概率论课件概率

1、二、随机变量的概念二、随机变量的概念一、随机变量的引入一、随机变量的引入随机变量的概念 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究，学分析的方法来研究， 因此为了便于数学上的推因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化当把一导和计算，就需将任意的随机事件数量化当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建就建立起了随机变量的概念立起了随机变量的概念1. 为什么引入随机变量为什么引入随机变量?一、随机

2、变量的引入2. 随机变量的引入随机变量的引入实例实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球在一装有红球、白球的袋中任摸一个球, ,观察摸出球的颜色观察摸出球的颜色. .S=红色、白色红色、白色 非数量非数量将将 S 数量化数量化 ?可采用下列方法可采用下列方法 S红色红色 白色白色)(eXR10即有即有 X ( (红色红色)=)=1 , ., 0, 1)(白色白色红色红色eeeXX (白色白色)=0.这样便将非数量的这样便将非数量的 S=红色，白色红色，白色 数量化了数量化了. .实例实例2 抛掷骰子抛掷骰子, ,观察出现的点数观察出现的点数. ., 3) 3(, 2) 2(, 1) 1 (

3、XXX, 6)6(, 5)5(, 4)4( XXX1(1, 2, 3, 4, 5, 6).6P XiiS=1，2，3，4，5，6样本点本身就是数量样本点本身就是数量恒等变换恒等变换且有且有eeX )(则有则有.)(, )(,)(,. , 为随机变量为随机变量称称上的单值实值函数上的单值实值函数这样就得到一个定义在这样就得到一个定义在与之对应与之对应有一个实数有一个实数果对于每一个果对于每一个如如它的样本空间是它的样本空间是是随机试验是随机试验设设eXeXSeXSeeSE 二、随机变量的概念1.定义定义随机变量随着试验的结果不同而取不同的值随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, , 由于试验的

4、各个结果的出现具有一定的概率由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, , 因此因此随机变量的取值也有一定的概率规律随机变量的取值也有一定的概率规律. .(2) 随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数随机变量是一个函数 , , 但它与普通的函数有但它与普通的函数有着本质的差别着本质的差别 , ,普通函数是定义在实数轴上的普通函数是定义在实数轴上的, ,而而随机变量是定义在样本空间上的随机变量是定义在样本空间上的 ( (样本空间的元素样本空间的元素不一定是实数不一定是实数).).2.说明说明(1) 随机变量与普通的函数不同随机变量与普通的函数不同随机事件

5、包容在随机变量这个范围更广的概念随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内之内. .或者说或者说 : : 随机事件是从静态的观点来研究随随机事件是从静态的观点来研究随机现象机现象, ,而随机变量则是从动态的观点来研究随机而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象现象. .(3)随机变量与随机事件的关系随机变量与随机事件的关系实例实例3 掷一个硬币掷一个硬币, , 观察出现的面观察出现的面 , , 共有两个共有两个结果结果: :),(1反面朝上反面朝上 e),(2正面朝上正面朝上 e若用若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数表示掷一个硬币出现正面的次数, , 则有则有)(eX)(1反面朝上反面朝

6、上 e)(2正面朝上正面朝上 e100)(1 eX1)(2 eX即即 X (e) 是一个随机变量是一个随机变量. .实例实例4 在有两个孩子的家庭中在有两个孩子的家庭中, ,考虑其性别，考虑其性别， 共共有有 4 4 个样本点个样本点: :. )(),(, )(),(4321女女女,女,男男女,女,女女男,男,男男男,男, eeee若用若用 X 表示该家女孩子的个数时表示该家女孩子的个数时 , , 则有则有, 0)(1 eX, 1)(2 eX, 1)(3 eX, 2)(4 eX可得随机变量可得随机变量 X(e), , ., 2, 1, 0)(4321eeeeeeeeeX实例实例5 设盒中有设盒

