高中数学人教版选修2-2全套教案设计

1、第一章导数及其应用§变化率问题教学目标：1.理解平均变化率的概念；2.了解平均变化率的几何意义；3.会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念.教学过程：一.创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等；二、求曲线的切线；三、求已知函数的最大值与最小值；四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢

2、、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二.新课讲授(一)问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢？43气球的体积V(单位：L)与半径(单位：dm之间的函数关系是V(r)-r33如果将半径r表示为体积V的函数，那么r(V)313V:4当V从0增加到1时，气球半径增加了r(1)r(0)0.62(dm)气球的平均膨胀率为rr(0)0.62(dm/L)10当V从1增加到2时，气球半径增加了r(2)r(1)0.16(dm

3、)气球的平均膨胀率为r(2)r0.16(dm/L)21可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.思考：当空气容量从 V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少? rM)rM)V2 V1问题2高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)=+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速V度粗略地描述其运动状态？思考计算：0t0.5和1t2的平均速度V在0t0.5这段时间里，Vh(0.5)h4.05(m/s)；0.50在1t2这段时间里，Vhh8.2(m/s)2165探究：计算运动员在0t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

4、49运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？65探究过程：如图是函数h(t)=+10的图像，结合图形可知，h(65)h(0),49_h()h(0)所以v490(s/m),650490(s/m),但实际情况是运动员仍然运动，并非65虽然运动员在0t这段时间里的平均速度为49静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子f(X2)f(X1)表示，称为函数f(X)从X1到X2的平均变化率X2刈2.若设xX2X1,ff(X2)f(X1)(这里X看作是对于X1的一个“增量”可用X1+X代替X2,同样fyf(

5、x2)f(X1)3.则平均变化率为/上f(X2)f(X1)f(X1X)f(X1)XXX2X1X三.典例分析例1.已知函数f(x)=x2x的图象上的一点A(1,2)及临近一点B(1x,2y),则x22y(1x)(1x)2-解：2y(1x)(1x),-3xxx2例2.求yx在xx0附近的平均变化率。解：y(x0x)2x02,所以2.2222y(xox)xox02x0xxx0c2xoxxxx2所以yx在xx0附近的平均变化率为2x0x四.课堂练习1 .质点运动规律为st23,则在时间(3,3t)中相应的平均速度为.2 .物体按照s(t)=312+t+4的规律作直线运动，求在4s附近的平均变化率.3

6、.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+Ax,1+Ay)作曲线的割线，求出当A*二时割线的斜率.5 .回顾总结：1.平均变化率的概念；2.函数在某点处附近的平均变化率6 .布置作业导数与导函数的概念教学目标：1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法；理解导数的几何意义；理解导函数的概念和意义；2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。教学重点：1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用教学难点：1、导数

7、概念的理解；2、导函数的理解、认识和运用教学过程：一、情境引入在前面我们解决的问题：1、求函数f(x)x2在点(2,4)处的切线斜率。一工上&一x4x,故斜率为4xx2、直线运动的汽车速度V与时间t的关系是Vt21,求tto时的瞬时速度。-Vv(tot)v(to)2tot，故斜率为4tt二、知识点讲解上述两个函数f(x)和V(t)中，当x(t)无限趋近于0时，V(V)都无限趋近于一个常tx数。归纳：一般的，定义在区间(a,b)上的函数f(x),xo(a,b),当x无限趋近于0时，fjXoxLLxo)无限趋近于一个固定的常数a,则称f(x)在xxo处可导，并称a为xxf(x)在xx。处的

8、导数，记作f'(xo)或f'(x)|xxo,上述两个问题中：(1)f'(2)4,(2)V'(to)2to三、几何意义：我们上述过程可以看出f(x)在xx0处的导数就是f(x)在xx0处的切线斜率。四、例题选讲例1、求下列函数在相应位置的导数2(1) f(x)x1,x2(2)f(x)2x1,x2(3)f(x)3,x2例2、函数f(x)满足f'(1)2,则当x无限趋近于0时，f(1x)f(1)f(12x)f2xxf(x4x)f(xc)变式：设f(x)在x=xo处可导，(3)无限趋近于1,贝Uf(x0)=x(4)"x04x)f0,无限趋近于1,则f(

