2017年大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案

1、2017年 大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间 2017年3月19日9 ： 00-11 ： 00满分150分D的四个选项，其、选择题(共5小题，每小题7分，共35分)。每道小题均给出了代号为 A, B, C,中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分)»恁润属彩瘗睐杨尻赖It例。-1 1 .设a =，2 +点+42 ，3 ,则a十一的整数部分为（）aA. 1 B. 2 C. 3D. 4【答案】B【解答】由 a2 =2+/3 +22 +73 <2+ 2 73=6,知 a = j6。于是 a+1 = 76+ 工，（a+1）2

2、 =6+2+1=8+1, 4<（a+1）2<9。 a 、, 6 a66a1 因此，a十一的整数部分为2。（注：。二门7,二22+£=4：1十京=旄） , 2、22、22,方程2x+(x)2 =3的所有实数根之和为()x -2A. 1 B. 3 C. 5 D. 7【答案】A【解答】方程 2x+()2 =3化为 2x(x2)2+x2 =3(x 2)2。 x -2即 x3 -5x2 +10x6=0, (x-1)(x2 4x+6)=0。解得x =1。经检验x =1是原方程的根。原方程所有实数根之和为 1。 23.如图，A、B、C三点均在二次函数 y=x的图像上，M为线段AC的中点

3、，BM / y轴，且MB = 2。设A、C两点的横坐标分别为t1、t2(12 A t1),则t2 11的值为()IWJ沟燧iTir爱建谴净祸测。A. 3 B, 273C.立眄 D. 272【答案】Dt to t2 t2【解答】依题意线段 AC的中点M的坐标为(Jt2 ,t2)。22由BM / y轴，且BM =2,知B点坐标为（2）。.2.2.由点B在抛物线y=x2上，知t1一2=（上上）2。22整理，得 2t； +2t2 8=t2 +2t1t2 十t2,即（t2 11）2 =8。结合 t2 >t1,得 t2 -t1 =2应。E在线段AB内，CE与AD交于点F 。4.如图，在RtAABC中

4、，/ABC =90©, D为线段BC的中点,13 / 8若 AE =EF ,且 AC =7 ,FC =3,则cos/ACB的值为（3C.142 10B .7【解答】如图，过 B作BK / AD与CE的延长线交于点 K 。则由 AE =EF 可得，ZEBK =/EAF =/AFE =/BKE 。e EK =EB。又由D为BC中点，得F为KC中点。AB =AE +EB =FE +EK =KF = FC =3。BC = Jac2 -ab2 =力2 -32 =2加。BC 2 10cosZACB = =。AC 7对直线AFD及 ABCE应用梅涅劳斯定理得，BDDCCFF EEA1 。ABEB由

5、D为线段BC的中点，知BD =DC。又 AE =EF,因此，AB =CF =3。结合AC = 7, /ABC =90%利用勾股定理得，BC=2j10。BC 2 10所以，cos-ACB =- AC 75.如图，。为ABC的外接圆的圆心,R为外接圆半径，且R = 4。直线AO、BO、CO分别交4ABC的边于D、11十 十AD BE1的值为（）CFC. 1D.2由条件及等比定理，得OAADS*A OABS*A ABDS*A OACS*A ACD& OAB'S*A OAC& OAB同理,OBBESX OABSA ABD - S*A ACDSA ABCobcOCS*A OBCS

6、>A ABCCFSa ABC（第5题）OA OB OC+AD BE CFSA ABC(SaOABSA OAC ) (SA OABS*AOBC )(S OBC ' SX OAC )c=2 °又 OA=OB =OC = R = 4,1ADBECF二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）26.记函数y=x 2x+3 （1WxW2）的最大值为 M ,最小值为m,则M +m的值为。【答案】822.【解答】.y = x 2x+3 = （x1） +2, -1<x<2,x=1时，y取最小值，即 m = 2； x = 1时，y取最大值，即 M=6。M +m =8。27.已

