04级硕士西北工业大学硕士学位

1、西北工业大学分类号 TH112 学校代1码0699 密级 学0060号20039题目： 齿轮五杆组合机构连杆曲线特性的研究作者： 姜爱国指导教师 葛文杰专业技术职务 教授学科（专业）机械设计及理论答辩日期 2003 . 3 学位授予日期 1西北工业大学摘要齿轮五杆机构由于比铰链四杆机构具有的参数，因而它能够实现比四杆机构更为丰富的轨迹，并且其轨迹曲线往往比较复杂而难以。由于齿轮五杆机构中的参数比较多，故研究各参数对齿轮五杆机构轨迹曲线的影响也变得一些。本主要研究了齿轮五杆机构中与机架相连的两连架杆的双曲柄的存在条件、齿轮五杆机构的分类以及在每一分类中齿轮五杆机构能够整周转动时其相位角和传动比的

2、范围。然后，能够整周转动的齿轮五杆机构，研究了其上的一点在齿轮机构的传动比、初始相位角、杆长以及两杆之间的夹角变化时的轨迹曲线以及速度和度曲线的情况。首先根据 N 杆机构的理论，得到了五杆机构的分类以及五杆机构中两相邻杆的夹角为周转角时的充分必要条件以及五杆机构能够整周转动时的充分必要条件。然后详细的讨论了五杆机构在每一种分类情况下机构中存在双曲柄时机构的传动比及相位角的范围。根据该条件所得到的算法，以 Windows 为平台，以面向对象的 Visual C+6.0 为开发工具，开发了一套智能化的齿轮五杆机构的轨迹生成软件系统，实现了机构参数的可视化输入、机构的轨迹曲线、速度和度曲线的动态生成

3、，从而实现了齿轮五杆机构轨迹曲线的动态模拟。以该软件系统为平台，研究齿轮五杆机构中的各参数对轨迹曲线的影响。由于齿轮五杆机构轨迹图像的可控参数比较多，我们就详细的讨论了在只有一个参数改变时机构的轨迹图像变化情况，然后总结了齿轮五杆机构在齿轮的传动比、初始相位角、杆长以及两杆之间的夹角变化时的轨迹曲线的变化规律。这对利用轨迹来设计齿轮五杆机构中的各参数具有很重要的指导意义。：齿轮五杆机构双曲柄轨迹曲线计算机图形2西北工业大学AbstractThe geared five-bar linkage has more dimension parameters than the four-bar lin

4、kage, so it can realize more versatile locus curves and its curves are complex and unpredictable. Then its more difficult to research geared five-bars locus curves.The existence of a C-C (crank-crank) type of geared five-bar linkages linked with the ground link , the classification and the range of

5、gear ratio and phase angle in the fully rotatability of geared five-bar linkages are mainly studied in this dissertation. Then the locus curves of one point in the geared five-bar are studied with the change of the gear ratio, the phase angle, the bar length and the angle between two bars.The necess

6、ary and sufficient conditions for the input angle to be rotatable angle of N-bar linkages and the rotatability of five-bar are firstly proved according to the theory of N-bar linkages. Then we conclude the five-bars classification and the gear ratio and phase angle in each classification to be full

7、rotatability. According to the algorithm, with the tool of Visual C+6.0, I developed a set of intelligent software to dynamically create geared five-bars locus curves and velocity and acceleration curves, achieve the visualized input.On the software platform we study the effect of the five-bars para

8、meters on the locus curves. Because there are several parameters to control the locus curves, we particularly present the locus curves in the case that only one parameter change while others remain. Finally, we conclud the law of geared five-bars parameter to effect orbit curves. This is very helpfu

9、l to design geared five-bars parameters using locuscurves.Key word:Geared five-bar, Double crank, Locus curves, Visualization simulation of computer3西北工业大学目录第一章绪论1.1本文的研究意义 .11.2文献综述 .31.3的主要工作 .5本第二章齿轮五杆机构的运动特性研究2.1四杆机构有曲柄条件分析 672.2齿轮五杆机构的装配形式 .2.3N 杆机构转动性的基本理论 72.4五杆机构转动特性的基本理论 .18第三章齿轮五杆机构的分类3.1齿

10、轮五杆机构的变异.193.2齿轮五杆机构的分类 .213.2.1A 类能够整周转动的齿轮五杆机构.243.2.2B 类能够整周转动的齿轮五杆机构.253.2.3C 类能够整周转动的齿轮五杆机构.31第四章齿轮五杆机构软件的可视化344.1软件界面的可视化 .354.2软件使用介绍 .第五章齿轮五杆机构的轨迹特性分析5.1齿轮五杆机构中 F 点的运动区域分析 .425.2齿轮的传动比对轨迹的影响 .455.2.1五杆机构的装配形式为“open”且传动比为正.455.2.2五杆机构的装配形式为“open”且传动比为负.505.2.3五杆机构的装配形式为“cross”且传动比为正.524西北工业大学

