高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)

1、精品圆锥曲线第2讲双曲线【知识要点】一、双曲线的定义1.双曲线的第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长2a(02aF1F2)的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。注1：在双曲线的定义中，必须强调：到两个定点的距离之差的绝对值(记作2a),不但要小于这两个定点之间的距离F1F2(记作2c),而且还要大于零，否则点的轨迹就不是一个双曲线。具体情形如下：(i)当2a0时，点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线；(五)当2a2c时，点的轨迹是两条射线；(iii)当2a2c时，点的轨迹不存在；(iv)当02a2c时，点的轨迹是双曲线。特别地，若去

2、掉定义中的“绝对值”，则点的轨迹仅表示双曲线的一支。注2:若用M表示动点，则双曲线轨迹的几何描述法为'MF1MF22a(02a2c,F1F2I2c|MF1MF2IF1F2IJ)日O2.双曲线的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e(e1)的点的轨迹叫做双曲线。、双曲线的标准方程1 .双曲线的标准方程(1)焦点在x轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是a 0 b 0).a 0, b 0)注：若题目已给出双曲线的标准方程,那其焦点究竟是在x轴还是在y轴，主要看实半轴跟(2)焦点在y轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是感谢下载载谁走。若实半轴跟x走，则双曲线的焦点

3、在x轴；若实半轴跟y走，则双曲线的焦点在y轴。2 .等轴双曲线当双曲线的实轴与虚轴等长时(即2a2b),我们把这样的双曲线称为等轴双曲线，其标22准方程为xy(°)注：若题目已明确指出所要求的双曲线为等轴双曲线，则我们可设该等轴双曲线的方程为22xy(0),再结合其它条件，求出的值，即可求出该等轴双曲线的方程。进一步讲，若求得的0,则该等轴双曲线的焦点在X轴、中心在坐标原点；若求得的则该等轴双曲线的焦点在y轴、中心在坐标原点。三、双曲线的性质以标准方程2 x 2 aa 0, b 0)为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。(1)范围：xa,即xa或xa；(2)对称性：关于x轴

4、、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称;(3)顶点：左、右顶点分别为A(a,。)、A2(a，0)；(4)焦点：左、右焦点分别为F1(c,0)、F2(G0)；(5)实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距为2c;122I2(6)实半轴a、虚半轴b、半焦距c之间的关系为cab；准线:b2(8)焦准距:离心率:cal.e 1. e越小,双曲线的开口越小;e越大，双曲线的开口越大;(10)渐近线:(ii)焦半径:P(x0,yo)为双曲线2y1右支上一点，则由双曲线的第二定义,有PF1 exoPF2ex0 a(12)通径长:2y2注1 ：双曲线aya 0, b °)的准线方程为c，渐近线方程为注2 :双曲

5、线的焦准距指的是双曲线的焦点到其相应准线的距离。以双曲线2 y b22 a c cb22三 1b (a 0, b 0),过其焦点F2(c，0)且垂2ax右焦点F2(c，0)和右准线1：c为例，可求得其焦准距为注3:双曲线的焦点弦指的是由过双曲线的某一焦点与该双曲线交于不同两点的直线所构成的弦。双曲线的通径指的是过双曲线的焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是双曲线的所有焦2x点弦中最短的弦。设双曲线的方程为ab2A(c,)直于X轴的直线交该双曲线于A、B两点(不妨令点A在X轴的上方)，则ab2B仁，)a,于是该双曲线的通径长为AB.2.2.2()2 aaa四、关于双曲线的标准方程，需要注意的几个问题

6、(1)关于双曲线的标准方程，最基本的两个问题是：其一，当题目已指明曲线的位置特征，.22.2并给出了“特征值”(指a、b、C的值或它们之间的关系，由这个关系结合cab,我们可以确定出a、b、C的值)时，我们便能迅速准确地写出双曲线的标准方程；其二，当题目已给出双曲线的标准方程时，我们便能准确地判断出双曲线的位置特征，并能得到a、b、c的值。(2)双曲线的标准方程中的参数a、b、c是双曲线所固有的，与坐标系的建立无关；a、.22.2b、c三者之间的关系：cab必须牢固掌握。(3)求双曲线的标准方程，实质上是求双曲线的标准方程中的未知参数a、b。根据题目已知条件，我们列出以a、b为未知参数的两个方

