2019年四川高考理科数学真题及答案

1、2019年四川高考理科数学真题及答案注意事项:1 .答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。1 .已知集合 A 1,0,1,2, B x|x2 1,则 AI BA.1,0,1B,0,1C.1,1D.0,1,22,若 z(1 i) 2i ,贝U z=A.1 iB

2、.1+iC.1 iD.1+i3 .西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著 某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A. 0.5B,0.6C. 0.7D,0.84 . (1+2x2) (1+x) 4的展开式中x3的系数为A. 12B.16C. 20D.245 .已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=A.16B.8C. 4D.

3、26 .已知曲线yaex xln x在点(1, ae)处的切线方程为 y=2x+b,则A.ae, b 1 B,a=e, b=1C. ae 1, b 1 D.ae1 , b 17.函数y2x32x 2 x6,6的图像大致为8.如图，点 N为正方形 ABCD勺中心， ECM正三角形，平面 ECDL平面ABCD M是线段ED的中点，则A. BM=EN且直线BM EN相交直线B. BM EN且直线 BM EN是相交直线C. BM=EN且直线 BM ENI异面直线D. BM EN且直线 BM EN是异面直线9.执行下边的程序框图，如果输入的为0.01 ,则输出s的值等于A. 2124B. 225D. 2

4、127x xx210.双曲线C：4O为坐标原点，若|PO = PF ,则411.设f X是定义域为R的偶函数，且在 0,+单调递减，则2=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上, 2PFO勺面积为A, 3.!B, 3.1C, 2 . 2A.B.C.D.12.设函数f x =sinx 5)(>0）,已知f X在0,2 有且仅有5个零点，下述四个结论:f x在(0,2）有且仅有3个极大值点f x在(0,2有且仅有2个极小值点f(*1)> f(22)>f(23)422123f (log 31)>f (23)>f (22)422321 、f ( 9 2) > f (

5、3 ) > f (log 3)22423、f (2 3) > f ( 2 2) > f (log 3)224f x在（0, ）单调递增10的取值范围是12,29）5 10其中所有正确结论的编号是A.B.C.D.二、填空题：本题共 4小题，每小题5分,共20分。13 .已知a, b为单位向量，且 a - b=0,若c 2a J5b ,则coSa,c） .S1014 .记&为等差数列an的前n项和，a1w0, a2 3a1,则.S52215 .设F1, F2为椭圆C: 土 +工 1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若MFiF2为等腰三角形，36 20则M的坐标为.16

6、 .学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体 ABCD AB1clD1挖去四棱锥O EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心， E, F, G, H分别为所在棱的中点，3AB = BC = 6 cm, AA1 = 4 cm , 3D打印所用原料密度为 0.9 g/cm ,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。17. （ 12 分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下

7、试验：将200只小鼠随机分成 A, B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到 P(C)的估方t值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a, b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).18.(12 分)A C ABC勺内角A B, C的对边分别为a, b, c,已知asin bsinA.2(1)求 B;(

8、2)若AB8锐角三角形，且 c=1,求 ABC面积的取值范围.19.(12 分)图1是由矩形 ADEB RtABCm菱形BFGC&成的一个平面图形，其中AB=1, BE=BF=2, / FB©60。，将其沿AB, BC折起使得BE与BF重合，连结DG如图2.(1)证明：图2中的A, C, G, D四点共面，且平面 ABCL平面BCGE(2)求图2中的二面角B-CGA的大小.20.(12 分)已知函数f(x) 2x3 ax2 b.(1)讨论f (x)的单调性;1且最大值为1 ?若存在，求出a,b的所有值；(2)是否存在a,b,使彳导f(x)在区间0,1的最小值为若不存在，说明理

9、由x1 21.已知曲线C： y= , D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为 A B.22(1)证明：直线 AB过定点：5(2)若以E(0,)为圆心的圆与直线 AB相切，且切点为线段 AB的中点，求四边形 ADBE勺面积.2(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 .选彳4-4:坐标系与参数方程(10分)如图，在极坐标系 Ox 中，A(2,0) , B(J2, ) , C(J2,) , D(2,)，弧 AB，?C，CD 所在圆 44的圆心分别是(1,0), (1,-), (1,),曲线M1是弧AB，曲线M2是弧？C，曲线M

10、3是弧CD.(1)分别写出M1, M2, M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1 , M2 , M3构成，若点P在M上，且|OP | J3,求P的极坐标.23 .选彳4-5：不等式选讲(10分)设 x, y, z R,且 x y z 1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；2一 2.21若(x2)(y1)(za) &成立，证明：a 3或a 1 .2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题9. C 10. A 11. C 12. D16. 118.81 . A 2. D 3. C 4. A 5. C 6. D7. B 8. B二、填空题13. 214. 4

11、15. (3,Vi5)三、解答题17.解：(1)由已知得 0.70= a+0.20+0.15 ,故a=0.35.b=1 - 0.05 - 0.15 - 0.70=0.10 .(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2X 0.15+3 X 0.20+4 X 0.30+5 X 0.20+6 X 0.10+7 X 0.05=4.05 .乙离子残留百分比的平均值的估计值为3X 0.05+4 X 0.10+5 X 0.15+6 X 0.35+7 X 0.20+8 X 0.15=6.00 .18.解：（1）由题设及正弦定理得sinAsinisin Bsin A.因为sin A 0,所以.A C sin2A