11、55.2.4五杆机构的装配形式为“cross”且传动比为负 .555.2.5小结 .575.3初相角对齿轮五杆机构轨迹的影响 .575.3.1五杆机构的装配形式为“open”且传动比为正 .575.3.2五杆机构的装配形式为“open”且传动比为负 .595.3.3五杆机构的装配形式为“cross”且传动比为正 .615.3.4五杆机构的装配形式为“cross”且传动比为负 .625.3.5小结 .645.4杆 e 与杆 b 的夹角对齿轮五杆机构轨迹的影响 .645.4.1五杆机构的装配形式为“open”且传动比为正 .655.4.2五杆机构的装配形式为“open”且传动比为负 .655.4.

12、3五杆机构的装配形式为“cross”且传动比为正 .665.4.4五杆机构的装配形式为“cross”且传动比为负 .665.4.5小结 .675.5杆 e 的长度对齿轮五杆机构的轨迹影响 .675.5.1五杆机构的装配形式为“open”且传动比为正 .675.5.2五杆机构的装配形式为“open”且传动比为负 .675.5.3五杆机构的装配形式为“cross”且传动比为正 .685.5.4五杆机构的装配形式为“cross”且传动比为负 .695.5.5小结 .695.6总结 .69附注五杆机构的其它两个研究方向 71结束语 .73致谢 .74参考文献 .75西北工业大学第一章绪论1.1 本文的

13、研究意义随着计算机技术的发展，计算机的图形/ 图像处理能力也日益增强，这也使得计算机辅助设计能够较好的得以实现。而计算机辅助设计又使得机构学发展到一个新的阶段，它把机构设计理论方法和参数选取等设计者的智慧与计算机系统所具有的强大的逻辑推理、分析 、数据处理、运算速度，二维和三维图形显示等功能结合起来，可以用人机设计工作。的方式，简便、直观、快速、最优地完成在动力机械、汽车、机床、纺织、印刷及其它各种领域中，在各种精密仪器仪表中，由于生产的发展，自动化、机械化程度的提高，运动形式和规律日趋复杂，人们对机构的输出运动提出了更加多样化的要求。由于各种基本机构性能的局限性，使得仅采用某种基本机构往往不

14、能很好的满足设计要求。因而常把几个基本机构组合起来加以应用，这就 了组合机构1 。利用组合机构不仅能满足多种设计要求，而且能综合应用和发挥各种基本机构的特点，因而组合机构得到了越来越广泛的应用。组合机构是由子机构按串联、并联、封闭和装载等形式组成，而其子机构可以是基本机构，也可以是由基本机构按照上述组成形式所组成的机构。由于组合机构的结构较复杂，设计计算亦繁复，对它的计算也变得。近年来，运用了电子计算机和采用了最优化方法，极大的推进了它的研究进展。组合机构可按其基本机构的种类及组成的结构型式进行分类。z按组合机构的基本机构种类分类从广义上看，组合机构可以是机械、气动和电动传动方式的组合。而在机

15、械式中，又有刚性和挠性构件的不同。它可以是由同一种类的机构组合，也由不同种类的机构组合。z按组合机构组成的结构型式分类其基本类型不外乎有串联式、封闭式、并联式和装载式四种。串联式组合机构由基本机构串联而成。封闭式组合机构是用自由度为 1 的基本机构去封闭一个多自由度的基本机构而成。其中多自由度的机构是组成封闭式组合机构的基础， 称为基础机构，而约束（或封闭）多自由度基础机构的机构，称为附加机构。并联式组合机构是由 n 个自由度为 1 的基本机构的输出件与一个自由度为 n 的基本机构的运动输入件分别固联而成。装载式组合机构是将基本机构装载于另一基本机构的运动构件上而的。在机构学中，其研究内容常概

16、括为两个方面的问题：一是机构的分析, 包括机构的结构分析、运动分析和动力分析；二是机构的综合, 它是根据运动和动力6西北工业大学性能方面的要求来设计新的机构。在设计机械运动简图时，与机构设计类似，需要解决两个基本问题：型综合（结构综合）和尺度综合的问题。在工程实践中，齿轮连杆机构的种类最多，是一种应用较广泛的组合机构， 通常由定传动比的齿轮或轮系和变传动比的连杆机构组合而成，两者的叠加运动输出可以实现复杂的运动规律，包括多种规律和运动轨迹，改变齿轮传动比即可调整从动杆的运动规律或轨迹。齿轮连杆机构具有结构简单、紧凑、易于、精度便于保证和运动比较可靠等特点。它与凸轮连杆机构和凸轮齿轮机构相比，由