7、程，联立后便可确定出a、b的值。特别需要注意的是：若题目中已经指明双曲线的焦点在x轴或y轴上，则以a、b为未知参数的方程组只有一个解，即a、b只有一个值；若题目未指明双曲线的焦点在哪个轴上，则以a、b为未知参数的方程组应有两个解，即a、b应有两个值。22(4)有时为方便解题，中心在坐标原点的双曲线的方程也可设为mxny1,但此时m、n必须满足条件：mn0.(5)与椭圆不同，双曲线中，c最大，离心率e1,它除了有准线，还有渐近线，而且渐近线是双曲线特有的性质。对于渐近线：要掌握渐近线的方程；要掌握渐近线的倾斜角、斜率的求法；会利用渐近线方程巧设双曲线方程，再运用待定系数法求出双曲线的方程。222

8、2xydxy21220y(6)双曲线ab(a0,b0)的渐近线方程可记为ab，即2 y-2 双曲线aa 0, b °）的渐近线方程可记为22别地，等轴双曲线 x y°）的渐近线方程为yx.反过来讲，若已知某一y双曲线的渐近线方程为m,n为给定的正数），则该双曲线的实半轴a与虚半bnan轴b具有关系：am或bm.证明：设双曲线的方程为2x2a2 y_ b2°,b °）,其左、右焦点为 F1（ c,0）、F2（G°）,（7）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.by-x渐近线方程为a，即bxay°则焦点Fi（ c,°）到渐近线bx

9、ay °的距离dib ( c) a °b2bc，c2bc b c焦点9,°）到渐近线bxd2ay °的距离-b2 a2bc.c2bc显然did2b与*1故双曲线ab的焦点到其渐近线的距离为（8）与椭圆类似,求双曲线的离心率e的值，就是要寻找除2,2a b这一等量关系之外a、b、c之间的另一等量关系；求双曲线的离心率e的取值范围，就是要寻找a、b、c之间的不等关系，有时还要适当利用放缩法，这里面体现了方程和不等式的数学思想。【例题选讲】题型1:双曲线定义的应用i.若一动点P（x,y）到两个定点Fi（1,°）f2（1,°）的距离之差的绝对

10、值为常数a0a2）,求点P的轨迹方程.解：由题意知,|PFi PF2Ia，0a 2),F1F22PFi PF20PFiPF2此时点P的轨迹是线段FiF2的垂直平分线，其方程为x0（五）当a 2时,PFiPF2IIF1F2此时点p的轨迹是两条射线，其方程分别为y 0（x i）或y0(x i)(iii)当0 a 2 时,PFiPF2II IF1F2此时点P的轨迹是以Fi（ J。）、F2。,。） 为左、右焦点的双曲线,其中实半轴长为b焦距c 虚半轴2 i i 2c(2a)J4 ,所以其方程为42y2a42.方程加 6)2y28表示的曲线是（）A.椭圆B.双曲线C.双曲线的左支D.双曲线的右解：设p（

11、x，y）是平面内一点，Fi（6,0)F2(6,0)则方程(x 6)2y2(x 6)2 y28即为PF2PFi该式表示平面内一点P（x，y）到两个定点Fi（6,0）、F2（6,0）的距离之差等于定长8.显然8i2。故由双曲线的第一定义知，点P（x,y）的轨迹是双曲线，但仅是双曲线的左支。C2都相22223.已知两圆Ci：(X4)y2,C2：(x4)y2,动圆M与两圆c1切.则动圆圆心M的轨迹方程是.八/八2222c解：圆g：（x4）y2的圆心为Ci（4,0）,半径为«；圆（x4）y2的圆心为C2（4,0），半径为板.动圆M与两圆C1、C2人工1即由（iii）、（iv）可知，点 M的轨迹

12、方程为214都相切，有以下四种情况：（i）动圆M与两圆C1、C2都外切；（ii）动圆M与两圆C1、C2都内切；（iii）动圆M与圆C1外切、与圆C2内切；（iv）动圆M与圆C1内切、与圆。2外切.设动圆M的半径为r由（i ）知,于是由（i ）由(iii)知,MCi由(iv)知,mc2于是由（iii）MCiMC1MC2MC1MC1这表明，点M2c 8 aMC2可知，点(r(r(iv)有,2)r 2；由（11）知,M的轨迹方程是线段MC2(r - 2)MC2(r . 2)|mciMC2II的轨迹方程是以2 c 4,b2MCiMC2ClC2的垂直平分线， 其方程为 x 0C1C2C1C2C1C2C1