7、知二次函数 y=ax +bx + c（a>0）的图像与x轴交于不同的两点 A、B, C为二次函数图像的顶点，AB =2。若zABC是边长为2的等边三角形，则 a =。残鹫楼静镯榭醉如OO弼机【答案】、,3【解答】依题意ax2+bx+c =0有两个不同的实根，设为 , x2，则AB= x1 -x2 =2。bcXi +x2 =,XiX2 =一, aa222b2 cb- 4ac /(Xi -X2) =(X1 +X2) 4XiX2=()4父一 =2 =4,a a ar , 2,2即 b - 4ac = 4a。又由 y =ax2 +bx +c =a(x +)2十c ,及 a a 0 ,知一旦 +

8、c = -73 ,即 b2 4ac = 4x/3a。2a 4a4a4a2 =4/3a , a = 6。8.如图，在 ABC中，AD为BC边上的高，M为线段BC的中点，且/BAD =DAM =2MAC 。若AB = 2,则AABC内切圆的半径为。【答案】.3-1【解答】依题意，易知 D为BM中点,DMMC又AM平分NDAC , AD =MD =1 结合 ad _L DC 得 / ACD =30'。AC MC 2(第8题).NDAC=60 = , NBAC =90©。AC =2技 BC =4。AABC内切圆半径为 2+2 夙 4二信1。2一 ,一，22 .9.若二次函数y=x +

9、(4a3)x+3a (a之)的图像与直线y=2 x在y轴左侧恰有1个交点，则符3合条件白所有a的值的和为。29【答案】2912【解答】依题意，关于 x的方程x2 +(4a-3)x+3a = 2-x,即x2+(4a 2)x + 3a2 = 0恰有1个负根 或者两个相等的负根。有下列三种情形：(1)方程有两个相等的负根。' =(4a 2)2 4(3a2)=032则()() ，解得a=1或2 = 2 29因此，符合条件的所有 a的值的和为1 +e +/ = 29。 3 1210.若正整数n恰有90个不同的正因数(含1和本身)，且在n的正因数中有7个连续整数，则正整数n的 最小值为。r钢极镇桧

10、猪锥n苣。【答案】25200【解答】任意连续7个正整数的乘积能被1 M2 M3M4M 5 M6M7整除， .n的正因数中必定有22 , 3, 5, 7这四个数。均满足2至2。x1 +x2 =-(4a-2) <0433因此，a=1, a =符合要求。4(2)方程两根中一根为零，另一根为负数。'x1x2 =3a -2 =022则1 2,解得a =2。满足a >-。x1 x2 = -(4 a -2) < 0332因此，a = 符合要求。3(3)方程两根中一根为正数，另一根为负数。2 一 2则x1x2 =3a 2 <0 ,解得a < 一。不满足a之一。3 33 2

11、综合(1)、(2)、(3),得符合条件的a的值为1, 3,-04 3正整数n具有形式：门=25父38父58M75ML (%, a2 , a3, a4为正整数，口1之2)。由正整数n恰有90个正因数，知(%+勤仁+勤仁+勤3+曲父卜;窕，其中k为正整数。而90分解为4个大于1的正整数的乘积的分解式只有一种：90=2m3m3m5。 k =1 , Q +1)02 +1)(% +1)(% +1) = 90= 2m3父3M5。. n的最小值为24黑32黑52 x7 =25200 ,此时n有连续正因数1, 2, 3, 4, 5, 6, 7。三、解答题(共4题，每小题20分，共80分) 2211.求方程x

12、+2017y =2018x的正整数解。【解答】方程化为x2 -2018x+2017y2 = 0。将方程视为x的方程，得 =20182 4x2017y2 =4(10032017y2)为完全平方数。5分22.10092 -2017y2为完全平方数。设 10092 2017y2 =t2 (t为非负整数),贝U 10092 t2 = 2017y2。-2 (1009-t)(1009+t) =2017y。 2017为质数，2017 | (1009-t),或 2017 (1009+t)。 10分又t为非负整数，且t <1009 。t =1009,或 t =1008。 15分y =0 (舍去)，或 y