17、于没有凸轮，制造方便，为人们乐于采用，并具有如下功用：1)实现变速回转运动。可用来实现单向变速运动、短暂停歇的步进运动、长时间近似的步进运动和具有后退的步进运动；实现定传动比的等速回转运动；实现大摆角、大行程和一端停歇的往复运动； 实现两连架杆数对对应位置和再现函数；近似实现给定的轨迹；实现刚体导引。2)3)4)5)6)对齿轮连杆机构的研究可以搞清其组成原理，提出比较简单直观的类型综合方法。进行齿轮连杆机构的类型综合是机构创造发明的重要一环，只有列举出所有的齿轮连杆机构类型，才不至于漏掉最优方案。齿轮连杆机构类型综合也是建立类型方案库的基础工作。所以应深入研究齿轮连杆机构的结构组成原理及类型综

18、合问题。平面四杆机构只有一个自由度。当需要增加自由度的时候，就需要增加杆，这样就得到了 N 杆机构。由于有多个自由度，则需要输入多个运动。如果这些输入是的，那么连杆机构就可以实现可编程。如果这些输入是相互关联的，那么就成为只有一个自由度的机构, 虽然只有一个自由度，但仍然能够实现运动的多样性。相比四杆机构，五杆机构由于具有较多的参数、不同的驱动方式及其不同的传动比要求，因此它能实现比四杆机构更为丰富的轨迹。一般的平面五杆机构有两个自由度，需要两个原动件，比较复杂。但若将两个原动件以定传动比的齿轮副相连接，则可以使机构简化为只需要一个原动件。但这种齿轮连接必须要保证将齿轮连接到五杆机构的曲柄上才

19、有意义，才能够保证齿轮的整周转动性。故五杆机构的双曲柄存在条件就显得非常重要，目前国内外对这一方面也已经做了很多的研究。本首先讨论了 N 杆机构的曲柄存在条件，进而研究了五杆机构的双曲柄存在问题。在研究齿轮五杆机构中点的轨迹曲线特性时，必须保证机构中双曲柄的存在。由于要不断的进行试验，那么用实验的方法进行研究将会非常的麻烦，并且7西北工业大学由于齿轮五杆机构中的参数比较多，研究各参数对齿轮五杆机构轨迹曲线的影响的工作量也将变得非常庞大。而借助于计算机的方法，我们可以编制五杆机构的轨迹特性分析软件，通过软件我们可以方便的研究齿轮五杆机构中参数对轨迹曲线的影响，并可以进而研究机构中的速度和1.2

20、文献综述度的变化情况。对齿轮连杆机构进行运动特性研究，可以搞清其运动规律，发现原来没有发现的新的运动特性，运动分析是运动综合的基础工作。所以应深入研究齿轮连杆机构的运动分析方法。近些年来，齿轮连杆机构得到了广泛的应用3 。国内外许多学者都对齿轮连杆机构进行了研究8-14 ，在运动学分析上，齿轮连杆机构的运动分析方法概括起来有以下的 4 种，即复数矢量法22 、分组运动分析法19 、一般法23 和广义型转化法4-7 。前三种都是每一种机构建立数学模型，再用一定的数学方法求解，不但不具有通用性，而且求解比较复杂。如 Sandor 22 用复数矢量法对几种常见的齿轮连杆机构进行了运动综合与分析，该方

21、法的缺点是每一种机构就需要建立一套不同的非线性方程组，方程组的维数比较大，求解繁复。文献16-18 用复数矢量法对齿条齿轮连杆机构进行了运动分析与综合。其中文献17-18 对用于函数生成的齿条齿轮连杆机构进行了运动分析。文献18 中还分析了用于轨迹生成的齿条齿轮连杆机构。牧野洋用复数矢量法列出了三齿轮四杆机构的运动分析表达式。文献15 对齿轮连杆机构的分组运动分析进行了研究，将齿轮连杆机构分解 为主动件和几种构件组的组合，并建立了 3 种常见构件的运动分析数学模型，并且用解非线性方程组的方法对其进行了运动分析求解，从而可以解决许多齿轮连杆机构的运动分析问题。朱友民还研究了齿轮连杆机构基本杆组的