9、x0)=x(5)当Ax无限趋近于0,f(x02x)-f(x02x)所对应的常数与f(x0)的关系。x总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。例3、若f(x)(x1)2求f'(2)和(f(2)注意分析两者之间的区别。例4:已知函数f(x)Jx,求f(x)在x2屈的切线。导函数的概念涉及：f(x)的对于区间(a,b)上任意点处都可导，则f(x)在各点的导数也随x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数被称为f(x)的导函数，记作f'(x)。五、小结与作业教学目标:§导数的概念1 . 了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2 .理解导数的概念，知道瞬时变化率就是

10、导数，体会导数的思想及其内涵；3 .会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念.教学过程：一.创设情景(一)平均变化率65(一)探究：计算运动员在0 t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题:49运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？65、探究过程：如图是函数 h(t)=+10的图像，结合图形可知，h(65) h(0),4965h(右)h(0)所以v 4965490(s/m),65虽然运动员在0 t 这段时间里的平均速度为0(s/m),但实际情况是运动员仍然运动，并非49静止，可以说明用平均速度不能精确描

11、述运动员的运动状态.新课讲授1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比对， t 2时的瞬时速度是多少？考察t 2附近的情况： 思考：当 t趋近于0时，平均速度V有什么样的变化趋势？结迨：当 t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于 2的一边趋近于2时，平均速 度V都趋近于一个确定的值13.1.从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度 V就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在t 2时的瞬时速度是 13.1m/s为了表述方便，我们用 lim h2t) h(2)13 1t 0t _表示“当t

12、2, t趋近于0时，平均速度v趋近于定值 13.1”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过 渡到瞬时速度的精确值。2导数的概念从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是lim f(x°x) f(x0)x 0xlxm0我们称匕为函数yf(x)在xx0出的导数，记作f(Xo)或y|xx,即f(Xo)limf(xox)f(X0)x0x说明：(1)导数即为函数y=f(x)在x=xo处的瞬时变化率(2)xxx0,当x0时，xx0,所以f(x0)lxmof(x)f(Xo)xXo.典例分析例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.分析：先求Af

13、=Ay=f(1+Ax)-f(2f1)=6Ax+(Ax)2再求xx再求lim6x0x解：法一(略)法二：y|x1limi_2_23x31x122、lim1-lxm13(x1)(2)求函数f(x)=1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.x)2f(1)limyx0x(1x)2(1x)2lim(3x)3xx0例2.(课本例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热,如果第xh时，原油的温度(单位：°C)为f(x)x2时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是7x15(0x8),计算第2h时和第6hf(2)和

14、f(6)根据导数定义，xf(2x)f(x。)(2x)2一-2一7(2x)15(27215)x3x所以f(2)limx0lim(x3)3同理可得：f(6)5在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5,说明在2h附近，原油温度大约以3oC/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5oC/h的速率上升.注：一般地， 四.课堂练习-'， 、 f (x0)反映了原油温度在时刻 x0附近的变化情况.1 .质点运动规律为 s t23,求质点在t 3的瞬时速度为.五.回顾总结:六.布置作业32 .求曲线y=f(x)=x在x 1时的导致.3 .例2中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时

15、变化率，并说明它们的意义.1.瞬时速度、瞬时变化率的概念；2.导数的概念§导数的几何意义教学目标：1 .了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2 .理解曲线的切线的概念；3 .通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义.教学过程：一.创设情景(一)平均变化率、割线的斜率(二)瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数f(x0)的几何意义是什么呢？二.新课讲授(一)曲线的切线及切线的斜率：如图，当R(x