7、中有5个球个球 (2白白3黑黑), , 从中任抽从中任抽3个个, ,则则,)(抽得的白球数抽得的白球数 eX是一个随机变量是一个随机变量. .实例实例6 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现现该射手射了该射手射了30次次, , 则则,)(射中目标的次数射中目标的次数 eX是一个随机变量是一个随机变量. .且且 X(e) 的所有可能取为的所有可能取为: :, 0, 1. 2且且 X(e) 的所有可能取值为的所有可能取值为: :.30, , 3, 2, 1, 0实例实例7 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, ,现该射手不

8、断向目标射击现该射手不断向目标射击, , 直到击中目标为止直到击中目标为止, ,则则,)(所需射击次数所需射击次数 eX是一个随机变量是一个随机变量. .且且 X(e) 的所有可能取值为的所有可能取值为: :., 3, 2, 1实例实例8 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过分钟有一辆汽车通过, , 如果某人到达该车站的时刻是随机的如果某人到达该车站的时刻是随机的, , 则则,)(此人的等车时间此人的等车时间 eX是一个随机变量是一个随机变量. .且且 X(e) 的所有可能取值为的所有可能取值为: :.5,03.随机变量的分类随机变量的分类离散型离散型(1)离散型离散型 随

9、机变量所取的可能值是有限多个或随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个无限可列个, , 叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量. . 观察掷一个骰子出现的点数观察掷一个骰子出现的点数. .随机变量随机变量 X 的可能值是的可能值是 : :随机变量随机变量连续型连续型实例实例91, 2, 3, 4, 5, 6.非离散型非离散型其他其他实例实例10 若随机变量若随机变量 X 记为记为 “连续射击连续射击, , 直至命直至命中时的射击次数中时的射击次数”, , 则则 X 的可能值是的可能值是: : ., 3, 2, 1实例实例11 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.

10、8,现该射手射了现该射手射了30次次, ,则随机变量则随机变量 X 记为记为“击中目标击中目标的次数的次数”, , 则则 X 的所有可能取值为的所有可能取值为: :.30, 3, 2, 1, 0实例实例13 随机变量随机变量 X 为为“测量某零件尺寸时的测量测量某零件尺寸时的测量误差误差”. .则则 X 的取值范围为的取值范围为 (a, b) .实例实例12 随机变量随机变量 X 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”. .)., 0 (2)连续型连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间满某个区间, ,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量. .则则 X 的取值范

11、围为的取值范围为一一、离散型随机变量离散型随机变量二二、常见离散型的分布律常见离散型的分布律离散型随机变量及其分布律一、离散型随机变量 观察掷一个骰子出现的点数观察掷一个骰子出现的点数. .随机变量随机变量 X 的可能值是的可能值是 : :实例实例11, 2, 3, 4, 5, 6.定义定义 随机变量所取的可能值是有限多个或无限可随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个列个, , 叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量. .实例实例2 若随机变量若随机变量 X 记为记为 “连续射击连续射击, , 直至命直至命中时的射击次数中时的射击次数”, , 则则 X 的可能值是的可能值是: : ., 3,

12、 2, 1实例实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次, ,则随机变量则随机变量 X 记为记为“击中目标击中目标的次数的次数”, ,则则 X 的所有可能取值为的所有可能取值为: :.30, 3, 2, 1, 0说明说明 ;,2,1, 0)1( kpk.1)2(1 kkp., 2, 1, ),2,1(的分布律的分布律称此为离散型随机变量称此为离散型随机变量为为的概率的概率即事件即事件取各个可能值的概率取各个可能值的概率所有可能取的值为所有可能取的值为设离散型随机变量设离散型随机变量XkpxXPxXXkxXkkkk 二、离散型

13、随机变量的分布律定义定义离散型随机变量的分布律也可表示为离散型随机变量的分布律也可表示为 nnpppxxxX2121XkPnxxx21nppp21., )(,.21,分布律分布律的的求求相互独立的相互独立的设各组信号灯的工作是设各组信号灯的工作是组数组数它已通过的信号灯的它已通过的信号灯的表示汽车首次停下时表示汽车首次停下时以以过过通通的概率允许或禁止汽车的概率允许或禁止汽车每组信号灯以每组信号灯以信号灯信号灯的道路上需经过四组的道路上需经过四组设一汽车在开往目的地设一汽车在开往目的地XX解解,通过的概率通过的概率为每组信号灯禁止汽车为每组信号灯禁止汽车设设 p则有则有kPX43210ppp)