13、（ 4,0）、C2（4，°）为左、右焦点的双曲线，其中2a 2v2 ,c2 a2 16 2 14故动圆圆心M2x的轨迹方程是22L114或x04.已知直线ykx1与双曲线x22y1有且仅有一个公共点,解：联立yy21kx1得(1k2)x22kx20222（i）当1k0,即k1时，直线ykx1与双曲线xy1有且仅有一个公共点（1,0）或（1,0）,不满足题意1时，由直线与双曲线有且仅有一个公共点可知,_22_(2k)4(1 k )( 2)24k 8 °,解得k 衣5.已知过点P（1,0）的直线与双曲线2L 112的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是22x y

14、12解：在双曲线412 中，a222, 24,b12,c a b12 16a 2,b 2,3,c 4由直线与双曲线的右支交于 A、B两点知，直线AB的斜率由直线AB过点P（1，0）可知，直线AB的方程为y 0 k(x1),即 y k(x 1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)x24 联立y亡112k(x 1)得(3 k2)x2 2k2xk2122)由题设条件及韦达定理，有一 2 2(2k )4(33k2)(k2k2k：12)2k2236k144 0X1X2X1X23 k2 k2 123 k2k2 3 0¥ 0k 3解得：2kS或6k2故直线AB的斜率k的取值范围是（2, "

15、;3）(3,2)注：对于中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线而言，若某一直线与其左支交于不同的两般有四个结论：二次项点，则当联立双曲线方程与直线方程得到一个一元二次方程后,系数不为零，判别式°,两交点的横坐标之和小于零，两交点的横坐标之积大于零；若直线与其右支交于不同的两点，则当联立双曲线方程与直线方程得到一个一元二次方程后，一般也有四个结论：二次项系数不为零，判别式°,两交点的横坐标之和大于零，两交点的横坐标之积大于零。这些基本结论在做题时，必须格外注意。2X2.y16.已知双曲线a（a°）的两个焦点分别为F1、F2,点P为该双曲线上一点,且FiPF29。，则P

16、Fil严2=2X解：在双曲线ay2 i中，b222,22/cabal一_2_2_22,22在RtF1PF2中，|pFi|PF2IF1F24c24(a21)4a24又|PF1lPF2|2a222PF1PF22PF1PF24a6代入得，GM4)21%4a2PF1 PF2故,2、2(4a4) 4a2题型2:求双曲线的方程2X7.(1)与双曲线92y16i有共同的渐近线，且过点（3，2<3）的双曲线的方程是1有公共焦点，且过点（3<2,2）的双曲线的方程是2X（2）与双曲线解：（1）设所求双曲线的方程是92 y16（。）2X12则由该双曲线过点(3,243),有162x故所求双曲线的方程是

17、92y16x2g4y24(2)设所求双曲线的方程是则由该双曲线过点O:2,2)2-一又c1642022一ab202由、得，a12b2故所求双曲线的方程是2x1218a0,b°)2y88.设m是常数，若点解：在双曲线2ym而由题意知,25故该双曲线的方程是F(°，5)是双曲线1中,16b22y169.已知双曲线的中心在坐标原点,两对称轴都在坐标轴上,的一个焦点，则该双曲线的方程是1516P（3,一）Q（一,5）且过154、3两点,则该双曲线的方程是解：设所求双曲线的方程为22mxnymn0)P（3,第则由该双曲线过4、Q"5)3两点,2225.9mn116256m2

18、5n1911619故所求的双曲线的方程是12x162116C:22xy22ab1,(2,3),602,a1,b2tan60b2-2ab2a1314,e4210.已知双曲线C:2匕b21经过点（2,3）,两条渐近线的夹角为60,则双曲线C的方程为2x解：由双曲线C:a2yb21g经过点（2,3）,有a由双曲线C的两条渐近线的夹角为60,并且其经过点(2,3),可知tan60-3联立1,b23故双曲线C的方程为11.已知双曲线的离心率等于2y41有公共的焦点,则该双曲线的方程解：在椭圆9亡14中,9bl242C12.2-a1bl94ai3bl2,c1522土匕1于是椭圆94的左、右焦点分别为F1(