22、计算机识别。但上述文献中所列的几种构件组并不是最基本的杆组，并且很难列全所有的构件组，故仍有大量的齿轮连杆机构的运动分析问题不能解决。文献19 提出了“低代拆组还原”法，采用此方法将齿轮连杆机构拆成了相应于 Assur 组的基本杆组，这些杆组中有级齿轮连杆杆组，也有级以上的齿轮连杆杆组。该方法需对每种级组和高级组进行分析。文献20 对级齿轮连杆机构进行运动分析。文献21 中用杆、轮分离法对两种高级齿轮连杆杆组进行了运动分析。文献6-7 提出了齿轮连杆机构运动分析的法广义型转化法。这一方法将齿轮连杆机构分为最基本的单元单构件和广义双杆组，将这些有限数目的基本单元的运动分析编为子程序，那么任何齿轮

23、连杆机构的运动分析问题即转化为在虚拟参数下这些基本单元的子程序调用过程，文献6 阐述了广义型转化法的基本原理。文献7 提出了广义型转化法的具体方法和步骤。许多文献对一些具体的齿轮连杆机构用一般法进行了运动分析。8西北工业大学Freudentein 导出了齿轮五杆机构中连接两浮动杆的轴点所生成的轨迹曲线表达式。Primrose 对任意函数比的情况进行了研究。Oleksa 研究了再现函数的齿轮五杆机构多点分割位置设计问题，进行了齿轮五杆机构的有限位移分析和无限小位移分析。文献23 对球面两齿轮五杆机构进行了研究，探讨了球面齿轮连杆机构的位移分析和停歇特性。文献24 用一种新方法研究了齿轮五杆机构的

24、几何学， 其关键思想是将一个机构图形看作一个广维图形空间的点，而所有的图形族就被表示为那个空间的代数曲线。文献25 对 6 种类型的齿轮四杆机构进行了研究， 提出了位移表达式，探讨了其运动特性和动力特性。齿轮连杆机构经常被用来实现预定的功能，轨迹，刚体的运动以及连杆之间的对应位置。在机构设计中经常遇到的问题是确定机构的整周转动特性，也即机构能否整周转动。像四杆机构已经由 Grashof 条件解决了这个问题26 。自从 Grashof 在 1883 年作出了里程碑式的工作，四杆机构的 Grashof 标准吸引了许多研究者的注意，并且成为四杆机构运动性的最有效方法。Harding 27 ，Paul

25、28 ，Barker 29 和 Jeng30 ，以及 Midha31 等人基于连杆机构在极限的位置的几何特性延伸并阐明了 Grashof 的工作。Angeles 和 Callejas32 以及Williams 和 Reinhoitz 33 等人用输入/ 输出关系导出的多项判别式对它进行了检验，Gupta 34 则从传动角的极值直接的得到了它。齿轮五杆机构可被认为是由一个五杆机构环和齿轮串组成的多环机构。Freudenstein 和 Primrose35 在 1963 年研究了一个简单的齿轮五杆机构装置的连杆曲线在给定传动比下的代数、几何和动力学特性。Roth 和 Freudenstein36

26、在1963 年 用数学迭代的方法分析了在传动比分别为 1、1、-1 2 、-1 3 时的齿轮五杆机构用九点生成轨迹的情况。 Sandor 和 Erdman 37 （ 1984 ， 1971） ,Kramere 和 Sandor 38 （1970）用一种一般的平面连杆分析的方法来分析由摆线曲柄连杆机构的生成函数。Starns 和 Flugrad 39 在 1990 年演示了由连续法分析一个简单的齿轮五杆机构的轨迹生成方法。Dhingra 和 Mani 40 在1993 年用符号计算的方法分析了有六个齿轮的齿轮机构。Duffy 41 在 1980 年作了简单的摆线型和一般型的齿轮机构分析。然而，对

27、比在四杆机构上所做的工作（Waldron，19761979），在齿轮五杆机构上，我们会看到到在齿轮五杆机构的整周转动特性以及齿轮五杆机构的分类上仍然存在很多的问题。齿轮五杆机构整周转动特性，Lee 和 Freudenstein 42 用了一系列为了的图谱来进行分析。Soni 和 Shirkhodaire 43 用 3D 图形并编写了一个计算算法来进行分析。但这些工作都局限在齿轮机构的传动比为固定时的情况。并没有得到判定五杆机构的整周转动性所需的基本理论和标准。这里主要有两种方法来研究连杆机构的分类和整周转动特性。一种是研究连杆曲线的方法，(Midha, Zhou and Her,1985 44

