三角高程测量原理

1、图 5-35§ 5.9 角高程测量三角高程测量的基本思想是根据由测站向照准点所观测的垂直角（或天顶距）和它们之间的水平距离，计算测站点与照准点之间的高差。这种方法简便灵活， 受地形条件的限制较少，故适用于测定三角点的高程。 三角点的高程主要是作为各种比例尺测图的 高程控制的一部分。一般都是在一定密度的水准网控制下，用三角高程测量的方法测定三角点的高程。5.9.1 三角高程测量的基本公式1.基本公式关于三角高程测量的基本原理和计算高差的基本公式，在测量学中已有过讨论，但公式的推导是 以水平面作为依据的。在控制测量中，由于距离较 长，所以必须以椭球面为依据来推导三角高程测量 的基本公式。

2、如图5-35所示。设So为A、B两点间的实测水 平距离f 器置于 A点，仪器高度为ii。B为照准PE、AF分别为过P点和A点点，砚标高度为v27 R为参考椭球面上 A'B的曲率半径。的水准面。PC是PE在P点的切线，PN为光程曲线。当位于 P点的望远镜指向与 PN相切的PM方向时，由于大气折光的影响，由 N点出射的光线正好落在望远镜的横丝上。这就是说，仪器置于A点测得P、M间的垂直角为&,2。由图5-35可明显地看出，A、B两地面点间的高差为72 =BF =MC +CE +EF -MN -NB（5-54 ）式中，EF为仪器高ii； NB为照准点的觇标高度 V2 ;而CE和MN分

3、别为地球曲率和折光 影响。由1212CE = soMN =02R2R- R式中R为光程曲线PN在N点的曲率半径。设 = K，则R1 R C2K C2MN = . . - S0 = S02R R2RK称为大气垂直折光系数。由于A、B两点之间的水平距离 S0与曲率半径R之比值很小（当S0=10km时，S0所 对的圆心角仅5,多一点），故可认为PC近似垂直于OM，即认为PCM之90 ：这样APCM 可视为直角三角形。则（5-54 ）式中的MC为MC =s tanct.1,2将各项代入（5-54 ）式，则A、B两地面点的高差为1 _2 K _2儿2 "S0 tan-1,2 S0 i1 一包一

4、助2R 2R1 - K 2 .-S0 tan -1,2S0 i1 - v22R=C,C 一般称为球气差系数，则上式可写成令式中2R1 -K2/一 一一 、几.2 =S0 tan 012 +CS0 +ii -V2( 5-55 )(5-55 )式就是单向观测计算高差的基本公式。式中垂直角a,仪器高i和砚标高v,均可由外业观测得到。S0为实测 的水平距离，一般要化为高斯平面上的长度d。2 .距离的归算在图5-36中，Ha、Hb分别为A、B两点的高程(此处已忽略了参考椭球面与大地水准面之间的差距，其平图5-361均图程为Hm =2 (Ha +Hb), mM为平均图程水准面。由于实测距离S0一般不大(工

5、程测量中一般在10km以内)，所以可以将So视为在平均高程水准面上的距离。由图5-36有下列关系S0 R Hm / Hm 二1(5-56 )s RR,Hm、So = S(1)R这就是表达实测距离 So与参考椭球面上的距离 S之间的关系式。参考椭球面上的距离s和投影在高斯投影平面上的距离d之间有下列关系2s =d (1 4)(5-57 )2R式中ym为A、B两点在高斯投影平面上投影点的横坐标的平均值。关系式(5-57 )的推导将在第八章中讨论。将(5-57 )式代入(5-56 )式中，并略去微小项后得H 2m ym 、So =d(1 2)R 2R2(5-58 )3 .用椭球面上的边长计算单向观测

6、高差的公式将（5-56 ）式代入（5-55 ）式，得,Hm、八 2.(5-59 )h1 2 =stan :1 2(1) Cs - i1 -v2R式中Cs2项的数值很小，故未顾及 So与s之间的差异。4 .用高斯平面上的边长计算单向观测高差的公式将（5-57 ）式代入（5-59 ）式，舍去微小项后得c 2Hmh1.2 =dtana,2 +Cd +i1 -V2 +d tan5,2(2 ym，/，2.=dtano(1,2 +Cd +h -v2R 2Rh(Hm *) R 2R2(5-60 )式中 h '=d tan «1,2 。：hi,2 =h (Hm2ymR 2R2)(5-61 )

