劳思判据和郝尔薇茨稳定判据

1、劳思判据和郝尔薇茨稳定判据第一页，共14页。6.2.1 劳思判据劳思判据劳思判据充要条件：劳思判据充要条件：n系统特征方程的各项系数均大于零，即系统特征方程的各项系数均大于零，即ai0；n劳思计算表第一列各项符号皆相同。劳思计算表第一列各项符号皆相同。 满足上述条件则系统稳定，否则系统不稳定，各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。满足上述条件则系统稳定，否则系统不稳定，各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。劳思计算表的求法劳思计算表的求法n列写劳思阵列，并将系统特征方程的系数按如下形式排列成阵列首两行，即列写劳思阵列，并将系统特征方程的系数按如下形式排列成阵列首两行，即101121243213

2、4321275311642wsvsuusccccsbbbbsaaaasaaaasnnnnnnnnnnnn第二页，共14页。6.2.1 劳思判据劳思判据n计算劳思表计算劳思表 系数系数bi的计算要一直进行到其余的的计算要一直进行到其余的bi值都等于零时为止。值都等于零时为止。 用同样的前两行系数交叉相乘，再除以前一行第一个元素的方法，可以计算用同样的前两行系数交叉相乘，再除以前一行第一个元素的方法，可以计算c、d、e等各行的系数。等各行的系数。176131541213211nnnnnnnnnnnnnnnaaaaabaaaaabaaaaab第三页，共14页。6.2.1 劳思判据劳思判据 12121

3、1141713131512121311ccbbcdbbaabcbbaabcbbaabcnnnnnn第四页，共14页。6.2.1 劳思判据劳思判据低阶系统的劳思判据低阶系统的劳思判据n对于二阶和三阶等低阶系统，可以简化劳思稳定判据，以便直接进行稳定性判断。对于二阶和三阶等低阶系统，可以简化劳思稳定判据，以便直接进行稳定性判断。n二阶系统劳思判据充要条件二阶系统劳思判据充要条件 特征方程各项系数均为正，则系统稳定。特征方程各项系数均为正，则系统稳定。n三阶系统劳思判据充要条件三阶系统劳思判据充要条件 特征方程各项系数均为正，且中间两项系数之积大于首尾两项系数之积，则系统特征方程各项系数均为正，且中

4、间两项系数之积大于首尾两项系数之积，则系统稳定。稳定。第五页，共14页。6.2.1 劳思判据劳思判据劳思判稳准则特殊情况劳思判稳准则特殊情况n劳思计算表第一列出现零的情况劳思计算表第一列出现零的情况 因为不能用零作为除数，故第一列出现零时，计算表不能继续排下去。为解决该问题，其办法是用因为不能用零作为除数，故第一列出现零时，计算表不能继续排下去。为解决该问题，其办法是用一个小的正数一个小的正数代替代替0进行计算，再令进行计算，再令0求极限来判别第一列系数的符号。求极限来判别第一列系数的符号。n劳思计算表中出现某一行各项全为零的情况劳思计算表中出现某一行各项全为零的情况 此时，劳思表将在全为零的

5、一行处中断，其解决办法是将不为零的最后一行的各项组成一个此时，劳思表将在全为零的一行处中断，其解决办法是将不为零的最后一行的各项组成一个“辅助方程式辅助方程式”，将该方程式对，将该方程式对s求导数，用求得的各项系数代替原来为零的各项，然后按劳求导数，用求得的各项系数代替原来为零的各项，然后按劳思计算表的写法继续写完以后各项，对称根可由辅助方程求得。思计算表的写法继续写完以后各项，对称根可由辅助方程求得。第六页，共14页。例例6.1w设某控制系统如图所示，试确定设某控制系统如图所示，试确定K为何值时系统稳定。为何值时系统稳定。解：系统的闭环传递函数为解：系统的闭环传递函数为 则系统的特征方程为则