13、=1。2将 y =1 代入万程，得 x 2018x+2017=0 ,解得 x = 1 ,或 x =1017。x =1x =2017原方程的正整数解为 i ，或。20分y =1y =112.如图，在等腰三角形 ABC中，/ACB =901 M是边AC的中点，D是边BC上一点，直线AD、BM交于点E ,且ME =MA。求证:(1) BE =CD ；(2)AC _ DEAD DB【解答】(1)如图，连结CE。由条件知，ME=MA=MC。CE _L AE o 5分 /ACB =90",NMAE =/DCE oNBED =NAEM =NMAE =NDCE 。又/EBD =/CBE ,ABDE

14、s' BEC。,BE DE八一 =。1附BC EC又由 CE _L AD , AC _LCD ,知 ACDE s* ace oCDACDECE由此可得,BE DE CDBE CDBCECACBC AC. BC =AC ,. BE =CD。15分(2)由(1) CE _L AD , AC _LCD ,知 ACDE ADC ,CECDACAD又由(1) BDE s、BEC ,知DEDBECEB结合(1)中 BE =CD ,可得 AC =CE = EC = DEAD CD EB DBACADDEDB- n f n f n 1 n13.右存在正整数n , p ( p >6)使得一 一 &

15、gt; +$ = 3成立，其中.246 plx】为不超过x的最大整数。(1)求p的最小值;r 口- . n 11nli nin ,.,(2)当p取最小值时，求使W n b + W nb+I $ U$ = 3成立，且n <2017的正整数246 pn 1 n 31 n 5 nip 1【解答】(1)对任意正整数n, W nM1, n -H3 y5, n Jn三卫。22. 4466 p pn的个数。5 分nifnifn 1 3 5 25对任意正整数 n, n n n n <1+-+5=250 ,2 I I, 4. 62 4 6 12»n f n f n 1 n.存在正整数n,

16、p ( p a6)使得n > + < nn > =3成立,2. 4. 6. p工 n25 11存在正整数n ,使得« >之3 -=一。p12 12p-1 n 11p 12p >12。又n =11时,111111111 3 5 11c:! ，+ W b + ?，+ W3 + + + = 3,21 J 4I J6I J122 4 6 12p的最小值为12。10分(2)n, n f ni fni In1 3 5 11 左p=12 时，由 3 = 1 +W-b + W + < , £一十一十一十 = 3 知246p2 4 6 12n 1n3n5n

17、11W b= ,W 一$=一 ,Wb=,W$ =2244661212n =12k +11 ( k为非负整数)当p取最小值12时，当且仅当n=12k +11 (k为非负整数)时，!n !+! - 1 + 1 E 1 + 11 = 324612成立。15分由 n =12k +11 M2017 知，k <167。因此，符合条件的正整数 n有168个。20分14.将平面上每个点都以红、蓝两色之一染色。证明：(1)对任意正数a,无论如何染色平面上总存在两个端点同色且长度为a的线段；(2)无论如何染色平面上总存在三个顶点同色的直角三角形；(3)无论如何染色，平面上是否总存在三个顶点同色且面积为2017的直角三角形?【解答】(1)在平面内任作一个边长为 a的等边4ABC 。则4ABC的三个顶点A、B、C中必有两点同色。所以，存在两端点同色，且长为a的线段。因此，对任意正数 a,无论如何染色平面上总存在两个端点同色且长度为a的线段。(2)对任意正数a ,如图，设A、D同色，且AD =a (由(1以AD为直径作圆O ,设ABCDEF为圆。的内接正六边形。若B、C、E、F中存在一点与A、D同色，不妨设点B与A、D同色，则4ABD为直角三角形，其中/ADB =30°,且三顶点同色。N