22xf'2,则3 .曲线ysinx在点(,叵)处的切线方程为3234 .设aR,函数f(x)exaex的导函数是f

3、(x),且f(x)是奇函数.若曲线yf(x)的一条切线的斜率是-,则切点的横坐标为ln25.函数f (x)在定义域R内可导,若 f(x) f (2x)，且当 x (, 1)(x1) f (x) 0, 设a f(0),c f(3).贝U6.函数f (x)的定义域为(a,b ),其导函数(x)在(a,b)内的图象如图所示则函数f (x)在区间(a,b)内极小值点的个数是7.如图为函数 f(x) ax3 bx2 cx d的图象，f'(x)为函数f(x)的导x f '(x) 0 的解集为 (,8)(0,<3)样题剖析函数,则不等式例1、(2008浙江)已知a是实数，函数f(x)

4、Jx(x a).求函数f(x)的单调区间;设g(x)为f(x)在区间0,2上的最小值.(i)写出g(a)的表达式；(ii )求a的取值范围，使得 6 g(a) 2 .(1)解：函数的定义域为0,)，f (x).x3x a2 x(x 0).若a00,则f(x)0,f(x)有单调递增区间0,).若a0,令f(x)0,得xa,3，一a当0x时，f(x)0,3-a.当x一时，f(x)0.3aaf(x)有单调递减区间0,单倜递增区间33(2)解：(i)若a00,f(x)在0,2上单调递增，所以g(a)f(0)0.上单调递增,若0a6,f(x)在0,a上单调递减，在a,233所Ug(a)fa气3313若a

5、>6,f(x)在0,2上单调递减，所以g(a)f(2)72(2a).0,a<0,综上所述，g(a):0a6,72(2a),a>6.(ii)令6<g(a)<2.若a<0,无解.若0a6,解得30a6.若a>6,解得6<a<23后.故a的取值范围为3<a<23显.(2)设实数a0,求函数F(x)af(x)在a,2a上的最小值解(1)令f/(x)0得xe当x(0,e)时，f/(x)0,f(x)在(Qe)上为增函数当x(e,)时，f/(x)0,在(e,)上为减函数fmax(x)f(e)-e(2)a0,由(2)知：F(x)在(0,e)上单

6、调递增，在(e,)上单调递减.F(x)在a,2a上的最小值fmin(x)minF(a),F(2a)1 ar,F(a)F(2a)-ln-当0a2时，2 2F(a)F(2a)0,3(x)F(a)Ina1 当2a时F(a)F(2a)0,fmJx)F(2a)11n2a2例2、已知f(x)xlnx,g(x)x2ax3(1)求函数f(x)在t,t2(t0)上的最小值(2)对一切的x(0,),2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围12(3)证明对一切x(0,)，都有1nx已成立exex-11.解tt2,即t时，f(x)在t,t2单调递增，f(x)minf(t)tintee1-f(x)mine，tint

7、2一33(2)2xinxxax3,则a21nxx-,设h(x)2inxx(x0),xx则h'(x)(x3)2x1),x(0,1),h'(x)0,h(x)单调递增，x(1,),h'(x)0,h(x)单调递减xh(x)minh(1)4,因为对一切x(0,),2f(x)g(x)恒成立,ah(x)min4x2(3)问题等价于证明xlnx一，x(0,),exe11一一由(1)可知f(x)xlnx,x(0,)的取小值为一，当且仅当x=一时取得eex21x1设m(x)-x(0,)，则m'(x)易得m(x)maxm一。当且仅当x=1时取得eeee12从而对一切x(0,),都有i

8、nx成立exxe变式1:已知函数f(x)=ln2(1+x)-(1)求函数f(x)的单调区间1(2)若不等式(1l)aan求的最大值.e对任意的nN*都成立(其中e是自然对数的底数)解：(1)函数f(x)的定义域是(1,),f(x)2ln(1x)x22x21x(1x)2(1x)ln(1x)x22x(1x)2设g(x)2(1x)ln(1x)x22x,则g(x)2ln(1x)2x.22x令h(x)2ln(1x)2x,则h(x)2上.1x1x当1x0时，h(x)0,h(x)在(-1,0)上为增函数,当x>0时，h(x)0,h(x)在(0,)上为减函数.所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)