14、1( pp2)1 ( pp3)1 ( 4)1(p 例例1代入得代入得将将21 p5 . 025. 0 125. 0 0625. 0 0625. 0XkP43210常见离散型随机变量的概率分布设随机变量设随机变量X 只可能取只可能取0与与1两个值两个值, 它的分布它的分布律为律为XkP0p 11p则称则称X 服从服从(0-1)分布分布或或两点分布两点分布. .1. 两点分布两点分布 实例实例1 “抛硬币抛硬币”试验试验, ,观察正、反两面情观察正、反两面情况况. 随机变量随机变量 X 服从服从 (0-1) 分布分布. ., 1)(eXX , 0,正面正面当当 e.反面反面当当 eXkP01212

15、1其分布律为其分布律为实例实例2 200件产品中件产品中, 有有190 件合格品件合格品, 10 件不合格件不合格品品, 现从中随机抽取一件现从中随机抽取一件, 那么那么, 若规定若规定 , 0, 1X取得不合格品取得不合格品, ,取得合格品取得合格品.则随机变量则随机变量 X 服从服从(0-1)分布分布. .XkP0120019020010 两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布, ,任何一个只有任何一个只有两种可能结果的随机现象两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点都属于

16、两点分布分布. .说明说明2. 等可能分布等可能分布如果随机变量如果随机变量X 的分布律为的分布律为例如例如 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量抛掷骰子并记出现的点数为随机变量X,XkP161234566161616161则有则有 .,)(),(服从等可能分布服从等可能分布则称则称其中其中Xjiaaji XkPnaaa21nnn111将试验将试验E 重复进行重复进行n 次次, 若各次试验的结果互若各次试验的结果互不影响不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果它各次试验的结果, 则称这则称这n 次试验是次试验是相互独立相互独立的的, 或称

17、为或称为n 次重复独立试验次重复独立试验. .(1) 重复独立试验重复独立试验3. 二项分布二项分布(2) n 重重伯努利试验伯努利试验.1)(),10()( .,:pAPppAPEAAE 此时此时设设为伯努利试验为伯努利试验则称则称及及只有两个可能结果只有两个可能结果设试验设试验. , 重重伯伯努努利利试试验验 nnE复复的的独独立立试试验验为为则则称称这这一一串串重重次次独独立立地地重重复复地地进进行行将将实例实例3 抛一枚硬币观察得到正面或反面抛一枚硬币观察得到正面或反面. . 若将硬币若将硬币抛抛 n 次次, ,就是就是n重伯努利试验重伯努利试验.实例实例4 抛一颗骰子抛一颗骰子n次次

18、, ,观察是否观察是否 “出现出现 1 点点”, 就是就是 n重伯努利试验重伯努利试验. .(3) 二项概率公式二项概率公式,发生的次数发生的次数重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件表示表示若若AnX所有可能取的值为所有可能取的值为则则 X., 2, 1, 0n,)0(时时当当nkkX .次次次试验中发生了次试验中发生了在在即即knA 次次kAAA, 次次knAAA 次次1 kAAAA A 次次1 knAAA次的方式共有次的方式共有次试验中发生次试验中发生在在得得knA,种种 kn且两两互不相容且两两互不相容. .nknknnkpqpknpqnqpnkX 1110称这样的分布为称这样的分布为二

19、项分布二项分布. .记为记为).,(pnBX次的概率为次的概率为次试验中发生次试验中发生在在因此因此knAknkppkn )1(pq 1记记knkqpkn 的分布律为的分布律为得得 X二项分布二项分布1 n两点分布两点分布二项分布的图形二项分布的图形例如例如 在相同条件下相互独立地进行在相同条件下相互独立地进行 5 次射击次射击, ,每次每次射击时击中目标的概率为射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次数则击中目标的次数 X 服从服从 B (5,0.6) 的二项分布的二项分布. .5) 4 . 0(44 . 06 . 015 324 . 06 . 025 234 . 06 . 035