16、n，f(xn)(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x。)时，割线PPn的变化趋势是什么？图我们发现，当点B沿着曲线无pM接近点P即Ax-0时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：害U线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？切线PT的斜率k为多少？容易知道，割线PPn的斜率是Kf(xn)f(x0)，当点Pn沿着曲线无限接近点P时，kn无限趋近xnx于切线PT的斜率k,即klimf(x一x-ff(x0)x0x说明：(1)设切线的倾斜角为a,那么当Ax-0时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念：提供了求曲线

17、上某点切线的斜率的一种方法；切线斜率的本质一函数在xx0处的导数.(2)曲线在某点处的切线：1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线；3)曲线的切线，并不定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个.(二)导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0)处的切线的斜率，即f(x0)limUxx)f(x0)k说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：x0x求出P点的坐标；求出函数在点x0处的变化率f(x0)limUx0xU义)k，得到曲线在点(x0,f(x0)x0x的切线

18、的斜率；利用点斜式求切线方程.(二)导函数：由函数f(x)在x=x。处求导数的过程可以看到，当时，f(x0)是一个确定的数，那么，当x变化时，便是x的一个函数，我们叫它为f(x)的导函数.记作：f(x)或y,即：f(x)ylimf(xx)f(x)x0x注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.(三)函数f(x)在点x0处的导数f(%)、导函数f(x)、导数之间的区别与联系。1)函数在一点处的导数f(%),就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2)函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数3)函数f(x)在点x0处的导数f(%)就是导函

19、数f(x)在xx0处的函数值，这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。三.典例分析例1：(1)求曲线y=f(x)=x2+1在点R1,2)处的切线方程.(2)求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.解：(1)y |x 122lim (1 x) 1 (11)x 0xlim 2x 02,所以，所求切线的斜率为 2,因此，所求的切线方程为y 2 2(x 1)即 2x y 0(2)因为 y |x1lxm1223x2 3 12x 1_22.3(x1 )limx 1 x 1lim3( x 1) 6x 1所以，所求切线的斜率为2(2)求函数f(x)= x6,因此，所求的切线方程为y 3 6(x 1)即6x y

20、 x在x 1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.(1 x)2 ( 1 x) 2xf ( 1)limVx 0(1 x)2 ( 1 x) 2xVim0(3x) 3例2.(课本例2)如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(x)4.9x2 6.5x10，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况.解：我们用曲线h(t)在to、ti、t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.(1) 当tto时，曲线h(t)在to处的切线lo平行于x轴，所以，在tto附近曲线比较平坦，几乎没有升降.(2) 当tti时，曲线h(t)在ti处的切线li的斜率h(ti)。，所

21、以，在tti附近曲线下降，即2函数h(x)4.9x6.5xio在tt1附近单倜递减.(3) 当tt2时，曲线h(t)在t2处的切线12的斜率h(t2)。，所以，在tt2附近曲线下降，即函数h(x)4.9x26.5xio在tt2附近单调递减.从图可以看出，直线li的倾斜程度小于直线12的倾斜程度，这说明曲线在ti附近比在t2附近下降的缓慢.例3.(课本例3)如图，它表示人体血管中药物浓度cf(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化的图象.根据图像，估计to.2,o.4,o.6,o.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到o.i).解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度

22、f(t)在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率.如图，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作to.8处的切线，并在切线上去两点，如(o.7,o.9i),(i.o,o.48),则它的斜率为：o.48o.9iki4所以f(o.8)i.4i.oo.7下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：t药物浓度瞬时变化率f'(t)o四.课堂练习i.求曲线y=f(x)=x3在点(i,i)处的切线；2.求曲线yJx在点(4,2)处的切线.五.回顾总结i.曲线的切线及切线的斜率；2.导数的几何意义六.布置作业§几个常

23、用函数的导数教学目标：2i1 .使学生应用由te义求导致的二个步骤推导四种常见函数yc、yx、yx、y的导数公式;x2 .掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.2i教学重点：四种常见函数yc、yx、yx、y一的导数公式及应用xi教学难点：四种常见函数yc、yx、yx2、y的导数公式x教学过程：一.创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么，对于函数yf(x),如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函