19、”5,0)F2(,.5,0).5e又所求双曲线的离心率2C2a2,5而c2c15a222,222-,/于是a24Ib2c2a2541故所求双曲线的方程为22Li12.与双曲线164有相同焦点，且经过点(3v2,2)的双曲线的标准方程是22xy12222.2解：在双曲线164中，a116,b14,C1a1bl16420a14,匕2,c12.52x于是双曲线161的左、右焦点分别为F1(25,0)、F2(25,0)据此可设所求双曲线的方程为2L1b24b218f则由其过点322),有a, 2又C2C12.5c2220联立212b228故所求双曲线的方程为1213.已知双曲线a241cb（a0，b0

20、）的一条渐近线方程是yJ3x,它的一个焦点在抛物线2y24x的准线上，则该双曲线的方程是解：由y*3x是所求双曲线的一条渐近线知,b223b3aa2由抛物线y24x的准线方程为1226知，c622_2ab636口222由、得，a9,b27故该双曲线的方程是927题型3:双曲线的性质c 214.双曲线2x y8的实轴长是2x2解：在双曲线2x22上 L 1228,即48中，a2 4廿8a 2,b 2 2故该双曲线的实轴长 2a 2 2 4215.双曲线mxy2 1的虚轴长是实轴长的倍,则实数2解：在双曲线mx中,b22b 2 2a,即 b 2ab2 4a2 414于是有 m1m 故 42x16.

21、设双曲线aa °)的渐近线方程为3x 2y解：在双曲线x ya2912中，b 93yx于是该双曲线的渐近线方程为a3yx又由题意知，该双曲线的渐近线方程为3x2y0即y217.已知点P和点Q的横坐标相同，点P的纵坐标是点Q的纵坐标的2倍，点P和点Q的轨迹分别为双曲线C1和C2.若C1的渐近线方程为yJ3x,则C2的渐近线方程为2x-2解：设C1的方程为a122L1工212b1(4 0，b1 0),C2 的方程为 a22 y b221(a20,b20)设Q(x0,y。)，则由题设条件知，P(x0,2y0)于是由P(x0,2y0)、Q(x0,y0)两点分别在G和C2上，有2x。2a12x

22、。2a24y02b122y。b22aa2bi2b2又双曲线C1的渐近线方程为y3xxbai.3b2ai干旱a2丁ZE,3223yx故双曲线C2的渐近线方程为2题型4:与双曲线的焦点有关的三角形问题18.2x2.yi设Fi、F2为双曲线4的两个焦点，点p在该双曲线上，且满足FiPF290FiPF2的面积为解:2x在双曲线4y2i中,4,b2ic2b24a2,b1,c是Fi(5,0)F2(,5,0)在RtF1PF2中,IPFiPF2IIPFiPF2_20代入得，FiPF2PFi2x2i9.已知椭圆aPFi2a2PFiPF2PF22PFiPF2PF2b2F1F2i64c2PFi20PF220i6ab

23、0）与双曲线2x-2my22nm0,n°）有公共焦点,点P是它们的一个公共点用b和n表示cosF1PF2(2)设SFgf(b,n),求f(b,n).cosF1PF2解：（1）在F1PF2中，由余弦定理有2x2点P是椭圆a21上2与双曲线mPF1PF22aIPF1PF2|2m2PFi2PF22PFi1的一个公共点22222PFiPF2F1F2(PFiPF2)F1F22PFiPF24b22PFiPF2PFi4n2cosPF22PF1F1PF2cosF1PF2于是由、有F1F2PF2(PFi4b22PF1PF2)2PF22b22|PFi|PF24n22PFiPF22PFiIPF2I2b21

24、cosF1PF22F1F2PF24a24c22PFiPF22F1F2I2PFiPFiIPF2PF1PF22n2PFiPF2|PFi|PF22n2cosFiPF2,2,222bbcosFiPF2nncosFiPF2cosF1PF2故,22bn22bnPFiPF22b2（2）由（1）知,cosF1PF2PF2PFi4m2PF2PFiPF24c22PF12b2PF21cosEPF22n2cosFPF,本122222(bn)cosF1PF2bn2b2b2n2b2n22b2(b22b2n2)22bnsinF1PF2.1cos2F1PF21(厂)2bn224bn222(bn)2bn2-2bnf(b,n)S