28、 ; White,1987 45 ; Mirth,Davis, Chase,1992 46 )。另外一种是研究连杆机构的转动空间,(Mirth 和 Chase,1990 47 ；9西北工业大学Ting，1994 48-51 )。1.3 本本的主要工作的主要工作如下：1. . 根据Grashof 条件，对四杆机构进行了分类，然后做出每一种类型的四杆机构的输入角和输出角的运动曲线图。当五杆机构的传动角取极值 0 或 时得到四杆机构，而该四杆机构的运动曲线图便成为五杆机构中输入角和输出角区域的边界曲线。2. . 研究了N 杆机构中输入角为周转角的充分必要条件，讨论了 N 杆机构的整周转动性以及 N

29、杆机构分类。将 N 杆机构的理论应用于五杆机构，从而得出了五杆机构的分类以及五杆机构的整周转动性条件。3. . 本文详细的讨论了在五杆机构的每一种分类情况下机构中存在双曲柄时的传动比及相位角的选取情况。然后我们可以就此编制出相应的程序从而齿轮五杆机构中的各参数是否满足双曲柄的存在条件，并进而绘制出点的轨迹曲线。4 . 以Windows 2000 为平台，以面向对象的 Visual 现整个软件系统，并能够动画演示运动轨迹及速度和 件实现了齿轮五杆机构系统的参数化，即用参数来C+6.0 为开发工具，实度的可视化。本软齿轮五杆机构的轨迹曲线形状。还可以将软件中的轨迹、速度以及Origin 这个软件中

30、再现运动曲线情况。度等数据保存在文件中并在5 . 利用该软件详细的研究了齿轮五杆机构在齿轮的传动比、相位角、杆长等参数取不同的值时齿轮五杆机构的轨迹曲线的变化情况。从而我们可以根据所得到的图谱对齿轮五杆机构的参数选取作出大概的。10西北工业大学硕士学位论文第二章 齿轮五杆机构的运动特性研究2.1 四杆机构有曲柄条件分析五杆机构中当传动角等于 0 或者 时，就演化成了四杆机构，可以说四杆机构只是五杆机构的一种特殊情况。下面我们先讨论一下四杆机构的情况，以便为五杆机构的分析打下基础。CBA图 21 铰链四杆机构图 21 所示为一铰链四杆机构，它是平面四杆机构的基本形式，其它形式的四杆机构都可认为是

31、它的演化型式。在此机构中，AD 杆为机架,AB、CD 两构件与机架相连称为连架杆，BC 杆称为连杆。在连架杆中，能够作整周回转者称之为曲柄，而只能在一定范围内摆动者称为摇杆。在铰链四杆机构中，各运动副都是转动副。如组成转动副的两构件能够相对整周转动，则称其为周转副；如果不能作相对整周转动者，则称为摆转副。在图 21 所示的图中，要使杆 AB 成为曲柄，转动副 A 就应成为周转副。下面是转动副成为周转副的条件。令l 为四杆机构的最长杆， s 为四杆机构的最短杆， p, q 为另外两杆的长度。则平面四杆机构有曲柄的条件(Grashof 条件)为 ：1) s + l < p + q ；2) 组

32、成该周转副的两杆中必有一杆为最短杆。若与机架相连的杆为最短杆，则该四杆机构为曲柄摇杆机构，该最短杆为曲柄，并且能够作整周转动；若机架为最短杆，则该四杆机构为双曲柄机构，并且与机架相连的两连杆为曲柄，都可以作整周转动；若机架所对的连杆为最短杆， 则该四杆机构为双摇杆机构，其中连杆为曲柄，可以做整周转动。如果s + l > p + q ，则该四杆机构不满足 Grashof 条件，该四杆机构中任何一杆都不能做整周转动，该四杆机构为三摇杆机构。如果s + l = p + q ，在该特殊情况下，机构为双曲柄机构或曲柄摇杆机构，当所有的杆共线时，机构中存在死点， 因此机构的运动变得不确定。11D西北

33、工业大学2.2 齿轮五杆机构的装配形式(a)(b)(c)图 22三种齿轮五杆机构如果给平面四杆机构再加上一杆则变成平面五杆机构，由于五杆机构有两个自由度，故如果给五杆机构加载一对齿轮副约束，则就变成只有一个自由度的齿轮五杆机构。由于连杆机构各构件间都有相对运动，为了使装在各构件上的齿轮副能始终保持啮合，齿轮应装载在连杆机构转动副中心的销轴上。只有当装载在同一构件两转动副中心的销轴上的齿轮不直接啮合，而通过中间轮相啮合时，这中间轮才可不装在上述销轴上。这种齿轮连杆机构有如图 22 所示的三种主要形式。本中，我们主要讨论(a)所示的形式，在这种形式中，两个齿轮都装置在机座上，这样可以减少当将齿轮装