9、=0,所以g(x)0(x0),函数g(x)在(1,)上为减函数.于是当1x0时，g(x)g(0)0,当x>0时，g(x)g(0)0.所以，当1x0时，f(x)0,f(x)在(-1,0)上为增函数当x>0时，f(x)0,f(x)在(0,)上为减函数故函数f(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为(0,).一一111(2)不等式(1-)nae等价于不等式(na)ln(1-)1.由11知,nnn111a-n.设G(x)-,x0,1，则ln(11)ln(1x)xn所以G(x) 0, x 0,1，于是G(x)在0,1上为减函数G(x)11(1 x) ln2 (1 x) x2(1x)

10、ln2(1x)x2x2(1x)ln2(1x)由(I)知,21n2(1x)七0,即(1x)ln2(1x)x20.1.故函数G(x)在0,1上的最小值为G(1)ln2所以a的最大值为1.In2变式2：若存在实常数k和b,使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足：f(x)kxb和g(x)kxb,则称直线l:ykxb为f(x)和g(x)的“隔离直线”.已知h(x)x2,(x)2elnx(e为自然对数的底数).(1)求F(x)h(x)(x)的极值；(2)函数h(x)和(x)是否存在隔离直线若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由.、"一，、,、，、2_1F(x)h(x

11、)(x)x2elnx(x0),F(x)2x空2(x,e)(x同.xx当xn时，F(x)0.当0xje时，F(x)0,此时函数F(x)递减；当x而时,F(x)0,此时函数F(x)递增；当x而时，F(x)取极小值，其极小值为0.(2)由(1)可知函数h(x)和(x)的图象在x&处有公共点，因此若存在h(x)和(x)的隔离直线，则该直线过这个公共点8分设隔离直线的斜率为k,则直线方程为yek(x五)，即ykxekee.由h(x)kxek<e(xR),可得x2kxekVe0当xR时恒成立.(k2品)2,由0,得k2Ve.下面证明(x)2vexe当x0时恒成立.令G(x)(x)2点xe2e

12、lnx2Vexe,则G(x)2e2,e24、ex),xx当xJe时，G(x)0.当0xje时，G(x)0,此时函数G(x)递增;当xje时，G(x)0,此时函数G(x)递减;当x痣时，G(x)取极大值，其极大值为0.从而G(x)2elnx2jexe0,即(x)2Vexe(x0)恒成立.二函数h(x)和(x)存在唯一的隔离直线y2Texe变式3、设f(x)=pxq2Inx,且f(e)=qep2(e为自然对数的底数)xe(I)求p与q的关系;(II) 若f(x)在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；2e，(III) 设g(x)=一,右在1,e上至少存在一点x0,使得f(x°)>g

13、(x0)成立，求头数p的取值氾围x解：(I)由题意得f(e)=pe-q-2lne=qep-2ee(p-q)(e+1)=0而e+1w0,p=qee(II)由(I)知f(x)=pxp-2lnxxf' (x)=p_ 2 xpx 2 - 2x + p2x令h(x) = px 2 2x + p,要使f ( x)在其定义域(0,+)内为单调函数，只需h( x)在(0,+)内满足：h(x) >0或h(x)<0恒成立5分当p=0时,h(x)=-2x,x>0,h(x)<0,f'(x)=2xxf(x)在(0,+)内为单调递减，故p=0适合题意.1-£ (0,+ p

14、 ' ,h(x) min = p当p>0时，h(x)=px22x+p,其图象为开口向上的抛物线，对称轴为1一p一一1r,只需p->1,即p>1时h(x)>0,f'(x)>0,pf(x)在(0,+)内为单调递增，故p>1适合题意.当p<0时，h(x)=px22x+p,其图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=1(0,+)p只需h(0)<0,即pw0时h(x)w0在(0,+)恒成立.故p<0适合题意.综上可得，p>1或p<0另解：(II)由(I)知f(x)=px-p-2lnxxf'(x)=p+找-2p(1要使f(