7、(5-62 )Hm甚大而项对高差的影响还不到0.02m , 一般情况下，这一项可以略去。此外，当则（5-60 ）式为h1,2 =dtan5,2 +Cd 2 +i1 -v2 +ih1,2（5-61 ）式中的Hm与R相比较是一个微小的数值，只有在高山地区当 Hr .Hr 局差也较大时，才有必要顾及式这一项。例如当Hm=1000m,h=100m时，方带这一0.llm 。如果要求高差计算正确因此，（5-62 ）式中最后一项&几,22ym =300km, h . =100m时，飞 这一项对高差的影响约为2R22到0.lm，则只有-ym2h'项小于0.04m 时才可略去不计, 2R只有当H

8、m, h '或ym较大时才有必要顾及。5 .对向观测计算高差的公式一般要求三角高程测量进行对向观测，也就是在测站 A上向B点观测垂直角5,2,而在测站B上也向A点观测垂直角 修,1,按（5-62 ）式有下列两个计算高差的式子。由测站A观测B点2.,hi,2 =d tan ; 1,2 - ii -V2 Ci,2d '匚几,2则测站B观测A点2.h2,i =dtanc（2,i +12 vi +C2,1d+2,1式中，ii、Vi和i2、V2分别为a、B点的仪器和觇标高度； Ci,2和C2,1为由A观测B和B 观测A时的球气差系数。如果观测是在同样情况下进行的，特别是在同一时间作对向观

9、测，则可以近似地假定折光系数K值对于对向观测是相同的，因此 Ci,2 =C2,1。在上面两个式子中，&1,2与由2,1的大小相等而正负号相反。从以上两个式子可得对向观测计算高差的基本公式(5-63 ).1 ,一 一、 1、1hi,2(对向)=d tan 2(5,2 %,i)+2 (ii +vi) -2 (i2 V2)+&1,2式中h =(Hm -旦)hR 2R1h =dtan (： i,2 - ：2,i)26.电磁波测距三角高程测量的高差计算公式由于电磁波测距仪的发展异常迅速，不但其测距精度高，而且使用十分方便，可以同时测定边长和垂直角， 提高了作业效率，因此，利用电磁波测距仪

10、作三角高程测量已相当普遍。根据实测试验表明，当垂直角观测精度ma E变.0：边长在2km范围内，电磁波测距三角高程测量完全可以替代四等水准测量,如果缩短边长或提高垂直角的测定精度，还可以进一步提高测定高差的精度。如ma M±1,5"，边长在3.5km范围内可达到四等水准测量的精度；边长在1.2km范围内可达到三等水准测量的精度。电磁波测距三角高程测量可按斜距由下列公式计算高差D22h =Dsin.飞+(1 -K) cos2.飞+i Z2R(5-64 )式中，h为测站与镜站之间的高差；a为垂直角；D为经气象改正后的斜距；K为大气折光系数；i为经纬仪水平轴到地面点的高度；Z为反

11、光镜瞄准中心到地面点的高度。5.9.2垂直角的观测方法垂直角的观测方法有中丝法和三丝法两种。1 .中丝法中丝法也称单丝法，就是以望远镜十字丝的水平中丝照准目标，构成一个测回的观测程序为：在盘左位置，用水平中丝照准目标一次，如图 5-37 (a)所示，使指标水准器气泡精密符合，读取垂直度t数，得盘左读数 L。在盘右位置，按盘左时的方法进行照准和读数，得盘右读数R。照准目标如图5-37 (b)所示。2 .三丝法三丝法就是以上、中、下 3条水平横丝依次照准目标。构成一个测回的观测程序为:在盘左位置，按上、中、下3条水平横丝依次照准同一目标各一次，如图5-38 (a)所示，使指标水准器气泡精密符合，分

12、别进行垂直度盘读数，得盘左读数 L。图 5-37图 5-38在盘右位置，再按上、中、下 3条水平横丝依次照准同一目标各一次，如图 5-38(b)所示，使指标水准器气泡精密符合.分别进行垂直度盘读数，得盘右读数Ro在一个测站上观测时，一般将观测方向分成若干组，每组包括24个方向，分别进行观测，如通视条件不好，也可以分别对每个方向进行连续照准观测。根据具体情况，在实际作业时可灵活采用上述两种方法，如 T3光学经纬仪仅有一 条水平横丝，在观测时只能采用中丝法。按垂直度盘读数计算垂直角和指标差的公式列于表5-10。表 5-10仪器类型计算公式各测回互差限值垂直角指标差垂直角指标差a=L -Ri =(L

13、 +R) 口80 -J1 (T3)1010 "J2 (T2, 010 )1。a=-(RL) M80 21,。i =-(L +R) -360 21515 "5.9.3球气差系数C值和大气折光系数K值的确定大气垂直折光系数K，是随地区、图 5-39气候、季节、地面覆盖物和视线超出 地面高度等条件不同而变化的，要精确测定它的数值，目前尚不可能。通 过实验发现，K值在一天内的变化，大致在中午前后数值最小， 也较稳定；日出、日落时数值最大，变化也快。因而垂直角的观测时间最好在地方时10时至16时之间，此时 K值约在0.080.14之间，如图5-39所示。不少单位对 K值进行过大量的计