20、4 . 06 . 0454 56 . 0XkP012345?)20,1,0(20.20,2 . 0.1500一级品的概率是多少一级品的概率是多少只只只元件中恰有只元件中恰有问问只只现在从中随机地抽查现在从中随机地抽查级品率为级品率为已知某一大批产品的一已知某一大批产品的一小时的为一级品小时的为一级品的使用寿命超过的使用寿命超过规定某种型号电子元件规定某种型号电子元件 kk分析分析 这是不放回抽样这是不放回抽样. .但由于这批元件的总数很但由于这批元件的总数很大大, , 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小很小, ,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理因

21、而此抽样可近似当作放回抽样来处理. .,一一级级品品看看成成是是一一次次试试验验把把检检查查一一只只元元件件是是否否为为例例2.2020重重伯伯努努利利试试验验只只元元件件相相当当于于做做检检查查解解,20 只只元元件件中中一一级级品品的的只只数数记记以以 X),2 . 0,20( BX则则因此所求概率为因此所求概率为.20, 1 , 0,)8 . 0()2 . 0(2020 kkkXPkk012. 00 XP058. 01 XP137. 02 XP205. 03 XP218. 04 XP175. 05 XP109. 06 XP055. 07 XP022. 08 XP007. 09 XP002

22、. 010 XP时时当当11,001. 0 kkXP图示概率分布图示概率分布.,400,02. 0,率率试试求求至至少少击击中中两两次次的的概概次次独独立立射射击击设设每每次次射射击击的的命命中中率率为为某某人人进进行行射射击击解解,X设击中的次数为设击中的次数为. )02. 0,400( BX则则的分布律为的分布律为X,)98. 0()02. 0(400400 kkkkXP .400, 1, 0 k因此因此1012 XPXPXP399400)98. 0)(02. 0(400)98. 0(1 .9972. 0 例例3 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站, ,每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,

23、 ,设每设每辆汽车在一天的某段时间内辆汽车在一天的某段时间内, ,出事故的概率为出事故的概率为0.0001, 在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过辆汽车通过, , 问出事故问出事故的次数不小于的次数不小于2 2的概率是多少的概率是多少? ?, )0001.0,1000( BX99910009999. 00001. 0110009999. 01 设设 1000 辆车通过辆车通过, ,出事故的次数为出事故的次数为 X , , 则则解解例例4故所求概率为故所求概率为1012 XPXPXP二项分布二项分布 泊松分布泊松分布)(nnp 4. 泊松分布泊松分布 ).(,.0,2,1

24、,0,!e, 2, 1, 0 XXkkkXPk记为记为的泊松分布的泊松分布服从参数为服从参数为则称则称是常数是常数其中其中值的概率为值的概率为而取各个而取各个的值为的值为设随机变量所有可能取设随机变量所有可能取 泊松分布的图形泊松分布的图形泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时粒子个数的情况时, ,他们他们做了做了26082608次观察次观察( (每次时间为每次时间为7.57.5秒秒) )发现放射性物发现放射性物质在规定的一段时间内质在规定的一段时间内,

25、, 其放射的粒子数其放射的粒子数X 服从泊服从泊松分布松分布. . 在生物学、医学、工业统计、保险科学及公在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中用事业的排队等问题中 , , 泊松分布是常见的泊松分布是常见的. .例例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等唤次数等, , 都服从泊松分布都服从泊松分布. .电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数地震地震火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水上面我们提到上面我们提到二项分布二项分布 泊松分布泊松分布)(nnp 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站

