三角形面积公式之水平宽铅垂高叶茂恒

1、三角形面积公式之水平宽铅垂高三角形的面积公式计算较多，而在平面直角坐标系中的三边都不与坐标轴平行的三角形面积 一般会采用割补形来求解，但有时采用水平宽铅 垂高面积公式会更加的方便.公式呈现如右图所示，过4ABC三个顶点分别作x轴的垂 线，其中过A, C两条垂线与x轴交于点E, F,线段EF的长度称为 ABC的水平宽，1而过B点的垂线与边AC父于点D,线段BD的长度称为铅垂图，则 Sa ABC efLIbd ,2此即为三角形水平宽铅垂高面积公式，其中水平宽EF通常取最外两条垂线的宽度，对应铅垂高取经过夹在中间的顶点（B）与边（AC）交点（D）之间的距离.公式推导 如右图，过点 A, C作铅垂高

2、BD上的高 AG , CH ,则有Saabc = Saabd+Sabcd =1 ,11.1,-AGLBd +CH _Bd = -(AG +CH BD = EFLBd .2 22一 2例1 （适合八年级）如图，已知边长为a的正方形公式应用1上下垂线ABCD,E为AD的中点，P为CE的中点，F为BP的中点，则 BFD的面积是（）.1 2 - 12一 12_A. -a B . aC. aD.12-a64说明：本题可以连结CF,由4BCD的面积减去 BCF与4CDF的面积求解，也可以建立平面直角坐标系,利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得 解析：不妨以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系，

3、则点C坐标为（a,0),点D坐标为(a, a),E为AD的中点，点E坐标为（1a, a）,2: P为CE的中点，点P坐标为（3a, 1a）, 42F为BP的中点，点F坐标为（3a, 1a）. 84过F点作BC的垂线交BD于点G ,则点G的3.横坐标为- a ,又直线BD的解析式为y = x ,8点G的纵坐标为3 a ,8.BDF 的铅垂高 FG=3a 1a=1a, 8481 ,1 , 11c. SABDF = BC|_Fg = aJa =a .2 2 816公式应用2左右垂线 、3例2（适合八年级）如图，直Zfey = -*x+1与X轴，y轴分别交于点A, B ,以线段AB为直角边在第一象限内

4、作等腰直角AABC ,且/ BAC =90° .如果在第二象限内有一点P .'a,1 j,且4ABP的面积与 RtAABC 的面积2相等，求a的值.P说明：本题常见解法有三，一是连结OP, AABP的面积=AAOB面K + ABOP面积zAOP面积，然后用a的代数式表示，与 RtAABC的面积相C'等列方程求解；二是将点C沿AB翻折到C'位置，则AABC面积与4ABC '面积相等，若4ABP的面积与RtAABC的面积相等，则可得 PC' / AB,因此，可以由点 A, C坐标先求C'坐标，再根据AB的斜率与点C'坐标求直线PC&

5、#39;的解析式，将点P纵坐标代入，即可求a的化 三是考虑水平宽铅垂高公式来计算，但如果从 A, B, P三点向x轴作垂线，较为复杂,（不习惯的同学可以将屏幕或头转个 90度）由AB而P的纵坐标为-,所以E为AB的中点，2不妨换个角度应用公式，即从A, B , P向y轴作垂线（即左右方向作垂 线），仿公式求解.现解析如下.解析：过A, B , P三点作y轴的垂 线，则OB可以看成公式中的水平 宽，而PE可以看成公式中的铅垂高， 的解析式可以得 oa=V3, ob=i,所以 PE = -a+ , 2一1i（m从而有-x2X2=-xp< -a+,22I2 J解得a = - -4 .2公式应用

6、3内外垂线从例2可以看到，三条垂线不一定作向x轴，也可以作向y轴，仿公式用即可.一般地,SAABC水平宽取的是最外的两条直线的距离，但这个做法不是绝对的，有时根据需要也可以取任 意两条直线的宽度，则公式可以变化为:1efLcg .2简单推导：1,11,SAABC - SAACG - SABCG -cgLEh CG fh = efLJcg.22 一 2说明：当取相邻两条垂线距离为水平宽时，第三条垂线将与第三边（AB）的延长线相交,此时顶点（C）到交点（G）的距离为铅垂高（CG）.例3 （适合九年级）如图所示，直线l: y=3x+3x轴交于点A,与y轴交于点B .把 AOB沿y轴折，点A落到点C,

7、抛物线过点B, C和D （3, 0）.（1）求直线BD和抛物线的解析式.（2）若BD与抛物线的对称轴交于点 M ,点N在坐 轴上，以点N, B, D为顶点的三角形与zMCD相似,所有满足条件的点N的坐标.B（3）在抛物线上是否存在点P,使S/xpbd=6?若存在,求出点P的坐标；若不存在，说明理由.（4）点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q使得BQ - CQ的值最大，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解析：本题只解（3）,由已知条件可以得抛物线解析式为y =x2 -4x+3 , BD 解析式为y = -x +3 ,由于问题中并未交待P点在BD的上方或下方，故要分类讨论:当P在BD下方时，如右上图，水平宽为 OD=3,铅垂高为 PE = x2-4x+3+x-3 = x2-3x ;当P在BD上方时，P可能在左，也可以在右,但两者本质相同，如右下图，此时依然取OD为水平宽，则铅垂图 PE =-x 3-x2 4x-3- - x2 , 3x .3两种情况合起来就是1父3fx23x=6,即x23x=±4.当x23x = d时，方程无实数根，即P在BD下方时，不可能面积为6;当 x23x=4 时，解得 x1 =1,x2 =4 ,即当 P ( 1 , 8)或 P (4, 3)时，Sapbd=6.解后：从以上几例可以看到，灵活运用