34、载在连架杆或连杆上时的移动杆的重量，还可以避免输入力矩之间的叠加。本文中所研究的齿轮机构如果没有特别指明，都是指单环封闭的机构。杆的长度是从铰接点的中心处所量得的长度。2.3 N 杆机构转动性的基本理论在 N 杆机构中，当 N > 3 时，下面所讨论的杆的装配条件、周转角以及整周回转条件对于 N > 3 的各杆长都是适合的。故也适用于我们所讨论的五杆机构。在 N 杆机构中，机构中杆的长度定义为li ( i = 1,2,K N ),其中l1 £ l2 £ K £ lN ，而l1 , l2 ,KlN -3 被称为短杆，而lN -2 , lN -1 , lN

35、 被称为长杆。所以 N 杆机构中共有 N - 3根短杆和 3 根长杆。下面讨论一下 N 杆机构(当 N > 3 时)的几个定理和推理，这将为后面讨论五杆机构的运动特性打下基础。12西北工业大学1. N 杆机构的装配条件：N 根杆组成 N 杆机构的充分必要条件为：lN £ ålkk =1即最长杆的长度必须小于等于其余杆的长度之和。对于五杆机构为l5 £ ål4k =12. 周转角N -1(21)4周转角定义：连杆机构中相邻两杆之间如果能够绕它们的转动轴线整周转动时他们之间的夹角。AikBj图 23推理 1：在 N 杆机构中，只有当角度能够转动到0o

36、和180o 时，角度才是周转角。在此，只要我们能够证明如果角不能够到达 0°到 360°之间的任意一角， 那么它就至少不能到达 0°和 180°这两个角中的一个。证明：设为 N 杆机构中第i 杆和第 j 杆之间的夹角，如图 23 所示，我们以虚线所示的 AB 作辅助杆，于是周转角意味着对于 Î 0o ,360o ，杆k 和余下的 N2 根杆总是能够组成 N1 杆机构。由余弦定理有：a ) = (+ l - 2l * l * cosa )1/ 2l (22lkijijél 2 + l 2 - l 2 ùf (l ) = cos

37、-1 êijkúúû因此k2li * l jêë而这也定义了( 0o £ a £ 180o )和lk ( lmin £ lk £ lmax )之间的一一对应关系。其13西北工业大学，而lmax = li + l j ，而这也是lk (a )的两个极值。=li - l j中lmin假设存在某一角度a 0 Î 0o ,360o ，而始终不等于a 0 ，则由函数 f (lk )的连续性可知， 不能够到达0 ,a 和a ,180 这两块区域，而只能够到达其中的一o*o00块区域，式中a * =

38、 f (l )，且 a Î 0 ,180 ，因此 不可能0o 和180o 两者都转到，* oo0k0故推理得证。定理 1（周转角定理）：在 N 杆机构中，两相邻杆i 和 j 之间的夹角为周转角的充分必要条件为lN + ls £ ålk ,其中ls = min(li , l j )k =1k ¹ sN -1式中lk 是杆k 的长度， k = 1,2,K N , 并有l1 £ l2 £ K £ lN ，而ls = min(li , l j ) 。证明：我们不失一般性，假设li £ l j 。因此， ls = li ，并

39、且i < N 。在此我们N -1将用到 N 杆机构的装配条件 lN £ ålk 。为了检验角是不是周转角，由推理 1k =1知，我们只需要验证角能否达到0o 和180o 即可。当a = 180o 时，我们可以得到l 和l + l 组成的 N1 杆机构。Nk k =1ijk ¹i, jN令lm = maxlk , k ¹ i, j 。令lrålk k =1k ¹i, j ,m=,则有li + l j > lN 时,有li + l j £ lm + lr(22a)当Nålk k =1k ¹i, j

40、 ,mli + l j £ lN 时, 有lN £(22b)当考虑到(21)式,我们注意到(22a)和(22b)就是(21)式的演化形式，也即N1 杆的装配条件，这已经被证明为是成立的。当a = 0o 时，杆l 和杆l - l 组成 N1 杆机构。我们有Nk k =1jik ¹i, j14西北工业大学如果lm ³ l j - li ，有lm £ lr + (l j - li )如果l j - li > lm ，有l j - li £ lr + lm(23a)(23b)因此，由(22a)和(23a)以及(23b)就可以得到周转角的