15、x)在其定义域(0,+内为单调函数，只需f'(x)在(0,+)内满足：f'(x)>0或f'(x)w0恒成f'(x)>0p(1+->0xp>()max,x>0x+x2<1x+一xp>1f'(x)<02xx2+1综上可得,(III)即g(x)=1，且x=1时等号成立，故2(1)max=1x+-xp>1或p<02e4g(x)=7在x时,g(x)min=22,2e1,p<0时,由(II)知f时，由xf(x)=p(x-1)x右边为f(x)当p=1-2<0x2xpw2xPW(x2+1)min,x

16、>0e2x+1上是减函数时，g(x)max=2(x)在1,e递减1,ex-1>0x2lnx<x-2lnxx时的表达式，故在1,ef(x)max=f(1)=0<2,不合题意。递增f(x)wx12lnxxwe12lne=ee1e-2<2,不合题意。p>1时,由(II)知f(x)在1,e连续递增,f(1)=0<2，又g(x)在1,e上是减函数本命题f(x)max>g(x)min=2,x1,ef(x)max=f(e)=p(e-e)e2lne>24ep>综上，p的取值范围是4e(eT，+例3、设函数f(x)Inxpx1(1)求函数f(x)的极值

17、点(2)当p 0时，若对任意的x 0,恒有f (x) 0,求p的取值范围(3)证明:_22ln2ln32232,2c2/lnn2nn1,y(nN,n2)n2(n1)解：(1)f(x)lnxpx1,f(x)的定义域为(0,),f(x)1pxx0时，f(x)0,f(x)在(0,)上无极值点当p>0时，令f(x)0,1(0,),f(x)、f(x)随x的变化情况如下表:px1(0,-)p工pMx)p1f'(x)+0一f(x)极大值1从上表可以看出：当p>0时，f(x)有唯一的极大值点x-p11-1(n)当p>0时在x=-处取得极大值f()ln,此极大值也是最大值,要使f(x)

18、0恒成立，只需p>1p的取值范围为1,+°°)(m)令p=1,由(n)知,In0,Inx1,nN,n2lnn2n21，2ln n2 nln 2222ln3232In n22n(1122(1 4)n(n1)1321-2) n(n1)1 n(n1)(n1)1(21nl)(n1)2n22(n 1)n212-n，结论成立变式1、已知函数fxexx（e为自然对数的底数）（1）求fx的最小值;（2）设不等式fxax的解集为巳且x|0x2P,求实数a的取值范围;(3)设nN,证明:U喻、Tn、/0）的导致/小I*Jf户令偿ai解得嫌占为了<o,解得no.y法（?门刈落游屈a从

19、而外外勒新）内单调递遍在（0,乩）内单调递墙飞过所以3党工=。时，汽外取得最小值L.3分因为不等式勿的解集为P.且刘。昼Pbfjp1,-所以对于任廊工史明2,不等式/（幻>0恒成立.A,_81-由/（方学皿、褐倒屋.,当了=峙除不等式能辨或必故只需考虑工匕总局的情况一一区r/£骤_卡1令g（，六工7,网gCO防导数r（幻=皂学-J；嶷X根弋>Xa-.之5/S令g1）>0,斛得H>h专0符<0,解得I<L从前就。花（0或酶*域减，在。,2）内毕谡递境z尸界,&-5中1所叽当解At奴工）取舞最小值u二n”必.-J*1吟>j外:.队而实数。

20、的石磐图期1%4小，加证明出y-方;:由fD宿对于任意.嬴振/b令工H幺2幺"iy副0<1-<en.rEXJn*,r*m*412_例4、已知函数f(x尸-ax2x(a0),g(x)Inx,2(1)若 h(x)=f(x)-g(x)存在单调增区间，求 a的取值范围;（2）是否存在实数a>0,使得方程9（x）f（x）（2a1）在区间（1,e）内有且只有两个不相等的实数根若存在，求出xe'的取值范围若不存在，请说明理由。12斛：(1)由已知，得h(x)=ax2xlnx,且x>0,2贝U h / (x)=ax+2-21 _ ax 2x 1x x函数h(x)存在单

