高中数学必修一二三四五知识点

1、高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1 .元素的确定性；2 .元素的互异性；3 .元素的无序性说明：（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。（4）集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。3、集

2、合的表示：如我校的篮球队员,太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋1 .用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,52 .集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R关于“属于”的概念：集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作aCA,相反，a不属于集合A记作aeA列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法：语言描述法：例：不是直角三角形

3、的三角形数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是xWR|x-3>2或x|x-3>24、集合的分类：1 .有限集含有有限个元素的集合2 .无限集含有无限个元素的集合3 .空集不含任何元素的集合例：x|x2=5二、集合间的基本关系1 .“包含"关系一子集注意：A±B有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A§B或302 .“相等”关系（5>5,且5W5,则5=5）实例：设A=x|x2-1=0B=-1,1“元素相同”结论：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集

4、合B的元素，同时，集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B,即：A=B任何一个集合是它本身的子集。ACA真子集：如果AmB,且A丰B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或B亚A)如果A三B,BMC,那么AMC如果A三B同时BMA那么A=B3 .不含任何元素的集合叫做空集，记为规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1、交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A,B的交集.记作AAB(读作"A交B"),即AnB=x|xCA,且xCB.2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成

5、的集合，叫做A,B的并集。记作：AUB(读作uA并B"),即AUB=x|xCA,或xCB.3、交集与并集的性质：AAA=A,AA()=(),APB=BAA,AUA=A,AU<f)=A,AUB=BUA.4、全集与补集(1)补集：设S是一个集合，A是S的一个子集(即AS),由S中所有不属于A的元素组成的SS集合，叫做S中子集A的补集(或余集)记作：CSA(CsAQaJ)即CSA=xXS且xA7一/(2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。(3)性质：CU(CUA)=A(CUA)nA=(CUA)UA=U四、函数的有关概念1

6、.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数X,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A-B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x),xCA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xCA叫做函数的值域.注意：如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.定义域补充：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1

7、)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6) 指数为零底不可以等于零(7) 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)( 2) 两个函数

8、相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致(两点必须同时具备)值域补充:(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2)应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。2. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(xCA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(xCA)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)

9、的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y),均在C上.即记为C=P(x,y)|y=f(x),xA。图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2)画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法(请参考必修4三角函数)常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。3. 了解区间的概念

10、(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示4什么叫做映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素X,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A-*B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:A-*B”给定一个集合A到B的映射，如果aCA,bCB.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合A、B及对应法则f是确定的；对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的

11、；对于映射f:A-B来说，则应满足：(I)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(n)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(出)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点：d函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据； 解析法：必须注明函数的定义域； 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数

12、：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.补充二：复合函数：如果y=f(u),(uCM),u=g(x),(xCA),则y=fg(x)=F(x),(xCA)称为f、g的复合函数。例如:y=2sinXy=2cos(X2+1)5.函数单调性(1)增函数设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内

13、的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间(睇清楚课本单调区间的概念)如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时，者B有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)。(2)图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数

14、或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3)函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：d任取x1,x2CD,且x1<x2; 作差f(x1)-f(x2); 变形(通常是因式分解和配方)； 定号(即判断差f(x1)f(x2)的正负)；(5下结论(指出函数f(x)在给定白区间D上的单调性).(B)图象法(从图象上看升降)_(C)复合函数的单调性复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下:函数单调性u=g(x)增增减减尸f(u)增减增减尸fg(

15、x)增减减增注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？6.函数的奇偶性(1)偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函(2)奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函数.注意：d函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性，也可能既是奇函数又是偶函数。由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x

16、,则x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)(3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：d首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定f(x)与f(x)的关系； 作出相应结论：若f(x)=f(x)或f(x)f(x)=0,则f(x)是偶函数；若f(-x)=f(x)或f(x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定；(2)有时判定f(-x)=&

17、#177;f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=土1来判定；(3)利用定理，或借助函数的图象判定7、函数的解析表达式(1) .函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域(2) .求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数fg(x)的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)8.函数最大(小)值利用二次