14、算和统计工作，例如某单位根据16个测区的资料统计，得出K =0.107。1 -K 一在实际作业中，往往不是直接测定K值，而是设法确定 C值，因为C=。而2R平均曲率半径R对一个小测区来说是一个常数，所以确定了 C 1, K值也就知道了。由于K值是小于1的数值，故C值永为正。下面介绍确定C值的两种方法。1 .根据水准测量的观测成果确定C值在已经由水准测量测得高差的两点之间观测垂直角，设由水准测量测得的高差为 h,那么，根据垂直角的观测值按（5-55 ）式计算两点之间的高差，如果所取的 C值正确的话，也应该得到相同的高差值，也就是2 .h =s0 tan «112 +Cs0 +i1 -v

15、2在实际计算时，一般先假定一个近似值C。，代人上式可求得高差的近似值ho,即2h0 s0 tan -.<.1,2 , C0s0 , i1 -v2即h h0 =(C -C0)s2或h h0/、C _C。=2-(5-65)s0令式中C-Cq =MC ,则按(5-65 )式求得的此值加在近似值 C0上，就可以得到正确的C值。2.根据同时对向观测的垂直角计算C值设两点间的正确高差为h，由同时对向观测的成果算出的高差分别为hi,2和h2,i由于是同时对向观测，所以可以认为 Ci,2 =C2,1 =Cq，则h =h1,2 +Ms；-h = h2,i二Csq由以上两式可得hi,2 h2,iC 二2Sq

16、(5-66 )从而可以按下式求出C值C =Co C无论用哪一种方法，都不能根据一两次测定的结果确定一个地区的平均折光系数， 而必须从大量的三角高程测量数据中推算出来，然后再取平均值才较为可靠。5.9.4三角高程测量的精度1.观测高差中误差三角高程测量的精度受垂直角观测误差、仪器高和觇标高的量测误差、大气折光误差和垂线偏差变化等诸多因素的影响，而大气折光和垂线偏差的影响可能随地区不同而有较大的变化，尤其大气折光的影响与观测条件密切相关，如视线超出地面的高度等。因此不可能从理论上推导出一个普遍适用的计算公式，而只能根据大量实测资料，进行统计分析，才有可能求出一个大体上足以代表三角高程测量平均精度的

17、经验公式。根据各种不同地理条件的约20个测区的实测资料，对不同边长的三角高程测量的精度统计，得出下列经验公式Mh =P s(5-67 )式中，Mh为对向观测高差中数的中误差；s为边长，以km为单位；P为每公里的高差中误差，以 m/km 为单位。根据资料的统计结果表明，P的数值在0.0130.022之间变化，平均值为0.018,一般取P =0.02 ,因此(5-67 )式为Mh = 0.02s(5-68 )(5-68 )式可以作为三角高程测量平均精度与边长的关系式。考虑到三角高程测量的精度，在不同类型的地区和不同的观测条件下，可能有较大的差异，现在从最不利的观测条件来考虑，取 P =0.025作

18、为最不利条件下的系数，即Mh = 0.025s(5-69)公式(5-69 )说明高差中误差与边长成正比例的关系，对短边三角高程测量精度较高，边长愈长精度愈低，对于平均边长为8km时，高差中误差为士 0.20m ;平均边长为4.5km时，高差中误差约为 0.llm。可见三角高程测量用短边传递高程较为有利。为了控制地形测图，要求高程控制点高程中误差不超过测图等高的1/10,对等高距为lm的测图，则要求M h W垃1m。(5-69 )式是作为规定限差的基本公式。2 .对向观测高差闭合差的限差同一条观测边上对向观测高差的绝对值应相等，或者说对向观测高差之和应等于零，但实际上由于各种误差的影响不等于零，而产生所谓对向观测高差闭合差。对向观测也称往返测，所以对向观测高差闭合差也称为往返测高差闭合差，以 W表示W =hi,2 h2,i(5-70 )以mW表示闭合差 W的中误差，以mh0表示单向观测高差 h的中误差，则由(5-70)式得22mw =2mh 0取两倍中误差作为限差，则往返测观测高差闭合差W艮为W限=2mw =±2V2mh0(5-71 )若以Wh表示对向观测高差中误差，则单向观测高差中误差可以写为mh0 = . 2M h顾及（5-69 ）式，则上式为mh0 =0.025、, 2s再将上式代入（