41、充分必要条件。1)当 j ¹ N 时，则有m = N ，就是(23a)中的情况，即lN + li £ ålk ，当k =1 k ¹iN -1li + l j > lN 时,(22a)式亦成立；N -1如果 j = N ，(22a)成立，则有lN + li £ ålk ，而当lmk =1k ¹i³ lN - li 时，2)(23a)式成立。由以上分析，故定理得证。根据该定理我们知，满足 Grashof 条件的四杆机构正好有两个周转角，而不满足 Grashof 条件的四杆机构则没有周转角。3. 整周回转条件有 F

42、 (F ³ 1) 个自由度的连杆机构需要 F 个输入才能使机构有确定的运动。选择机构中 F 个转角为输入角，在给这 F 个转角赋一系列数值的情况下，该机构可能存在死点位置，而在该位置时连杆机构位置不确定或者是处于失控状态。因此，有 F (F ³ 1) 个自由度的连杆机构中连杆的整周回转条件是：无论这 F个转角取什么数值，机构中都不存在死点位置。推理 2：在 N 杆机构中，只有当输入角满足以下条件时连杆才具有整周转动性：1) 每个输入角都至少有一根短杆作为输入角的边；2) 每根短杆都至少是一个输入角的边。证明：我们假设条件 1 不满足，则会有下述的情况：在能够整周转动的 N

43、杆机构中，角为输入角并且以杆 A 和杆 B (l A £ lB )为边，而杆 A 和杆 B 都是长杆，则有lN -2 £ l A £ lB ，由定理 1 有N -1l A + lN £ ålkk =1 k ¹ A(24)下面我们由一般归纳法予以证明。当 N4 时，则条件(24)有15西北工业大学l +l £ l * + l(25)A41其中* 是杆A,*= 2,3中，由于l ³ l * 且l ³ l ，除非l = l * ， l = l ，否则4A14A1这将与定理 1 产生件 1 成立。，但这时 A 杆

44、实际上就是一短杆了。因此当 N4 时，条下面让我们假设当 N £ K 时条件 1 是成立的。则当 N = K + 1时（ K ³ 4 ），在能够作整周转动的 K+1 杆机构中，短杆是k，长杆是k，并且有 K - 2K -2K +1k =1k =K -1以两根长杆 A 和 B 为边， 并设 l A £ lB , 其中个输入角。如果某输入角A, BÌ K - 1, K , K + 1,由于 K ³ 4 ,则必定有另外的一个输入角 b 至少以一根短这两根杆记为i 和 j ，并且li £ l j ，则有i £ K - 2 。杆为边，

45、当 j ¹ A 或 B 时，我们令 b = 0o(26a)当 j = A 或 B 时，我们令b = 180o则 当 如 (2 6a) 所 示 的(26b)情 况 时 ， 我 们 得 到杆 长 为l1 , l2 ,Kli-1 , li+1 ,Kl j-1 , l j+1 ,K, lK -2 , (l j - li ), lK -1 , lK , lK +1 所示的能够整周转动的 K 杆机构。并且不论杆长l j - li 是否等于零，输入角 都是由两根长杆所组成。但是由我们前面的假设知，这种 K 杆机构是不能够作整周转动的。这就与我们最初开始的假设产生了 。因此杆 A 必须是短杆，故当

46、N = K + 1时条件 1 成立。当如(26b)所示的情况时，则我们得到杆长为l1 , l2 ,K, li-1 , li+1 ,K , l j -1 ,l j +1 ,K, lK -2 , (li + l j ), l j¢ , l ，的 K 杆机构。这其中j, j¢, = K - 1, K , K + 1。输入*角 的两个边亦由两长杆组成。跟上面所讨论的情况类似，这同样与我们的假设存在 ，因而杆 A 在 K + 1 杆机构中也必须是一短杆。通过(26a)和(26b)， 条件 1 得到了证明，下面我们再来证明条件 2。为了证明这个条件的成立，我们首先假设存在能够整周转动的

47、 N 杆机构不满足这个条件。也就是说，以一根短杆为边的两个转角都不是输入角。下面我们用反证法予以证明。首先我们令所有的输入角都等于180o ，这样就得到如图 24 所示的最终以三根杆为边的三角形机构。16西北工业大学12图 24在该三角形三杆机构中的三个内角都是非输入角。而设边 1 和边 2 都是由一根或多根杆所组成。在图 24 中，我们根据 N 杆机构中长杆的分布情况选取一个或两个输入角。如果三根长杆恰好都落在边 1 或边 2 上时，我们选择两个输入角，如图 25 中标记为“o”所示,这样就在新得到的五杆机构中将 3 根长杆分离开。当三根长杆分别在边 1 和边 2 上时，我们选择一个输入角，