21、调递增区间，h'(x)>0有解，即不等式ax2+2x-1>0有x>0的解.当a<0时，y=ax2+2x-1的图象为开口向下的抛物线，要使ax2+2x-1>0总有x>0的解，则方程ax2+2x-1=0至少有一个不重复正根，而方程ax2+2x-1=0总有两个不相等的根时，则必定是两个不相等的正根.故只需A=4+4a>0,即a>-1.即-1<a<0当a>0时，y=ax2+2x-1的图象为开口向上的抛物线，ax2+2x-1>0一定有x>0的解.综上，a的取值范围是(-1,0)U(0,+8)(2)方程91x!f(x)(

22、2a1)x即为ax2(2a1),叱ax(12a),xx等价于方程ax2+(1-2a)x-lnx=0.设H(x)= ax 2+(1-2a)x-lnx,于是原方程在区间(1,e)内根的问题，转化为函数H(x)在区间(，e)内的零点问ee(2ax 1)(x 1)x212ax(12a)x1H(x)=2ax+(1-2a)-=当xC(0,1)时，H/(x)<0,H(x)是减函数；当xC(1,+oo)时，h/(x)>0,H(x)是增函数；若H(x)在(1,e)内有且只有两个不相等的零点，只须e2_2HzLa_Ua1(12e)aee0H()2120eeeeH(x)minH(1)a(12a)1a02

23、_2_H(e)ae(12e)a1(e2e)a(e1)022eeee解得1ae-e,所以a的取值范围是(1,e一e)2e12e11 b.变式1、已知x=-zEf(x)2x-lnx的一个极值点2 x(1)求b的值；(2)求函数fx的单调增区间；设g(x)f(x)工，试问过点(2,5)可作多少条曲线y=g(x)的切线为什么xb.18.斛：(1)因x=-1zef(x)2x一lnx的一个极值点x即2+b-1=0b= -1经检验,适合题意，所以 b= -1 .(2) f/(x) 2f/(x) 211 x x11 >0 x x2x2 x 12>0X1. x> 2，函数1的单调增区间为 12

24、(3) g(x)f(x) 1=2x+lnxx设过点5)与曲线g ( x)的切线的切点坐标为(xo, y°)一 yog/(x0)(x02)即2x0lnx05 (21)(Xo 2) x0In x020 x0令 h(x)= ln x/1h (x)=- x2-=0x .h( x)在(0,2)上单调递减，在(2,)上单调递增.1、一一一,二又h(一)2ln20,h(2)=ln2-1<02h(x)与x轴有两个交点过点(2,5)可作2条曲线y=g(x)的切线.32变式2、已知函数f(x)ln(23x)-x2.2(1)求f(x)在0,1上的极值;b的取值范围(2)若关于x的方程f(x)2xb在

25、0,1上恰有两个不同的实根，求实数i33(x1)(3x1)(1)f(x)3x1 ,、，.令f(x)044x或x1(舍去)3一1一一一当0x时，f(x)0,f(x)单调递增；31当1x1时，f(x)0,f(x)单调递减.311f(-)ln3为函数f(x)在0,1上的极大值36(2)由 f(x)3 22x b ln(2 3x) -x2x b 0.令(x) ln(23x) 3 x2 2x2b,则(x)3x 22 3x-27 9x22 3xt ,7 当 x 0,时,(x) Q于是,.7.(x)在0,上递增;3t 、. 7)当x 匚,1时,3(x) 0,于是(x)在三7,1上递减3一 .7而叩,f (x