18、函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值利用图象求函数的最大(小)值利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递增，在区间b,c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递减，在区间b,c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)第二章基本初等函数一、指数函数一)指数与指数塞的运算1,根式的概念：一般地，如果xn=a,那么x叫做a的n次方根(nthroot),其中n>1,且nCN*当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.此时，a的n次方根用符号na表示.式子、a叫

19、做根式(radical),这里n叫做根指数(radicalexponent),a叫做被开方数(radicand).当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数a的正的n次方根用符号'a表示，负的n次方根用符号一na表示.正的n次方根与负的n次方根可以nnanE1a(a-0)n合并成土、'a(a>0).由此可得：负数没有偶次方根H6神任何次方都是0,记作“0=0。注意：当n是奇数时，nan当n是偶数时，2 .分数指数哥mm正数的分数指数帚的息义，规7E：a=n/am(a>0,m,nWN*,n>1)an=-=(a>0,m,nN*,n&g

20、t;1)nnam0的正分数指数哥等于0,0的负分数指数哥没有意义a指出：规定了分数指数哥的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数哥的运算性质也同样可以推广到有理数指数哥.3 .实数指数哥的运算性质rrrs(1) a-a-a(a0,r,s二R)(2) (ar)s=ars(aQ,r,s-R)(3) .(ab)r=aras(a>0，r,scR)二)指数函数及其性质1、指数函数的概念：般地，函数y=axia0,且a刈叫做指数函数(exponentialfunction),其中x是自变量,函数的定义域为R.注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.2、指数函数

21、的图象和性质a>10<a<1665541433221.1.-1图象特征函数性质a>10<a<1a>10<a<1向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点(0,1)a：自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数在第L象限内的图象纵坐标都大于1在第L象限内的图象纵坐标都小于1x>0,ax>1x>0,ax<1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1x<0,ax<1x<0,ax&

22、gt;1图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了杲一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了杲一值后减小速度较慢；注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出:(1)在a,b上，f(x)=ax(aX且a/)值域是f(a),f(b)或f(b),f(a)；(2)若X#0,则f(x)#1；f(x)取遍所有正数当且仅当xWR；(3)对于指数函数f(x)=ax(aA0且a=1),总有f(1)=a；(4)当a>1时，若x1。2,则f(x1)£f(X2)；二、对数函数-)对数1.对数的概念：一般地，如果ax=N（a>0，a洌，那么数x叫做以a为底N的对数，记

23、&0gaN（a一底数，色一N真数，一对数式）ogaI说明：。注意底数的限制a>0,且a#1;凡U阻N=x;注意对数的书写格式.a两个重要对数：C1常用对数：以10为底的对数lgN;（2自然对数：以无理数e=2718281为底的对数的对数1nN.对数式与指数式的互化logaN=x=ax=n对数式仁指数式对数底数一a一哥底数对数一x一指数真数一N一哥二）对数的运算性质如果a>0,且a/,M>0,N>0,那么:loga(MN)=iogaMlogaN+MlogaN=logM_logN. logaMn =n log注意：换底公式a M log a b =log。a利用换底

24、公式推导下面的结论（log am bnlogab m三）对数函数(aR,且 a ¥1 ;1log a b =-log b ac>0 ,且 c#1 ； b>0).；.1、对数函数的概念：函数yTogaX（a>0,且a01）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0,+°°）.注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。X如：y=2log2X,yTo955都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.对数函数对底数的限制：（a>0,且a=1）.2、对数函数的性质：a>10<a<1325-rr25251511产0

25、1105rm0.1町俱0-01-5j-1p-.，二-25|-2r.一一-图象特征函数性质a>10<a<1a>10<a<1函数图象都在y轴右侧函数的定义域为（0,+8）图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数图象都过定点(1,0)iogi=0自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数第L象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大于0xylogax>00<<1，logax>0第二象限的图象纵坐标都小于0第二象限的图象纵坐标都小于00<x<1，iogax<0x&g

