2012年普通高等学校招生全国统一考试(理数)

1、绝密启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理科）1至2页，第n卷本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，第I卷第第3至第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。第I卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。2没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。3第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的

2、四个选项中，只有一项是符合题目要求的。、选择题1、复数=1iA2+IB2-IC1+2iD1-2i【解析】13i(13i)(1D24i12i，选C1i(1i)(1i)2【答案】C2、已知集合A=1.3.m,B=1,m,AUB=A,则m=A0或'一3B0或3C1或、3D1或3【解析】因为ABA,所以BA,所以m3或m.m.若m3,则A13.3,B1,3,满足ABA.若mVm，解得m0或m1.若m0,则A1,3,0,B1,3,0，满足ABA.若m1,A1,3,1,B1,1显然不成立，综上m0或m3，选B.4,所以椭圆的焦点在x轴上,【答案】B3椭圆的中心在原点，焦距为4一条准线为x=-4，则

3、该椭圆的方程为22222222xyxyxyxyA+=1B+-=1C+=1D+=1161212884124【解析】椭圆的焦距为4,所以2c4,c2因为准线为x2且丄4，所以a24c8,b2a2c2844,所以椭圆的方程为c22Z1，选C.84【答案】C4已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,CCi=2.2E为CCi的中点，则直线ACi与平面BED的距离为A2B、3C2D1【解析】连结AC,BD交于点0，连结0E，因为O,E是中点，所以OE/AG,且1OEAC1，所以AC1/BDE，即直线AC1与平面BED的距离等于点C到平面BED2的距离，过C做CF0E于F,则CF即为所求距离因为

4、底面边长为2,高为2.2，所以AC2、2,0C.2,CE、2,OE2,所以利用等积法得CF1，选D.【答案】D(5)已知等差数列an的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为(A)100101(B)9910199(C)100(D)101100【解析】由a55,S515，得a11,d1(n1)n，所以1anan11丄，又丄n(n1)nn1qa211111a100ai0112231，所以an丄丄1丄何100101101101选A.【答案】A(6)ABC中，AB边的高为CD，若'、ab=0,|a|=1,|b|=2,贝U(A)(B)(C)(D)【解析】在直角三角形中，CB1

5、,CA2,AB.5,则CD2,所以.5【解析】因为sincos所以两边平方得2sincos2sincos-0,因为已知a为第二象限角，所以sin3sincos12sincos1530,cos0,所以cos22cossin2(cossin)(cossin)=、15_333，选A.3AD.CA2CD24454，所以AD4，即AD5-AB54-(ab)54-a5-b，选55ABD.【答案】D(7)已知a为第二象限角，sincos、.3则cos2a=3.5.5、5(A)-(B)(C)(D)-3993【答案】A(8)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2

6、|,贝Ucos1334(A)-(B)-(C)-(D)4545【解析】双曲线的方程为2/F1PF2=21，所以ab.2,c2，因为|PF1|=|2PF2|,所以点2P在双曲线的右支上，则有|PF1|-|PF2|=2a=2、2,所以解得|PF2|=2、2,|PF1|=4-2，所以根据余弦定理得COSF1PF2(2'2)(4'2)143,选C.2224(24【答案】C(9)已知x=lnn,y=log52,z1e2，则(A)xvyvz(B)zvxvy(C)zvyvx【解析】xln1,y1Iceoiog52log25(D)yvzvx1，所以yzx，选D.【答案】D已知函数y=x2-3x+

7、c的图像与x恰有两个公共点，贝Uc=(A)-2或2(B)-9或3(C)-1或1(D)-3或1【解析】若函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0,函数的导数为y'3x23，令y'3x230,解得x1，可知当极大值2c0，解得c为f(1)2c，极小值为f(1)c2.由f(1)f(1)c20,解得c2，所以c2或c2，选A.【答案】A将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有(A)12种(B)18种(C)24种(D)36种【解析】第一步先排第一列有A；6，在排第二列，当第一列确定时

8、，第二列有两种方法，12种，选A.(10) 【答案】A正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上，点F在边BC上，AE=BF=?.动点P3从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为(A)16(B)14(C)12(D)10【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞14次即可.【答案】B第n卷填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上(注意：在试题卷上作答无效)(13)若x,y满足约束条件则

9、z=3x-y的最小值为得y3xz，平移直线y3x，由图象可知当直线经过点C(0,1)时，直线y3xz的截距最大，此时z最小,最小值为z3xy-1.【答案】(14)当函数取得最大值时，x=】函数为ysinx、3cosx2sin(x)3当0x2时，x35以x6，由三角函数图象可知，当x，即332时取得最大值，所6【答案】(15)数为的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即C：C；，所以n8，1所以展开式的通项为Tk1C8kx8k()kC；x82k，令82k2，解得k5，所以x11T6C；()2，所以-y的系数为Cs56.xx

10、【答案】56BAA1=CAA1=60°(16) 三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等,则异面直线ABi与BCi所成角的余弦值为【解析】如图设AAa,ABb,ACc,设棱长为1,则AB1ab,BC1aBCac-b，因为底面边长和侧棱长都相等，且BAA1CAA1600所以a?ba?c,(ac-b)22，AB1?BC1为，所以cosAB1?BC12A&BC；<2<3b?c2，所以AB1(ab)23，(ab)?(ac-b)2，设异面直线的夹角_63.【答案】三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分10

11、分）（注意：在试卷上作答无效）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos（A-C）+cosB=1,a=2c，求c.<?）*3；由占兀+応cos=上那1討+（jyt，*说分于見=cys（zf-C）-<xMi（/f+C）s25insinC.也己知符sinAsinC-百分由及疋弦定理鶴yinA-2sinC,由©时sin:丄4V是siflE：-丄冶去人我sinCi22乂“=2匚-fifirUChn+>|Q分（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA丄底面ABCD,AC=2.2,PA=2,E是PC