26、, ,每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过, ,设每设每辆汽车在一天的某段时间内辆汽车在一天的某段时间内, ,出事故的概率为出事故的概率为0.0001, 在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过辆汽车通过, , 问出事故问出事故的次数不小于的次数不小于2的概率是多少的概率是多少? ?),0001.0,1000( BX设设 1000 辆车通过辆车通过, ,出事故的次数为出事故的次数为 X , , 则则解解例例4可利用泊松定理计算可利用泊松定理计算, 1 . 00001. 01000 所求概率为所求概率为99910009999.00001.0110009999.01 .0047

27、. 0! 1e1 . 0!0e11 . 01 . 0 2 XP1012 XPXPXP 为了保证设备正常工作为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修工需配备适量的维修工人人 ( (工人配备多了就浪费工人配备多了就浪费, 配备少了又要影响生配备少了又要影响生产产) ),现有同类型设备现有同类型设备300台台, ,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的, ,发生故障的概率都是发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理故障可由一个人来处理( (我们也只考虑这种情况我们也只考虑这种情况) ) ,问至少需配备多少工人问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发

28、生故障但才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于不能及时维修的概率小于0.01?解解.人人设需配备设需配备 N设备设备记同一时刻发生故障的记同一时刻发生故障的,X台数为台数为. )01. 0,300(,BX那么那么所需解决的问题所需解决的问题,N是确定最小的是确定最小的使得使得合理配备维修工人问题合理配备维修工人问题例例5由泊松定理由泊松定理得得,!e303 NkkkNXP故有故有,99. 0!e303 Nkkk即即 Nkkk03!e31 13!e3Nkkk,01. 0 . 8是是小的小的查表可求得满足此式最查表可求得满足此式最N个工人个工人, ,才能保证设备发生故障但不能及时维修的才能保

29、证设备发生故障但不能及时维修的概率小于概率小于0.01.故至少需配备故至少需配备8.99. 0 NXP 设有设有80台同类型设备台同类型设备, ,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的发生故障的概率都是发生故障的概率都是 0.01, 且一台设备的故障能由且一台设备的故障能由一个人处理一个人处理. . 考虑两种配备维修工人的方法考虑两种配备维修工人的方法 , 其一其一是由四人维护是由四人维护, 每人负责每人负责20台台; 其二是由其二是由3人共同维人共同维护台护台80. 试比较这两种方法在设备发生故障时不能试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小及时维修的概率的大小. .解解

30、按第一种方法按第一种方法, ,障的台数”障的台数”台中同一时刻发生故台中同一时刻发生故人维护的人维护的记“第记“第以以201X维修”，维修”，中发生故障时不能及时中发生故障时不能及时台台人维护的人维护的表示事件“第表示事件“第以以20)4, 3, 2, 1(iiAi 例例6)()(14321APAAAAP .2 XP, )01. 0,20( BX而而np 又又, 2 . 0 故有故有 22 . 0!)2 . 0(2kkkkXP.0175. 0 即有即有.0175. 0)(4321 AAAAP则知则知80台中发生故障而不能及时维修的概率为台中发生故障而不能及时维修的概率为 按第二种方法按第二种方

31、法.80障的台数障的台数台中同一时刻发生故台中同一时刻发生故记记以以Y, )01. 0,80( BY则有则有np 又又, 8 . 0 故故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为台中发生故障而不能及时维修的概率为 48 . 0!)8 . 0(4kkkkYP.0091. 0 5. 几何分布几何分布 若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为则称则称 X 服从服从几何分布几何分布. .实例实例6 设某批产品的次品率为设某批产品的次品率为p, 对该批产品做有对该批产品做有放回的抽样检查放回的抽样检查, 直到第一次抽到一只次品为止直到第一次抽到一只次品为止 ( ( 在此之前抽到的全是正品在此之前

32、抽到的全是正品 ), ), 那么所抽到的产品那么所抽到的产品数数 X 是一个随机变量是一个随机变量 , , 求求X 的分布律的分布律. ., 1, qpXkpk21pqppqk 1 )(121kkAAAAPkXP )()()()(121kkAPAPAPAP ppppk )1()1()1)(1(.1pqk ),2,1( k所以所以 X 服从几何分布服从几何分布. .说明说明 几何分布可作为描述某个试验几何分布可作为描述某个试验 “首次成功首次成功”的概率模型的概率模型. .解解., 3,2,1所取的可能值是所取的可能值是X,个产品是正品”个产品是正品”表示“抽到的第表示“抽到的第设设iAi一、分