24、数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数.二.新课讲授0 所以 y lim ylim 0 0x 0 x x 01.函数yf(x)c的导数根据导数定义，因为一yf(x一x)一出cc函数导数ycy0y0表示函数yc图像(图)上每一点处的切线的斜率都为0.若yc表示路程关于时间的函数,则y2 .函数y因为工x0可以解释为某物体的瞬时速度始终为f (x) x的导数f(x x) f(x) x x x 10,即物体一直处于静止状态.lim1 1x 0函数导数y xy 1所以yy 1表示函数y x图像(图)上每一点处的切线的斜率都为1.若yx表示路程关于时间的函3

25、.函数y因为所以1可以解释为某物体做瞬时速度为-2一f (x) x的导数f(x x) f(x)x(x x)2x的匀速运动.2x 2x x/ 22(x) x2x x x2x表示函数ylim(2 x2 一一x图像x) 2x函数导数2y xy 2x(图)上点(x,y)处的切线的斜率都为2x,说明随着x的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当 x 0时，随着x的增加，函数y x2减少得越来越慢;函数，则y当x 0时，随着x的增加，函数2x可以解释为某物体做变速运动,2y x2增加得越来越快.若y它在时刻x的瞬时速度为2x.11表示路程关于时间的4.函数yf(

26、x)1 ，-的导数因为xf (xx) f (x)xx (xx)x(x x) x所以ylxm0x)函数导数11yywxx(2)推广：若 三.课堂练习：-n -* 一 -n 1f (x) xn(n Q ),则 f (x) nxn 11.课本P13探究12.课本P13探究23.求函数函数导数yc'y0yxy1Vx的导数四.回顾总结y2x'y2x五.布置作业11yyxxyf(x)nx(n*Q)'yn1nx§基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1 .熟练掌握基本初等函数的导数公式；2 .掌握导数的四则运算法则；3 .能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的

27、四则运算法则求简单函数的导数.教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程：一.创设情景1四种常见函数yc、yx、yx2、yx的导数公式及应用二.新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表函数导数yc,y0yxy12yx'一y2x1y-x1y-x-n-*yf(x)x(nQ)'n1ynx（二）导数的函数导数ycy0yf(x)xn(nQ*)'n1ynxysinx'ycosxycosxysinxyf(x)ax'x.，一、yaIna(a0)yf(x)ex'xyef(x)logax1口f

28、(x)logaxf(x)(a0且a1)xlnaf(x)Inx1f(x)一x运算法则导数运算法则1. f(x)g(x) f (x) g (x) f (x)g(x) f(x)g (x)f(x) g(x) f (x)g(x) f(x)g(x)2g(x)(g(x) 0)(2)推论：cf (x) cf (x)(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数).典例分析例1.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系p(t)Po(15%)t，其中P0为t0时的物价.假定某种商品的P01,那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到)？解

29、：根据基本初等函数导数公式表，有p'(t)1.05%1.05所以p(10)1.05101n1.050.08(元/因此，在第10个年头，这种商品的价格约为元/年的速度上涨.例2.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数.sin x - In x；(4) y =-311(1)yx2x3(2)y=产产;(3)y=x1.x1x(5) y1ln x1ln x(6) y = (2 x2 5 x + 1) ex/ 、 sin x xcosx y =cosx xsin x求导数是在定义域内实行的.求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心.例3日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水

30、纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已5284知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：兀)为c(x)(80x100)100x求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：(1)90%(2)98%"、, 5284、, c(x)(-一)100 x(100 x)解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.5284(100x)5284(100x)20(100x)5284(1)5284(100x)2(100x)2(1)因为c'(90)5284952.84,所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是元/吨.(10090)2(2)因为c'(98)528491321,所以

31、，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨.(10090)2.''函数f(x)在某点处导数的大小表小函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知，c(98)25c(90),它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍.这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快.四.课堂练习1 .课本P92练习2 .已知曲线C:y=3x42x39x2+4,求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；(y=-12x+8)5 .回顾总结(1)基本初等函数的导数公式表(2)导数的运算法则6 .布置作业§复