25、F1PF2故1-L-L,L-LPF1PF2sinF1PF222(b2n2)2bn272bnbn题型5:双曲线的离心率计算问题22，匕10, b 0)上，C的焦距为4,则它的离20 .已知点(2,3)在双曲线C：a2E2(a心率e为.22人工122解：点(2,3)在双曲线C:ab上3鸟14b29a2a2b2ab又双曲线C的焦距为42c4c22.22_2于是有abc2422由、得，a1或a16(舍去)ce-故双曲线C的离心率a21 .若一个双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列，则该双曲线的离心率e=._ac22b2a2cb解：由2a,2b,2c成等差数列，有2.222又bca(a-c)2c

26、2a23c22ac5a202()2- 2()式两边同时除以a ,得3e 2e 5 05e解得：3或e1(舍去)5e-故该双曲线的离心率322.若双曲线的两条渐近线的夹角为60,则该双曲线的离心率为当双曲线的焦点在x轴上时,由题意知,2 c 2 a此时tan302.2a b2a(i)当双曲线的焦点在tan 60由题意知,2,2a b2a此时e故该双曲线的离心率为b2ay轴上时,2、33 或223.已知双曲线的渐近线方程为3x2y0,则该双曲线的离心率为3b3a3yx解：由双曲线的渐近线方程为3x2y0,即2可知，a2或b2cc213eaa24a299a2b2913a2 b24 9 13a24 N

27、一2一b3b9一二F当a2时，a4于是此时该双曲线的离心率a3a29当b2时，了4于是此时该双曲线的离心率c13即a41322a9c13即于13,亦即3913故该双曲线的离心率为13132或324.(0，7)则曲线tan1的离心率e的取值范围是（）A.192)B.3)C.(I2,2)D.(2,)解:(0,4)有tan0tan于是方程21xtan2.ytan1表示的曲线是双曲线在双曲线21xtan2.ytan2xtan2y1tan中,tan,b2,ctanb2tantantan21tantan21tantan,2tan,2tan122tan(0，4)tan1e21日1tan2又双曲线的离心率e2

28、5.已知F1、F2是双曲线2x-a2y_b71（a0,b0）的左、右焦点，点M在E上,sinMF1与x轴垂直，且MF2F113,E的离心率为解：（法一）MF1x轴MFib2sin又MF2F1tanMF2F1sinMF2F1又b2272MF1解得:cosF1F2MF2F12、2b2ac22ac2式两边同时除以22（舍去）故双曲线E的离心率（3）2132、231222cb2.2ac2MF112.2a20（法二）2c2aF1F2MF2MF12RsinF1MF22RsinMF1F22RsinMF2F1sinF1MF2sinMF1F2sinMF2F11（3）23,等式中的2R表示MFiF2的外接圆的直径

29、故双曲线E的离心率eV226.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近2 y_ b2a 0,b 0)线垂直，那么该双曲线的离心率e为2x2解：设双曲线的方程为a则该双曲线的渐近线方程为设F(c,0),B(0,b)则在该双曲线的两条渐近线中，与直线by-xFB垂直的一条渐近线方程为l：a由 FB l ,有 kFB kl10bb/b2/112c0aac，即bac22caac22caca(c)2ac102ea，此即ee10解得：1.5e故该双曲线的离心率2题型6:与双曲线有关的综合问题2222227.若曲线xy1与曲线(x1)ya(a0)恰有三个交点，则屋解：曲线

30、x2y21表示左、右焦点分别为F1(<2，0),七(e，°)的双曲线，其左、右顶点分别为A1(1,0),A2(1,0)222曲线(x1)ya(a0)表示圆心为C(1,0),半径为a的圆22222双曲线xy1与圆(x1)ya恰有三个交点/、22222圆(x1)ya与双曲线xy1的左支交于点A(1,0)2,、2_2于是有a(11)04又a0故a228.已知等轴双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，且过点P(4,J10).(1)求该双曲线的离心率e;(2)求该双曲线的方程；(3)若点M(3,m)在该双曲线上，证明：MF1MF20.解：(1)在等轴双曲线中，实轴长=虚轴长，即2