26、) 2x b即(x)0在0,1恰有两个不同实根等价于2.7 b 0(0)In2b0、.77()ln(2、7)-361(1) In5b022.71 7In5-bln(2.7)26总结提炼：1 .函数的综合问题，这类问题涉及的知识点多，与数列、不等式等知识加以综合。主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法,考查分析问题和解决问题的能力.2 .通过求导来研究函数性质是一种非常重要而有效的方法。通常的步骤：先求导，要注意求导后定义域的情况；将导数整理变形，能看出导数的符号性质或零点。再列表，从表中回答所要求解答

27、的问题。3 .对于含有字母参数的问题，可以通过分类，延伸长度，从而降低难度。也可以通过分离变量，转化为函数或不等式问题去解决1巩固练习1.已知函数f(x)-x32x23x(xR)的图象为曲线C.3试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由.设存在过点A(x1,y1)的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B(x2,y2),x1x2,则切线方程是：y(1x132x123x1)(x124x13)(xx1),3化简得:3X12 - 322232而过B(x2,y2)的切线万程是y(x24x23)x(一x22x2),3由于两切线是同一直线，22则

28、有：x14x13x24x23,得x1x2又由2x132x122x232x22332 22即一(x1x2)(x1x1x2x2)2(x1x2)(x1x2)031,222-(x1x1x2x2)40,即x1(x1x2)x21203即(4x2)4x22120,x224x240得x22 ,但当x22时，由x1 x24得x12 ,这与x1 x2矛盾。所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点。2.已知函数f(x)aln(1ex)(a1)x,(其中a0)，点A(x1,f(x1),Bg,fd),Cd,fd)从左到右依次是函数yf(x)图象上三点，且2x2x1x3.证明：函数f(x)在R上是减函数；(2)求证：/AB

29、C是钝角三角形；(3)试问，/ABC能否是等腰三角形若能，求ABC面积的最大值；若不能，请说明理由.解：(I)ff(x)aln(1ex)(a1)x,xxf(x)差(a1)“a¥0恒成立，1e1e所以函数f(x)在(，)上是单调减函数.(n)证明：据题意A(x1,f(x1),B(x2,f(x2),C(x3,f(x3)且xi<x2<x3,x1x3由(I)知f(x1)>f(x2)>f(x3),x2=BA (X1 X2,(Xi* X1 X2X2)(X3 X2) f(Xi)f(X2)f(X3) f(X2)0, X3X2 0, f(Xi) f(X2)0, f(X3) f(

30、X2) 0BA BC0,B (2, )f(X1)f(X2),BC(X3X2,f(X3)f(X2)即ABC是钝角三角形（出）假设/ABC为等腰三角形，则只能是即：(X( X2)2i i1 x2即 2f (x2)-22-f(K) f (X2)(X3 X2)f(X3)X1 X3 X2 f (X1) f (X2)2 f (X3)f(Xi) f(X3)2aln(1e")2(a1)X2aln(1eX1)(1eX3)2aln(1eX2)2(a1)X2aln(1eX1)(1eX3)2ln(1ex2)ln(1e为）（1ex3)_2f(X2)f(X2)2(a 1)(X1 X3)2(a 1)x2(1e丝)

31、2(1ex1 )(1ex3)e2x22ex2ex1x3ex1ex3Ox2x1x32eeeQ而事实上，ex1eX32ex2由于ex1ex3,故（2）式等号不成立3.如图：在一个奥运场馆建设现场,并保持物件始终与吊臂接触.求物件能被吊车吊起的最大高度，并判断能否将该球形工件吊到平台上FG,由图可知,.这与（1）式矛盾.所以ABC不可能为等腰三角形现准备把一个半径为於m的球形工件吊起平放到6m高的平台上，工地上有一个吊臂长DF12m的吊车，吊车底座FG高1.5m.当物件与吊臂接触后，钢索CD长可通过顶点D处的滑轮自动调节19.解：吊车能把球形工件吊上的高度y取决于吊臂的张角_3_、3yAB1.5ADODOB1.5DFsin31.512sincoscos/3sin/y12cos2,由y0,cos得12cos“3s2n,4v13cos3sin,443tan(1tan3),tan33,600。cos当00600时，y0,y单调递增，同理，当600900时，y0,y单调递减，所以600时，y取最大