32、合函数的求导法则教学目标理解并掌握复合函数的求导法则.教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积.教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确.一.创设情景(一)基本初等函数的导数公式表函数导数yc,y0yf(x)xn(nQ*)'n1ynxysinx'ycosxycosxysinxyf(x)ax'x.，一、yaIna(a0)yf(x)ex'xyef(x)logaxJ1Lf(x)logaxf(x)(a0且a1)xlnaf(x)Inxj1f(x)x(二)导数的运算法则导数运算法则_

33、1, f(x)g(x)f(x)g(x)2, f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)3-glx；f(x)g(x)f(x)g(x)2(g(x)0)g(x)(2)推论：cf(x)Cf'(x)(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)二.新课讲授复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yfg(x)。复合函数的导数复合函数yfg(x)的导数和函数yf(u)和ug(x)的导数间的关系为Vxyuux,即y对x的导数等于yKu的导数与u对x的导数的乘积.若yfg(x),则yf

34、g(x)fg(x)g(x)三.典例分析2.例1求y=sin(tanx)的导致.【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果.xa例2求y=°a的导数.2x2ax【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数.求导数后要予以化简整理.例3求y=sin4x+cos4x的导数.【解法一】y=sin 4x+ cos 4x= (sin2x + cos2x)2 2sin 2cos 2x = 1 sin 22 x2=1 11 cos 4 x)4【解法二】x + 4 cos【点评】解法一x. y

35、' = sin 4 x.y' = (sin 4x) ' + (cos 4x) ' = 4 sin 3x(sin3 x ( sin x) = 4 sin x cos x (sin 2 x cos是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确.x) ' + 4 cos3x (cos x) ' = 4 sin 3 x cos2x) = 2 sin 2 x cos 2 x=sin 4 x解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步.例4曲线y=x(x+1)(2x)有两条平行于直线y=x的切线，求此二切线之间的距离.【解】y=x3+x2+2xy'=-3x

36、2+2x+2令y'=1即3x2-2x-1=0,解得x=1或x=1.3114于是切点为P(1,2),Q(,)，327过点P的切线方程为，y2=x1即x-y+1=0.显然两切线间的距离等于点Q到此切线的距离，故所求距离为1 143 27227四.课堂练习1 .求下列函数的导数(1)y=sinx3+sin33x；(2)ysin2x；(3)loga(x22)2x12 .求ln(2x23x1)的导数五.回顾总结六.布置作业§函数的单调性与导数(2课时)教学目标：1了解可导函数的单调性与其导数的关系；2能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；教学重点：

37、利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程：一创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用二新课讲授1 .问题：图(1),它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数h(t)4.9t26.5t10的图像，图，、,一.、一，一、一，.、一,(2)表布图台跳水运动员的速度v随时间t变化的函

38、数v(t)h(t)9.8t6.5的图像.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：( 1) 运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是增函数相'应地，v(t)h(t)0(2)从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即h(t)是减函数.相应地，v(t)h'(t)02函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系'如图，导致f(X0)表示函数f(x)在点(X0,%)处的切线的斜率.'在xx0处，f(x0)0，切线是“左下右上”式的，

39、时，函数f(x)在x0附近单调递增；在XX1处，f(Xo)0,切线是“左上右下”式的，这时，函数f(X)在Xi附近单调递减.一'一、一一.一,结论：函数的单倜性与导致的关系在某个区间(a,b)内，如果f(x)0,那么函数yf(x)在这个区间内单倜递增；如果f(X)0,那么函数yf(X)在这个区间内单调递减.'说明：(1)特别的，如果f(x)0,那么函数yf(X)在这个区间内是常函数.3求解函数yf(X)单调区间的步骤：.、_-一''(1)确7E函数yf(x)的7E义域；(2)求导致yf(x)；(3)解不等式f'(X)0，解集在定义域内的部分为增区间；&#