12、 C由 A B C 180 ,可得 sinAC 2BBcos,故 cos 22B 2sin 2B cos.2一. B_ B1因为 cos 0 ,故 sin ,因此 B=6022 2（2）由题设及（1）知 ABC勺面积SzxABC由正弦定理得acsin AsinCsin 120 C 、，31sin C 2tanC 2由于 ABC1锐角三角形，故0。< A<90° , 0° < C<90° ,由1)知 A+C=120° ,所以 30° < C<90° ,故13 一一 a 2 ,从而Sa abc28因此，

13、 AB面积的取值范围是3 .38 , 219 .解：(1)由已知得ADPBE,CGPBE所以ADPCG故ADCG1定一个平面，从而 AC,G,加点共面.由已知得AB BE AB BC,故AB平面BCGE又因为AB 平面ABC所以平面ABC平面BCGE(2)作EH BC垂足为H.因为EH 平面BCGE平面BCGE平面ABC所以EH 平面ABC由已知，菱形BCG的边长为2, / EBG60。，可求得BH=1, EH= J3 .uuur以H?坐标原点，HC的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,则A(- 1, 1,0), C (1, 0,0) , G (2, 0, B ,uui

14、rCGuuurAC = (2, - 1, 0)设平面ACGD法向量为n= (x, y, z),则uuir_CG n 0x,3z 0,uuur 即AC n 0,2x y 0.所以可取n= (3, 6, - 73)又平面BCGE法向量可取为m= (0,1,0),所以 cos n, mn m . 3|n|m| T因此二面角B-CG A的大小为30。20 .解：(1) f (x) 6x2 2ax 2x(3x a).令 f (x) 0,得 x=0 或 x -.若 a>0,则当 x (,0) U a,33时，f (x) 0；当x 0港时，f (x) 0.故 f(x)在3(,0), a,单调递增，在

15、0,a单调递减;33若a=0, f (x)在(，)单调递增；aa若 a<0,则当 x ,a U(0,)时，f (x) 0 ;当 x a,0 时，f (x) 0 .故 f(x)在 33,a ,(0,)单调递增，在 -,0单调递减. 33(2)满足题设条件的 a, b存在.(i)当aw 0时，由(1)知，f(x)在0,1单调递增，所以f(x)在区间0 , l的最小值为f(0)=b,最大值为f(1) 2 a b.此时a, b满足题设条件当且仅当b 1, 2 a b 1 ,即a=0, b 1 .(ii )当a>3时，由(1)知，f(x)在0, 1单调递减，所以f(x)在区间0, 1的最大值

16、为f(0)=b,最小值为f(1) 2 a b .此时a, b满足题设条件当且仅当2ab 1 , b=1,即a=4, b=1.aa3(iii )当0<2<3时，由(1)知，f (x)在0 , 1的取小值为f b,取大值为b或2 a b .3274 a3右一 b 1 , b=1,贝U a 3V2 ,与 0<a<3 矛盾. 273若一 b 1,2ab1,则 a 3行或 a3/3 或 a=0,与 0<a<3 矛盾.27综上，当且仅当 a=0, b 1或a=4, 一 121 .解：(1)设 D t, - , A x, y1 ,2由于y' x ,所以切线DA勺斜

17、率为x1b=1时，f (x)在0 , 1的最小值为-1 ,最大值为1.则 x22y1.1 y11,故2Xi .x1 t整理得 2 tx1 2 y1+1=0.设 B x2,y2 ,同理可得 2tx2 2 y2+1=0.故直线AB勺方程为2tx 2y 1 0.一， ，1所以直线AB±定点(0,-).21(2)由(1)得直线AB勺万程为y tx -.222.|AB|txx212 ,可得x22tx 1 0.2t,x1x2.1 t2 x1 x21,Y1V2 t Xx21.1 t2 X x2 24x1x2设di,d2分别为点D,同直线ABB勺距离，则di因此，四边形ADB的面积S设业线段AB勺中

18、点，则M2t22 t2d21,2 t21一|AB| d1 d22t2 3 11.21t,t 2uuuu uuu uulu由于 EMAB,而 EMt,tuuin2 , AB与向量(1, t)平行，所以t当 t=0时，S=3；当 t 1 时，S 4a/2 .因此，四边形ADBE1面积为解：(1)由题设可得，弧2cos所以M 1的极坐标方程为M3的极坐标方程为若一4什3冗若一4综上,3或 4、,2 .Ab,Bc,Cd 所在圆的极坐标方程分别为2cos 02 cosP(,),由题设及(1)冗 -一,则 2cos43兀,贝U 2sin4冗，则2 cos田勺极坐标为t2t 0.解得t=0或t 1.2cos2sin ,M2的极坐标方程为2sin解得、.3 ,解得石，解得花c ；6冗T 一或35冗6或瓜工或百红或也旦.23.解：(1)由于(x 1) (y 1) (z 1)2222_(x 1) (y 1) (z 1)2(x 1)(y 1) (y 1)(z 1) (z 1)(x 1)2 223 (x 1)2