6、系统的特征方程为 此系统为三阶系统，根据三阶系统稳定的充要条件可得：此系统为三阶系统，根据三阶系统稳定的充要条件可得： 即当即当 时，系统稳定。时，系统稳定。 KsssKsssKsssKsXsXio56151152305623KsssKK1560，300 K第七页，共14页。例例6.2设闭环控制系统的传递函数为设闭环控制系统的传递函数为 判定该系统是否稳定。如不稳定，求出具有正实部的根数。判定该系统是否稳定。如不稳定，求出具有正实部的根数。解：系统的特征方程为解：系统的特征方程为 上式各项系数均为正。上式各项系数均为正。 列写劳思计算表并计算得列写劳思计算表并计算得 劳思表第一列符号不全相同，

7、有两次符号变化，故闭环系统有两个正实部的根，系统不稳定。劳思表第一列符号不全相同，有两次符号变化，故闭环系统有两个正实部的根，系统不稳定。 800200881422017123234523sssssssssG0800200881422345sssss8001218007 .7420030800882200141012345ssssss第八页，共14页。例例6.3已知系统特征方程为已知系统特征方程为 ，判别系统是否稳定，若不稳定，求不稳定根的数目。，判别系统是否稳定，若不稳定，求不稳定根的数目。解：根据特征方程可知，其各项系数均为正。解：根据特征方程可知，其各项系数均为正。 列写劳思计算表并计算

8、得列写劳思计算表并计算得 当当 0时，时， ，故第一列有两次变号，系统特征方程有两个正根，系，故第一列有两次变号，系统特征方程有两个正根，系统不稳定。统不稳定。0126322345sssss 136231362301622310212345ssssss233623362，第九页，共14页。例例6.4已知控制系统的特征方程为已知控制系统的特征方程为 ，试判定系统的稳定性。，试判定系统的稳定性。解：根据系统的特征方程可知，其各项系数均为正。解：根据系统的特征方程可知，其各项系数均为正。 列写劳思计算表并计算得列写劳思计算表并计算得 因因s3行各项全为零，故以行各项全为零，故以s4行的各项作系数，列

9、写辅助方程如下：行的各项作系数，列写辅助方程如下： 将将A(s)对对s求导，得求导，得0161620128223456ssssss00861)16122(861)16122(162081344556ssssss 8624sssA sssAdsd1243第十页，共14页。例例6.4 再将上式的系数代替再将上式的系数代替s3行的各项系数，继续写出以下劳思计算表行的各项系数，继续写出以下劳思计算表 从劳思表的第一列可以看出，各项均无符号变化，故特征方程无正根。但是因从劳思表的第一列可以看出，各项均无符号变化，故特征方程无正根。但是因s3行出现全为零的情况，故必有共轭虚根行出现全为零的情况，故必有共轭

10、虚根存在。存在。 共轭虚根可通过辅助方程求得共轭虚根可通过辅助方程求得 其共轭虚根为其共轭虚根为 ，这四个根同时也是原方程的根，他们位于虚轴上，因此该控制系统处于，这四个根同时也是原方程的根，他们位于虚轴上，因此该控制系统处于临界状态，系统不稳定。临界状态，系统不稳定。8318331)124(86186116208101233456ssssssss08624 ssjsjs224321，；第十一页，共14页。6.2.2 赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据充要条件赫尔维茨稳定判据充要条件n系统特征方程的各项系数全部为正；系统特征方程的各项系数全部为正；n将系统特征方程各项系数排列成如

11、下行列式：将系统特征方程各项系数排列成如下行列式： 当主行列式及其主对角线上的各子行列式均大于零时，即当主行列式及其主对角线上的各子行列式均大于零时，即021231425310000000000000000000aaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnn第十二页，共14页。6.2.2 赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据 则方程无正根，系统稳定。则方程无正根，系统稳定。赫尔维茨稳定判据之行列式直接由系数排列而成，规律简单明确，使用也比较方便，但赫尔维茨稳定判据之行列式直接由系数排列而成，规律简单明确，使用也比较方便，但是对六阶以上的系统，很少应用。是对六阶以上的系统，很少应用。0000031425313231211nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaa第十三页，共14页。6.2.2 赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据举例举例例例5-4 若已知系统的特征方程为若已知系统的特征方程为 ，试判断系统是否稳定。，试判断系统是否稳定。解：系统特征方程的各项系数均为正数。解：系统特征方程的各