26、t;1,logax<0四)骞函数1、哥函数定义：一般地，形如y=X%aWR)的函数称为哥函数，其中«为常数.2、哥函数性质归纳.(1)所有的哥函数在(0,+°°)都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2) a>0时，哥函数的图象通过原点，并且在区间0，乜)上是增函数.特别地，当«>1时，哥函数的图象下凸；当0:二二：口时，哥函数的图象上凸；(3) ot<0时，哥函数的图象在区间“，七勺上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于十生时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.第三章函数的

27、应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y=f(x)(xED),把使f(x)=O成立的实数x叫做函数y=f(x)(xWD)的零点。2、函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。即：方程f(x)=°有实数根u函数y=f(x)的图象与x轴有交点u函数y=f(x)有零点.3、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点:(代数法)求方程f(x)二°的实数根；y = f (x)的图象联系起来,(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数并利用函数的性质找出零点.4、二次函数的零点：2二次函数y=

28、axbxc（a；0）21） >0,万程ax+bx+c=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点.、一22） =0,万程ax+bx+c=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.3） <0,方程ax2+bx+c=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零与八、数学必修2知识点1.多面体的面积和体积公式名称侧面积（S侧）全面积（S全）体积（V）棱棱柱直截回周长xlS侧+2S底S底h=S直截曲h柱直棱柱ChS底h棱锥;各侧向面积之和棱锥正棱锥2上chS侧+S底工3s底h棱台;各侧向面积之和工3h（s上底+

29、s下底+小上庭叫危）棱台正棱台22(c+c)hS侧+S上底+S下底表中S表小面积，c'、c分别表不上、下底面周长，h表布图，h表不斜tWj,l表不侧棱长。2.旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧271rl兀rl兀(r1+r2)lS全271r(l+r)nr(l+r)兀(r1+r2)l+兀(r21+r22)4兀R2V兀r2h(即兀r2l)£3兀r2h£37th(r21+r1r2+r22)4石兀R3表中1、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，ri、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。3、平面的特征：平的，无厚度，可以无限延展4、平面的基本性

30、质：公理1、若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内二l,B-1,三：工，3：=l：公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A,B,C三点不共线=有且只有一个平面x,使A三a,B«,C=a公理3、若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线昨3nBm“日=1且昨1推论1、经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面推论2、经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3、经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行.a/b，b/C=a/c5、等角定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补推论

31、：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.6、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.数学符号表示：a二'bab=a：直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.数学符号表示：a/-，a：=b=a/b7、平面与平面平行的判定定理：（1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.数学符号表示：a',b-,aRb=P,a/-,b/-=7/-（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.符号表示：a.I,a-二:：(3)平行于同一个

32、平面的两个平面平行:,/=：卜-面面平行的性质定理：(1)若两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面.二/:,a:=a/:(2)若两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.二/-,：,=a,：口=b=a/b8、直线与平面垂直的判定定理：(1)一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.数学符号表示：m:，n二,mHn=A,l一mJ一n二l一二(2)若两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.a/b,a.二b一(3)若一条直线垂直于两个平行平面中一个，那么该直线也垂直于另一个平面:/-,a.一=a_-直线与平面垂直的性质定理

33、：垂直于同一个平面的两条直线平行a_:,b.二a/b9、两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直a.i1：,a平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.数学符号表示：,：,n-=b,aa_b=a-10、直线的倾斜角和斜率:k=tana产#一口一(1)设直线的倾斜角为。9180),斜率为k,则I2”当2时,斜率不存在.（2）当0'E口<90?时，k20；当908<180时，k<0k二人”）（3）过1,丫1）,2（2,12）的直线斜率x2一x111、两直线的位置关系：两条直线l1：y=k1X+b）,l