31、a2bab,ca2b2a2a2.2aec乌2故等轴双曲线的离心率aa(2)所求双曲线为等轴双曲线22可设其方程为xy(°)又该双曲线过点P(4,而)16106精品2x 13感谢下载载故所求双曲线的方程为6,即66(3)在双曲线6622一中，ab622244-cab6612abJ6c2、.3Fi(2/3,0)F2(2j3,0)又M(3,m)丽(2,33,m)恒(2,33,m)曰MFiMF2(2.33)(2.33)(m)(m)(129)m2m23又点M(3，m)在双曲线629m,-166故MF1MF233029.若点。和点F(2,0)分别为双曲线2x 2.y 1 aa 0)的中心和左焦点

32、，点 P为该双曲线右支上任意一点，则0PFP的取值范围是12中，b212x解：在双曲线a22.2由c2可知，acb413设P(x,y),则由点p在双曲线31右支上知,OP(x,y)FP(x2,y)_22_22x2x (- 1)3OPFPx(x2)yx2xy精品感谢下载载42g(x)-x令32x1其对称轴为x.3,)）上单调递增于是对任意的x3,g(x)都有g(.3)2,3132,3这表明，0PFP32、.3故0PFP的取值范围是32x30.已知椭圆C1:a22yb20)与双曲线2L14有公共的焦点，C2的一条渐近线与以G的长轴为直径的圆相交于A、B两点，若C1恰好将线段AB三等分,则椭圆C1的

33、方程为22xy解：由椭圆C1：ab1与双曲线C2：1有公共的焦点知,c2145于是椭圆Ci的方程a2y_b2212可化为b52y_b2,22，即bx(b25)y2b45b2022yx双曲线C2：41的一条渐近线方程为2x设线段AB被椭圆C1所截得的弦为CD,则联立2x2(b25)y2b45b20y2xCDAB2a2ayC2xC2xc,42b5b5b220得，（5b220)x2b45b20精品感谢下载载CD2%2yc2由此有25b425b22a于是有5b220T2.Xc2(2xc)25b425b2a225b220925xc2b25925b425b225b4225b25b220.5b2205b44

34、5b210045b4225b24 一 240b180b100 05)42-22b9b50解得：2(舍去b2a于是11222xy111故椭圆C1的方程为2222yx31.过点P(1,2)且与双曲线41有一个公共点的直线方程为2X解：显然，点P(1,2)在双曲线(1)当所求直线的斜率不存在时,22yx显然，过点p(1,2)且与双曲线41有一个公共点的直线方程为(2)当所求直线的斜率存在时，不妨设其斜率为k则由其过点P(1,2)可知，所求直线的方程为y2k(x1),即ykx2k2一x2幺12222联立4，得(4k)x(2k4k)xk4k80()ykx2k2(i)若4k0,则k2当k2时，由()式，有

35、0x40x无解，不满足题意，舍去k25当k2时，由()式，有16x200x-4而此时所求直线的方程为y2x455将x代入y2x4中，得y2-444422y.x1即此时所求直线与双曲线4的唯一公共点为5322,53、“一(-,-),满足题意于是当k2时，所求直线的方程为y2x4(ii)若4k20,即k2,则对()式，由所求直线与双曲线仅有一个公共点，有(2k24k)24(4k2)(k24k8)4k416k316k24(k44k34k216k32)64k1280k2,而这显然与k2矛盾，舍去k2于是当k2时，所求直线不存在故所求直线的方程为x1或y2x42x32.过点M(0，2)且与双曲线92y4

36、1有一个公共点的直线方程为2x解：显然，点M(0,2)在双曲线9由题意知，所求直线的斜率是存在的，不妨设为k则由其过点M(0，2)可知，所求直线的方程为y2k(x0),即ykx222上L1日2、2m”c联立94，得(49k)x36kx720()ykx2(i)若49k20,则k23一2一，、一当k一时，由式，有24x720x332八而此时所求直线的方程为yx23公，一2c,2将x3代入yx2中，得y(3)222033即此时所求直线与双曲线的唯一公共点为(3,0),满足题意2当k时，由（）式，有24x720x33而此时所求直线的方程为y2x23入2八，2,将x3代入yx2中，得y-32220332

