高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量基本定理学案北师大版

1、精品教案可编辑3.2平面向量基本定理f1学习目标导航I1 .了解平面向量基本定理及其意义.（重点）2 .能应用平面向量基本定理解决一些实际问题.（难点）阶段1认知预习质疑知锐技理.奏点不拓基础初探教材整理平面向量基本定理阅读教材P85P86“例4”以上部分，完成下列问题.如果ei,e2（如图237）是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,存在唯对实数为，以使a=Xiei+泡e2（如图237），其中不共线的向量ei,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底,图237猿体监判断（正确的打“，”，错误的打“x”）平面向量的一组基底ei,e2中可以有一个向量为零向量.（）（2）任

2、意两个向量都可以作为基底.（）平面向量的基底不是唯一的.（）零向量不可作为基底中的向量.（）【解析】(1)X,因为零向量与任何向量均共线.3 2)X,两不共线的向量才可作为平面的一组基底.(4)均正确.【答案】(1)X(2)X(3)V(4)V质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1:解惑：疑问2:解惑：疑问3:解惑：艮震切合作探究通关小组合作型ai|才必平面向量基本定理的理解卜例口如果ei,e2是平面”内所有向量的一组基底，入，是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由.若入，满足21+际2=0,则入=呼0；(2)对于平面a内任意一个向量a,使得a=融i+织2成立的

3、实数入，有无数对；(3)线性组合融1+哼2可以表示平面a内的所有向量；当入，取不同的值时，向量融1+32可能表示同一向量.【精彩点拨】根据平面向量基本定理的内容来判断.L【自主解答】(1)正确.若V0,则e1=二e2,从而向量e1,e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明科=0.(2)不正确.由平面向量基本定理可知入，唯一确定.(3)正确.平面a内的任一向量a可表不成入ei+(12的形式，反之也成立.不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知，当入ei和2确定后，其和向量入ei+庐2便唯一确定.名师1.对于平面内任何向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解为两

4、个不共线的向量的和的形式.2.向量的基底是指平面内不共线的向量，事实上，若ei, e2是基底，则必有 ew 0,e2W0,且ei与e2不共线，如0与ei,ei与2ei,ei+e2与2(ei+e2)等均不能构成基底.再练一题1 .设ei,e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量:ei与ei+e2；ei2e2与e22ei；ei2e2与4e22ei；ei+e2与eie2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的序号是 (写出所有满足条件的序号)入=i,【解析】中，设ei+e2=2i,则无解,i=0,e1+e2与e1不共线，即ei与ei+e2可作为一组基底；中，设ei-2e2=Z(e2-2ei),1

5、+2入=0,则(i+2Aei(2+Ae2=0,则无解，2 +入=0,ei2e2与e2-2ei不共线，即ei2e2与e22ei可作为一组基底；i中，/ei-2e2=-2(4e2-2ei),ei2e2与4e22ei共线，即ei2e2与4e22ei不可作为一组基底;设ei+e2=eie2）,贝U（1z）ei+（1+入）e2=0,1卜0,无解.1+卜0,ei+e2与eie2不共线，即e1+e2与e1一e2可作为一组基底.【答案】运用基底表示向量例n M _C图 23 8如图238,梯形ABCD中，AB/CD,且AB=2CD,M,N分别是DC和AB的中点，若AB=a,AD=b，试用a,b表示DC,BC,

6、MN.【精彩点拨】利用三角形法则或平行四边形法则，寻找所求向量与a,b的关系.【自主解答】如图所示，连接CN,则四边形ANCD是平行四边形.则 DC= AN= AB = a；2AB = b -2a；BC=NCNB=AD-1MN=CN-CM=-AD-CD2-1AB=1名师利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加法、减法以及数乘向量进行线性运算,解决此类问题时，要仔细分析所给图形，借助于平面几何知识的向量共线定理及平面向量基本定理解决.再练一题2.如图239,在？ABCD中，M,N分别为DC,BC的中点，已知AM=c,AN=d，试用c,d表示AB和AD.图 23 9【解】设AB=a,AD=b,则