34、2：yu&x+b2斜率都存在，则：(1)l1 / l2 uk1 = k2 且 bi = b2Page 36 of33（2）l1-Ll2-k1k2=1（当l1的斜率存在l2的斜率不存在时l11l2）（3）l1与l2重合匕k1=k2且b1=b212、直线方程的形式：（i）点斜式：y-y0=k（x-x0）（定点，斜率存在）斜截式：y=kx+b（斜率存在，在y轴上的截距）yy1xx1,、-(y2;y1，x2=x1)（4） 一般式：(3)两点式：y2y1x2x1(两点)AxmyC=0A2B2:0xy,1（5）截距式：ab（在x轴上的截距，在y轴上的截距）13、直线的交点坐标:设l1：Ax+4y+

35、c=0,l2：A2x+B2y+c,=0则:(1) l1与l2相交A2 B2 ； (2) l1 / l2AB1C 1=rAB2C 2.(3) l1与l2重合二A=旦二CAB2C214、两点 P1（x1，y1）,F2（x2，y2）间的距离公式”汽2 -%)22 - y1)2原点。（0,0）与任一点/乂 y）的距离OF =收+y2d_1A%+By。+C15、点F0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=°的距离"A2B2“A5+Cd(1)点PXoy。)到直线l:Ax+C=0的距离1AdByo+q(2)点Fo(Xo，yo)到直线l：Ey+C=0的距离lBl|C-d=:(3)点p(0

36、,0如直线l：Q+By+C=0的距离4A十片d=C1一。216、两条平行直线Ax+By+G=0与Ax+By+C2=0间的距离.A2,B217、过直线l1:Ax+B1y+c1=0与l2:A2X*B2y+C2=0交点的直线方程为(AxB1yC1)(A2xB2yc2)=0'R18、与直线I:躯+By+C=O平行的直线方程为Ax+By+D=0(C，D)与直线1处+：6丫屹=0垂直的直线方程为Bx-Ay+D=019、中心对称与轴对称：工xix2。2y0)_(1)中心对称：设点F(x1,yi),E(x2,y2)关于点M(x。,y。)对称，则、2(2)轴对币尔:设F(x1，y1)，E(x2,y2)关

37、于直线I：Ax+By+C=0对称，则：x1x2cxy2c=-=-a、B=0时，有2A且yi=y2；b、A=0时，有2B且xi=x21yLy2B=Ix-X2Aax1x2-y1y2A-2By2C=0c、AB#0时，有I2220、圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(圆心Aa,b),半径长为r)圆心o(0,0)，半径长为r的圆的方程x2+y2=r2。21、点与圆的位置关系：222设圆的标准方程(x-a)(yb)r,点M(x0,y0),将m带入圆的标准方程，结果r2在外，<r2在内222222、圆的一般方程:D D E).一,一I 22/为圆心,1 D2 E2 -4F2 为半径的xyD

38、xEyF=0DE-4F0_2_2一一(1)当D+E-4FA0时，表示以圆；CD一日(2)当D2+E2-4F=0时，表示一个点I224当D2+E2-4F<0时,不表不任何图形.23、直线与圆的位置关系：几何角度：圆心到直线的距离与半径大小比较；或代数角度：带入方程组算>0、=0、<024、圆与圆的位置关系：几何角度判断(圆心距与半径和差的关系)(1)相离=IC1C2叫"2；(2)外切之匕1"=:1'2；(3)相交u|r1-r2<C1C2<r1+r2(4)内切片1cle2=r1-r2.(5)内含u1cle2<r1-r2.25、过两圆/

39、+黄+5*+曰丫+又=0与x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆的方程2222(xyD1xE1yF)1(xyD2xE2yF2)=0=-1)当九=-1时，即两圆公共弦所在的直线方程26、点P(xi,yi,乙)，p2(x2,y2,z2)间的距离pP2l=V(x2-Xl)+(y2-yi)+(Z2-Zi)高中数学必修3知识点算法初步算法的概念算法的特点：(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤

40、只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.程序框图输入、输出语句和赋值语句3、赋值语句图形计算器格式变量;表达式表达式t变量(1)赋值语句的一般格式厂工工工一：(2)赋值语句的作用是将式所代表的值赋给变量；(3)赋值语句中的称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左

41、边的变量；(4)赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；(5)对于一个变量可以多次赋值。注意：赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。不能利用赋值语句进行代数式的演算。(如化简、因式分解、解方程等)赋值号“二”与数学中的等号意义不同。分析：在IF-THEN-ELSE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；ENDIF表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，则执

42、行THEN后面的语句1;若条件不符合，则执行ELSE后面的语句21.3.1辗转相除法与更相减损术1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：(1):用较大的数m除以较小的数n得到一个商S0和一个余数R0;(2)：若R0=0,则n为m,n的最大公约数；若R0*0,则用除数n除以余数R0得到一个商S1和一个余数R1;(3):若R1=0,则R1为m,n的最大公约数；若R1W0,则用除数R0除以余数R1得到一个商S2和一个余数R2；依次计算直至R=0,此时所得到的即为所求的最大公约数。2、更相减损术我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在九章算术中有更相减损术求

43、最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母？子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。翻译为：(1):任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。(2):以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)就是所求的最大公约数。例2用更相减损术求98与63的最大公约数.分析：(略)3、辗转相除法与更相减损术的区别：(1)都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

44、(2)从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到1.3.2秦九韶算法与排序1、秦九韶算法概念：f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0求值问题f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+.+a1)x+a0=(anxn-2+an-1xn-3+.+a2)x+a1)x+a0=(.(anx+an-1)x+an-2)x+.+a1)x+a0求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v仁anx+an-1然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3

45、vn=vn-1x+a0这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。第二章统计2.1.1简单随机抽样1 .总体和样本在统计学中，把研究对象的全体叫做总体.把每个研究对象叫做个体.把总体中个体的总数叫做总体容量.为了研究总体工的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：%,，4研究，我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.2 .简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位

46、之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。3 .简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法；随机数表法；计算机模拟法；使用统计软件直接抽取。在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：总体变异情况；允许误差范围；概率保证程度。4 .抽签法：（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；（2）准备抽签的工具，实施抽签（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。5 .随机数表法：例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。6 .1.2系统抽样1 .系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取

47、样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。2 .系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用,总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。2.1.3分层抽样1.分层抽样(类型

48、抽样)：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后,将这些子样本合起来构成总体的样本。两种方法：1 .先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。2 .先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。3 .分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。分层标准：(1)以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。(2)

49、以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。(3)以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。3.分层的比例问题：(1)按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。(2)不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。1 .2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征一XiX2XnX二1、本均值：ns二s2二(X-

50、X)2(X2-x)2(xn)22 、.样本标准差：丫n3 .用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息。4 .(1)如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变(2)如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k,标准差变为原来的k倍(3)一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间(x-3s，x+3s)的应用；“去

51、掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理1 .3.2两个变量的线性相关1、概念：(1)回归直线方程(2)回归系数2 .回归直线方程的应用(1)描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系(2)利用回归方程进行预测；把预报因子(即自变量x)代入回归方程对预报量(即因变量Y)进行估计，即可得到个体Y值的容许区间。(3)利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控制的目标。如已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度。4.应用直线回归的注意事项(1)做回归分析要有实际意义；(2)回归分析

52、前，最好先作出散点图；(3)回归直线不要外延。第三章概率3.1.1 3.1.3随机事件的概率及概率的意义1、基本概念：(1)必然事件：在某种条件下，一定会发生的事件，叫做必然事件；(2)不可能事件：在某种条件下，一定不会发生的事件，叫做不可能事件；(3)随机事件：在某种条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件；(4)基本事件：试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的时间叫基本事件；(5)基本事件空间：所有基本事件构成的集合，叫做基本事件空间，用大写希腊字母Q表不；(5)频数、频率：在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数；称事件A出现的比例为事件