48、如图 26 标记为“o”所示，同样的，在新得到的四杆机构中，将 3 根长杆都分离开。BoAC图 25图 26在如图 26 所示的情况中，输入角由两根长杆所组成, 除非l A ³ min(lB , lC ) = li(27)当l A ³ min(lB , lC ) = li 不成立时，我们由条件 1 知该四杆机构是不能够作整周转动的，因此组成该三角形的 N 杆机构也不能够作整周转动。当l A ³ min(lB , lC ) = li 成立时，有唯一的结论就是 B 或者 C 在 N 杆机构中是由一根单独的长杆所组成，并且这根长杆的长度与短杆 i 的长度一样。例如，在四

49、杆机构中， l1 = l2 = l3 £ l4 ，那么C = 2 , i = 1 ,这时i 称为长杆，而 C 称为短杆，那么该 N 杆机构也不条件 2。在如图 25 所示的情况中，同样的，考虑到条件 1,只有当 C 是短杆的时候，这五杆机构才能够整周转动，即17iDioACoBi西北工业大学min(lA , lB , lD ) ³ lC ³ li(28)否则的话，图 25 中标记为“o”的任意一个输入角都将有两个长杆作为它的边，而这又与条件 1 产生。由图 25 的装配条件知li + l A ³ lB + lC + lD(29)由条件(28)和条件(29

50、)知，max(l A , lB , lC ) = l A(210)但事实是杆 C 相对于长杆 B 和 D 是可以整周转动的(由定理 1 知)，并有lC + l A £ li + lB + lD(211)由(28),(29)和(211)得到，C 只是由原来的 N 杆机构中的一根长杆所组成，并且它的长度等于短杆i 的长度。因此，我们调换杆i 和杆 C，并将杆i 称为长杆，而杆 C 成为一边有输入角的短杆。因此 N 杆机构与条件 2 之间并没有矛盾。故条件 1 和条件 2 都得证。从这个推理中我们可以得到以下的结论。结论 1：在能够整周转动的 N 杆机构中，当所有的输入角都等于180o 时

51、，将演变成三角形机构，并且三根长杆分布在三角形机构的三条边上。证明：假设有两根长杆，如 j 和 j* ，当所有的输入角都等于180o 时，分布在三角形机构的一条边上。由推理 2 的条件 1 可知， j 和 j* 之间必须还有 m 根短杆相连，并且其中的转角都是输入角。我们令除了 j* 与邻杆的夹角 b 以外的剩下的 j 和 j* 之间的 m+1 个角都等于180o 。并将 m 个短杆的长度设为 l ，让s= ls + l j ，也即设 j¢ 杆的长度等于ls 的长度与 j 杆的长度之和。于是 N 杆机构l j¢演变成为 N - m 杆机构，并且有一个输入角 b 的两条边为两

52、根长杆 j* 和 j¢ ，而这与推理 2 的条件 2 是相的。因此，在能够整周转动的 N 杆机构中，两根长杆之间不能够用连续的输入角连接在一起。推理 3：N 杆机构能够整周转动的必要条件是：1)2)3)每个输入角都至少有一根短杆作为它的边； 每根短杆都至少是一个输入角的边；杆长条件满足下面的不等式：18西北工业大学lN + (l1 + l2 +K+ lN -3 ) < lN -2 + lN -13图 27证明：由于条件 1 和条件 2 前面都已经证明了。现在我们只需要证明条件 3 就可以了。对于任意给定的能够整周转动的 N 杆机构，我们把以杆 N1 和杆N2 为边的输入角设为0

53、o ，而其余的输入角都设为180o ，这样就可以得到如图27 所示的三角形机构。不失一般性，包含第 N1 杆的边我们称为边 1，包含第 N2 杆的边我们称为边 2，而包含第 N 杆的边我们称为边 3。这样我们得到杆长k1= lN -1 - ål1,rr =1k2l1= lN -2 - ål2,rl2r =1 k3- ål3,rl3 = lNr =1式中 i、r 表示 i 边上的第 r 根短杆，并且有k1 + k2 + k3 = N - 3 ，也就是全部的短杆数目。在图 27 所示的三角形机构中l3 £ l1 + l2也就是lN + (l1 + l2 +K+ lN -3 ) £ lN -2 + lN -1(212)当式(212)中的等号成立时，图 27 所示的三角形机构的三条边将落在同一条直线上，这是一个不确定的位置。排除这种导致产生不确们就得到了条件 3。置的情况，我19