37、L1即此时所求直线与双曲线4的唯一公共点为（3,0）,满足题意于是当k 2时，所求直线的方程为 y3(ii)若 4 9k2 0,即 k 2,则对(322_2 2(36k)4(4 9k )( 72) 36 k-x 2 3）式，由所求直线与双曲线仅有一个公共点，有_2224 72（4 9k ） 3636k8（4 9k ）2 _ 236(36k32 72 k )236(36 k 32) 0k232368,即k 92323满足题意一，.2于是当k时，所求直线的方程为y3故所求直线的方程为y x 2或y32 2 cx 232x33.已知双曲线C:2（1）求双曲线C的渐近线方程;（2）已知点M的坐标为（0

38、），设P是双曲线C上的点，Q是点P关于坐标原点的对称点记MPMQ,求的取值范围解：（1）在双曲线2y21中，a22b21精品感谢下载载故该双曲线的渐近线方程为1x,22x2(2)设P(x，y)则、（x,y）又M(0,1)MP(x,y1)MQx,y1)曰MPMQx(x)(y1)(y1)(y21)2x又点P（x,y）在双曲线21x212对于函数f(x)函数f(x)在2,"2或x2）上单调递减f(' 2)i对任意的x2,f（x）对于函数函数f（x）在（'2上单调递增对任意的x2f(x)f(2),都有故对任意的x2,向，总有的取值范围是（，134.已知双曲线1的顶点和焦点分别

39、是椭圆E的焦点和顶点.(1)求椭圆E的方程;(2)已知椭圆E上的定点C(X0,y0)关于坐标原点的对称点为D,设点P是椭圆E上的任意一点，若直线Cp和DP的斜率都存在且不为零，试问直线Cp和DP的斜率之积是定值吗？若是，求出此定值；若不是，请说明理由;(3)对于椭圆E长轴上的某一点S(s，0)(不含端点)，过S(s，0)作动直线L(不与x轴重合)交椭圆E于M、N两点，若点T(t，0)满足:OSOT 8 证明： MTS NTS2x解：(1)在双曲线6中,/2 c /a16,b12, c1a2b26 2 8”.6由2,ci2.2于是该双曲线的左右顶点分别为A(而0),A2(后。)；左右焦点分别为F

40、1( 2 2,0),F2(2 2,0)设椭圆E的方程为2xa?2r 1 b2a2b20)则由题意知,C2ai-6, a2C1早 b2a22C2故椭圆E的方程为2y2(2) 点D是椭圆E：2y2上的定点C(Xo, yo) 关于坐标原点的对称点D( Xo, yo),显然点D也在椭圆设p(x，y)kCP则yyoxx又点kCPkDPyyoxxoy(yo)x(xo)yyoxxoyyoxxo2y2x2XoP(x,y)和点C(Xo,yo)都在椭圆2222xy1x0yo1于是有82822yo222222xX。yy00xxo-得，8822yyo2日xxoZEkCP kDP故114,即直线CP和DP的斜率之积为定

41、值4(3)(i)当直线L不垂直于x轴时，设其斜率为k则由其过点S（s，O）可知，直线L的方程为yok(xs),即yk(xs)2 y "2122可化为x 4y 82x椭圆E的方程8设M(x1,y1),N(x2,y2)联立x24y28Oyk(xs),得(4k22一21)x8ksx22一4ks8Ox1一2一28ks8ks24k214k214k2s28xx224k1由韦达定理，有OyOy2tx1tx2小y2x1tx2ty1(x2t)y2(xt)(x1t)(x2t)k(x1s)(x2t)k(x2s)(x1t)kx1x2ktx1ksx2kstkx1x2ktx2ksxikst(x1t)(x2t)(x1t)(x2t)2kxix2kt(xx2)ks(x1x2)2kstk2x1x2(st)(x1x2)2st(x1t)(x2t)(x1t)(x2t)2x1x2(st)(x1x2)2st又4k2s284k21(st)8k2s4k212st2st 164k2 18k2s2168k2s28k2st8k2st2st4k21而由OS(s,0)OT(t,0)OSOT8，有st82x1x2(st)(x1x2)2st28164k21故MTSkNT0即kMTNTSkNTMTS NTS(ii)当直线L垂直于x轴时，由椭圆的对称性可知,综上可知，总有MTSNTS