7、由M,N分别为DC,BC的中点可得：BN=2b,DM=1a,AD+tDM=AAM,即b+1a=c.22AB+BN=AN,即a+1b=d.由可得a=(2dc),b=(2cd),33一一2一2即AB=(2dc),AD=(2c-d).探究共研型擅兄占平面向量基本定理应用探究1如果ei,e2是两个不共线的确定向量，则与ei,e2在同一平面内的任一向量a,能否用ei,e2表示？依据是什么?【提示】能.依据是数乘向量和平行四边形法则.探究2如果ei,e2是共线向量，那么向量a能否用ei,e2表示？为什么?【提示】不一定.当a与ei共线时可以表示，否则不能表示.探究3基底给定时，向量分解形式唯一吗？【提示】

8、向量分解形式唯一.例同如图2310,在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于E,求证：E为线段BD的三等分点.【精彩点拨】要证E为线段BD的三等分点，只需证BE=2BD可设BE=iBD.3选取AB,AD作为基底，通过AB+BE=AE,建立相应的方程组，并进行运算，求出2=一即可.3【自主解答】设AB=a,AD=b,则BD=AD-AB=b-a,a-?=AcT+D-F=aD+1A3=b+1a.22因为A, E, F与B,D,E分别共线，所以存在实数九代R,使AE=XAF,BE=DBD.BE=pb阳.由 AB+BE = AE,入得（1p）a+pb=a+?b.因为a,b不共线，由平面向量

9、基本定理,解得入=呼-b-e=2-bd,33即E为线段BD（靠近D）的一个三等分点.名师1 .利用向量证明几何问题是其工具性的体现.操作时，为明确方向，常常选取问题中不共线的线段对应的向量作为基底.2 .平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量ei,e2的线性组合入iei+?2e2.在具体求为，冠时有两种方法：一是直接利用三角形法则、平行四边形法则及平面向量基本定理；二是利用待定系数法，即利用定理中性列方程组求解.再练一题3 .已知D,E,F分别是ABC的BC,CA,AB边上的中点.试用向量法证明：AD,BE,CF交于一点.【证明】如图，令AC=a,BC=b为基

10、底,则AB=a-b,AD=a-1b,Be=-1a+b,22设AD与BE交于点G,且AG=也D,BG=出E,入7w则有AG=/a2b,BG=-2a+pb.又有AG=AB+BGi=12a+(w1)b,2解得入=产二3-G3=-a-33CG=CA+AG= -a + 2a-1 331-a31-b 3；X2(-a-b).ab，-2-.CG=PF,3点 GCCF, .AD,BE,CF交于一点.构建体弱应用平面向aM本定理容1盔体验落实评价（谭堂回馈即升达标1 .设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：AD与AB;DA与BC;CA与DC;OD与OB.其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量

11、的基底的是()A.B.C.D.【解析】根据基底的概念知两个向量必须不共线，结合图形知正确.【答案】B2 .已知向量ei与e2不共线，实数x,y满足(3x4y)e1+(2x3y)e2=6e1+3e2,则xy等于()A.3B.-3C.0D.2【解析】因为(3x4y)ei+(2x3y)e2=6ei+3e2,所以(3x4y6)ei+(2x3y-3)e2=0,3x4y6=0，所以由一得xy3=0,2x3y3=0，即x-y=3.【答案】A3.在MBC中，若D,E,F依次是AB的四等分点，则以CB=ei,CA=e2为基底时，CF【导学号：66470048图2311_,一一，【解析】AB=CB-CA=ei-e2,一.一-因为D,E,F依次是AB的四等分点，所以AF=-AB=_(eie2),44 T尸所以 CF= CA + AF=e2 +一(ei e2)= ei + 一e2.444【答案】飞1+飞2444 .已知向量i,j不共线，实数入，w满足等式3N+(10Rj=2Xi+(4w+7)j,则入的值为(1的值为.【解析】由3N+(10=2方+(4科+7)j得N+(35p)j=0,因为i,j不共线.所以入=0,35(1=0,即(1=一.53【答案】0；55 .设M,N,P是4