12、上的一点，PE=2EC.(I)证明：PC丄平面BED;(H)设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.(1S)解法一:i】因勿底面h朋和为邃卄匚所厲心1AC.丈阳丄眠血asm所以PC1RD2井?b-rcfi/?n-/连歸旅冈为局PA-2.?£=2EC.故PF八4EC-*3从再巴卫*41.卜CfiV闵为fr兰JZFCF一£PS训FCECs円r*ZAfeC=:由此划FC丄区尸.用7与平业HED内两無扭交F戲RD./T恭碇fi所以胆丄平値険,6分(II:住平面PAB内过点#作”皿丄尸厂G为巫足丙为二S仲A-PBY为90。斯以TjS加丄半®i

13、咤乂平衙旳忌门平廊PiiC佯PJi.故収；T面P/?CAG丄BC.SC丐零闻R4B內两韓樹交化找已歸亚故B丄平倆旳仇于足5C丄初，祈以底血収。为血方骸“宀心皿斗；於川5-«分gD到平面PBC的距离为d因为亦.tuna平廊esc.RCu平面PffC,&LADJI平ifiiMC触於两点到平顋曲C的距离相即/=加=4说PDTiflPRC所成的ffl力总*则sina事-+-斯以尸口与平両见飢'觀威的痢为30°一门分E分卜趁嚴以？CJL平面RDE110041令r-tt的期望表示开始第4次发球时乙的得分，求mT0在试题卷上作答无效)(阳为平IffPBC的也向亂.则财加二

14、小J：ro)因为2与$弾,7?厂靳喊幽扫OFid畝m1J$-ftj!im'師戍旳側為30°<L-I75).DP2.-J219.(本小题满分12分)乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换每次发球，胜方得1分，负方得0分设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立甲、乙的一局比赛中，甲先发球(I)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；幣法二：(1)ytj为坐闲鼠点对些M为轴的疋学输.建立如图所泳的宅间点倩蜜探!-T.设欣近血叭】1中几/>(0.0.2)*班哎卜

15、賊札033因为面&用丄面故m刘皿即/»,0故什疋=(2妃0广2廟：珂冷"訐舷工(亍b.故PC丄BE.PCDE.又AECDE<19)Ki记川衷小那【和選I次和聒2执直两次歿球，申典割fib20.1J：_丄麦示事fh第J谀扯球.甲尅lihHJihft：开齡第4次发协时申乙的比分为IIfrIj总二也7_円咼0.4*(J,=0.4tOIft.AfJ,)=20.6k0.4=IX4S3分H砒鼻N*I'A4>=?c<JUMJ,*=")M*r(j,)r(5)=0.16<04O4K*!<U丨=0,3,2n分KII*r(,4.>-0

16、.6:-036,2的可能駅值勿Hd.f*)-Fl也A)A(J,)r(J)-OJxOJ=flJ44.2)t?P(/i)-0.352(AA)=P(J=0.16x0.6Cr096.t-P(;二0)-/V二知-Of-站=I-0.U4-03520.096=0408.W分i*0«f(2-om好=l)*2"Q2>jx尸w=3)-O.4H842xtfl52+0fl<J6“MO.12分(20)(本小题满分12分)(注意：在试.题.卷.上作.答.无.效.)设函数f(x)=ax+cosx,x0,n.(I)讨论f(x)的单调性；(n)设f(x)w1+sinx，求a的取值范围.K：(1&

17、gt;/H(.v)=rf-sinx.2分(i)芋卅纠賊厂(刃HDIH更巧心丨"牛时*fM-0.16；0.k是忧函th(ii)当erWO时.fgWO*II仪-11«=0-工=0或2朮呗八jf”°.所U/(*)在吐it)是减曲Sti(ill)当0唱才百对.£fx)=vtr,-jrcittiJ.¥,：n-arcUnfl.3xe0,jft)时*sinx<c/>何"/(x)tt:歩耳“宀时.sinr>j，/Xr)<0'煮站雄賊嚼敌：当"(町时，siPA<*/U)>0+庶力缺期函盛一小2(II

18、)由/(x)si+5inJSi/(n)<1kas-1in'勺n"2yx()sinv-J(Jurw.1'ji)-costFT2衽y2fT为jt更(0卫rcms兰)时*j?WaO当jec(arccm时g'W"nR23tj?(o)-g<-)=o*朋氏聽v)$4即-g分2?壬当卫时，有找町2cwitJr"5(j>当OWk兀时-x対瑰忙cnsr乓I,MUI/(r)厂l+sinr;2n<ii)al<x<jt时*f(jt)-x+I4-'(v-S-sintr-l*sinj.2nn22综上，<i的鞍價范直理卜

19、壮勻.12分K1)2=r2(r>0)有一个公共点，且在21.(本小题满分12分)(注意：在试卷上作答无效)已知抛物线C:y=(x+1)2与圆M:(x-1)2+(y两曲线的切线为同一直线I.()求r;(H)设m、n是异于I且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到I的距离.<I、说出黒皿+i)=)-<tf亠(X+厅求殳得fm十"故的斜军次耳初几-3分J5Itlf.不仃題惡.斫tlq/.地山为A/U，-W：总rr卜A1TjcAI耳】(fJ(i-o/+(7-|)15=TJ5r.(I)设(/十I)：为c上-点.则在该也处的山线方川为r-(f+1;=2。*1)卜-0y=2(f+l)x一F十！*化简御若it直践