33、布函数的概念一、分布函数的概念二、分布函数的性质二、分布函数的性质三、例题讲解三、例题讲解分布函数及其性质对于随机变量对于随机变量X, 我们不仅要知道我们不仅要知道X 取哪些值取哪些值, , 要知道要知道 X 取这些值的概率取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知而且更重要的是想知道道 X 在任意有限区间在任意有限区间(a, b)内取值的概率内取值的概率. .21xXxP 12xXPxXP )(2xF)(1xF21xXxP 分布分布函数函数 ).()(12xFxF ?一、分布函数的概念例如例如.,(21内的概率内的概率落在区间落在区间求随机变量求随机变量xxX1.概念的概念的引入引入2.分布函数

34、的定义分布函数的定义说明说明(1) (1) 分布函数主要研究变量在某一区间内取值的概分布函数主要研究变量在某一区间内取值的概率情况率情况. .)(,的分布函数的分布函数称为称为函数函数是任意实数是任意实数是一个随机变量是一个随机变量设设定义定义XxXPxFxX .)()2(的的一一个个普普通通实实函函数数是是分分布布函函数数xxF抛掷均匀硬币抛掷均匀硬币, , 令令 ., 0, 1出反面出反面出正面出正面X求随机变量求随机变量 X 的分布函数的分布函数. .解解1 XP0 XP,21 0 1x,0时时当当 x;0 0)( xXPxF实例实例 0 1x,10时时当当 x)(xXPxF 0 XP;

35、21 ,1时时当当 x)(xXPxF 0 XP1 XP2121 . 1 . 1, 1, 10,21, 0, 0)(xxxxF得得);,(, 1)(0)1( xxF);(),()()2(2121xxxFxF 证明证明21xx 由由,21xXPxXP 得得).()(21xFxF 故故1xX ,2xX ,)(11xXPxF 又又,)(22xXPxF 二、分布函数的性质, 0)(lim)()3( xFFx,)(xXPxF 0lim)(lim xXPxFxxxoxo; 1)(lim)( xFFx证明证明,越越来来越越小小时时当当 x,的的值值也也越越来来越越小小xXP 有有时时因因而而当当, x.),(

36、, ),(,内内必然落在必然落在时时当当而而的值也不会减小的值也不会减小增大时增大时当当同样同样 XxxXxXPx).(),()(lim)4(000 xxFxFxx即任一分布函数处处即任一分布函数处处右连续右连续. . ., 1,0, 0, 0)(221211xxxxxpxxpxxF. 1lim)(lim xXPxFxx所以所以xo)(xF 1x 2x 1p 2p 1重要公式重要公式),()() 1 (aFbFbXaP ).(1) 2(aFaXP 证明证明,bXaaXbX 因为因为, bXaaX,bXaPaXPbXP 所以所以).()(aFbFbXaP 故故 ,TTTTTHTHTHTTTHHH

37、THHHTHHHS 因此分布律为因此分布律为818383813210PX解解则则三、例题讲解.31, 5 . 5,31, XPXPXPXX列概率值列概率值并求下并求下的分布律及分布函数的分布律及分布函数求求”出现的次数出现的次数表示“三次中正面表示“三次中正面将一枚硬币连掷三次将一枚硬币连掷三次例例1,反面反面正面正面设设 TH;218381 ,0时时当当 x,10时时当当 x求分布函数求分布函数)(xXPxF xO 1 2 3)(xXPxF 0 XP;810 ixip)(xXPxF 1ixip0 XP1 XP; 0 ,21时时当当 x,32时时当当 x;87838381 ,3时时当当 x)(xXPxF )(xXPxF 2ixip0 XP1 XP2 XPxO 1 2 3. 1 3ixip0 XP1 XP2 XP3 XP31 XP3 13 XPXPXP)