40、39;(4)解不等式f(X)0，解集在定义域内的部分为减区间三典例分析例1已知导函数f'(X)的下列信息：'''当1X4时，f(X)0；当X4，或X1时，f(X)0；当X4，或X1时，f(X)0试画出函数yf(X)图像的大致形状解：当1X4时，f'(X)0，可知yf(X)在此区间内单调递增；当X4，或X1时，f'(X)0；可知yf(X)在此区间内单调递减；当X4，或X1时，f'(X)0，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”综上，函数yf(X)图像的大致形状如图所示例2判断下列函数的单调性，并求出单调区间(1)f(X)X33X；(2)f(

41、X)X22X332(3)f(X)sinXXX(0,)；(4)f(X)2X33X224X1解：(1)因为f(x)X33x,所以，f'(x)3x233(X21)03因此，f(x)x3x在R上单调递增，如图(1)所示.(2)因为f(x)x22x3，所以，f'(x)2x22x1，当f'(x)0，即x1时，函数f(x)x22x3单调递增；当f'(x)0,即x1时，函数f(x)x22x3单调递减；函数f(x)x22x3的图像如图(2)所示.(3)因为f(x)sinxxx(0,),所以，f'(x)cosx10因此，函数f(x)sinxx在(0,)单调递减，如图(3)所

42、示.(4)因为f(x)2x33x224x1,所以.当f'(x)0,即时，函数f(x)x22x3；当f'(x)0,即时，函数f(x)x22x3；函数f(x)2x33x224x1的图像如图(4)所示.注：(3)、(4)生练例3如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像.分析：以容器(2)为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快.反映在图像上，(A)符合上述变化情况.同理可知其它三种容器的情况.解：1B,2A,3D,4C思考：例3表明，通过函数图

43、像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢.结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些.如图所示，函数yf(x)在0,b或a,0内的图像“陡峭”，在b,或，a内的图像“平缓”.例4求证：函数y2x33x212x1在区间2,1内是减函数.证明：因为y6x26x126x2x26x1x232当x2,1即2x1时，y0,所以函数y2x3x12x1在区间2,1内是减函数.说明：证明可导函数fx在a,b内的单调性步骤：(1)求导函数f'x；(2

44、)判断f'x在a,b内的符号；''(3)做出结论：fx0为增函数2fx0为减函数.例5已知函数f(x)4xax22x3(xR)在区间1,1上是增函数，求实数a的取值范围.解：f'(x)42ax2x2,因为f3K在区间1,1上是增函数，所以f'(x)0对x1,1恒成立，即x2ax20对x1,1恒成立，解之得：1a1所以实数a的取值范围为1,1.说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单倜递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解.四.课堂练习1 .求

45、下列函数的单调区间321(x)=2x6x+7(x)=+2x3.f(x)=sinx,x0,24.y=xlnxx2 .课本练习五.回顾总结(1)函数的单调性与导数的关系(2)求解函数yf(x)单调区间(3)证明可导函数fx在a,b内的单调性六.布置作业2课时)教学目标：1.理解极大值、极小值的概念；2. 能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3. 掌握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.教学过程：一创设情景观察图，我们发现，ta时，高台跳水运动员距水面高度最大.那么，函数h

46、(t)在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大ta附近函数h(t)的图像，如图.可以看出h(a)；在ta,当ta时，函数h(t)单调递增，h(t)0;当ta时，函数h(t)单调递减，h(t)0;这就说明，在ta附近，函数值先增(ta,h(t)0)后减(1a,h(t)0).这样，当t在a的附近从小到大经过a时，h(t)先正后负，且h(t)连续变化，于是有h(a)0对于一般的函数yfx，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的.从图象观察得出，判别极大、极小值的方法

47、.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号二新课讲授1.问题：图(1),它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数h(t)4.9t26.5t10的图像，图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)h'(t)9.8t6.5的图像.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：(1)运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是增函数相应地，v(t)h'(t)0(2)从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即h(t)是减函数.相应地，v(t)h'(t)02函数的单调性与

48、导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系''如图，导致f(%)表示函数f(x)在点(X0,y0)处的切线的斜率.在xX0处，f(x0)0,切线是“左下右上”式的，这时，函数f(x)在X0附近单调递增；在xX1处，f(X0)0,切线是“左上右下”式的，这时，函数f(x)在x1附近单调递减结论：函数的单调性与导数的关系''在某个区间(a,b)内，如果f(x)0,那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0,那么函数yf(x)在这个区间内单调递减说明：(1)特别的，如果f(x)0,那么函数yf(x)在这个区间内是常函数.3求解函数yf

49、(x)单调区间的步骤：.、_一''(1)确7E函数yf(x)的7E义域；(2)求导致yf(x);(3)解不等式f'(x)0，解集在定义域内的部分为增区间；'(4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为减区间三典例分析j一，一一,例1已知导函数f'(x)的下列信息：当1x4时，f'(x)0；当x4，或x1时，f'(x)0；当x4,或x1时，f(x)0试画出函数yf(x)图像的大致形状.解：当1x4时，f'(x)0,可知yf(x)在此区间内单调递增；当x4,或x1时，f(x)0；可知yf(x)在此区间内单调递减；当x4,或x1时，

50、f'(x)0,这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”.综上，函数yf(x)图像的大致形状如图所示.例2.判断下列函数的单调性，并求出单调区间.3一2(1)f(x)x3x；(2)f(x)x2x3(3)f(x)sinxxx(0,);(4)f(x)2x33x224x13一'22解：(1)因为f(x)x3x,所以，f(x)3x33(x1)0因此，f(x)x33x在R上单调递增，如图(1)所示.2(2)因为f(x)x2x3,所以，f(x)2x22x1当f'(x)0,即x1时，函数f(x)x22x3单调递增；2当f(x)0,即x1时，函数f(x)x2x3单调递减；函数f(x)x22

51、x3的图像如图(2)所示.(3) 因为f(x)sinxxx(0,)，所以，f(x)cosx10因此，函数f(x)sinxx在(0,)单调递减，如图(3)所示.32(4) 因为f(x)2x3x24x1,所以.当f'(x)0,即时，函数f(x)x22x3'2当f(x)0,即时，函数f(x)x2x3函数f(x)2x33x224x1的图像如图(4)所示.注：(3)、(4)生练例6如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像.分析：以容器(2)为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度

52、增加得慢，以后高度增加得越来越快.反映在图像上，(A)符合上述变化情况.同理可知其它三种容器的情况.解：1B,2A,3D,4C思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢.结合图像,你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些.如图所示，函数yf(x)在0,b或a,0内的图像“陡峭”，在b,或，a内的图像“平缓”.例7求证：函数y2x33x212x1在区间2,1内是减函数.证明：因为y6x26x126x2x26x1x2当x2,1

53、即2x1时，y'0,所以函数y2x33x212x1在区间2,1内是减函数.说明：证明可导函数fx在a,b内的单调性步骤：(1)求导函数f'x；(2)判断fx在a,b内的符号；(3)做出结论：f'x0为增函数2fx0为减函数.例8已知函数f(x)4xax22x3(xR)在区间1,1上是增函数，求实数a的取值范围.解：f(x)42ax2x2,因为f3x在区间1,1上是增函数，所以f'(x)0对x1,1恒2成立，即xax20对x1,1恒成立，解之得：1a1所以实数a的取值范围为1,1.说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：

54、即“若函数单倜递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解.四.课堂练习1 .求下列函数的单调区间-3_2_.1_(x)=2x6x+7(x)=+2x3.f(x尸sinx,x0,24.y=xlnxx2.课本P101练习五.回顾总结(1)函数的单调性与导数的关系(2)求解函数yf(x)单调区间(3)证明可导函数fx在a,b内的单调性六.布置作业§函数的最大(小)值与导数(2课时)教学目标：1 .使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f(x)在闭区间a,b上所有点(包括端点a,b)处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件；2 .使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤教学重点：利用导数求函数的最大值和最小